太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）全微分方程

ut ed 第五节全微分方程 、全微分方程及其求法 二、积分因子法 阶微分方程小结

第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、一阶微分方程小结

、全微分方程及其求法 定义:若有全微分形式 du(x, y)=p(x, y)dx+e(x, y)dy 则P(x,y)x+Q(x,y)小=0称为全微分方程 例如xix+yy=0,u(x,y)=(x2+y2), dn(x,y)=xx+y,所以是全微分方程 全微分方程分→ aP 8Q OY OX 上一页下一页现回

例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. 定义: 则 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0称为全微分方程. . X Q Y P   =   全微分方程  一、全微分方程及其求法

解法: P(x,y)x+Q(x,y)ly=0全微分方程 解法1:应用曲线积分与路径无关 通解为u(x,y)=P(x,y)dx+Q(xn,y) T2(x,y)dy+ P(, yo)dx,u(x, y)=C; 解法2:用直接凑全微分的方法 解法3:利用不定积分法求u(x,y) 上一页下一页返回

解法1：应用曲线积分与路径无关. 解法2：用直接凑全微分的方法. 解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 全微分方程 通解为 =  +  y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 Q x y dy P x y0 dx x x y = y +  u(x, y) = C; 解法3：利用不定积分法求 u(x, y)

例1求方程(x3-3xy2)dx+(y3-3x2y)4y=0 的通解 P 00 解 6xy=8,是全微分方程, u(x,y)=h(xa-3xy2)dx+ry'dy x43 22 y 42 原方程的通解为 22 y y=C. 上一页下一页返回

解 6 , x Q xy y P   = − =   是全微分方程, . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = =  − +  x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 例1 求方程 x − xy d x + y − x y dy =

2x 3x 例2求方程=d+ 小y=0的通解 解 aP 6x a0 ,是全微分方程, dr 2x 3x 将左端重新组合2!+(x-4) =d(-)+d(3)=d(-+.), 原方程的通解为 =C. 3 上一页下一页返回

解 , 6 4 x Q y x y P   = − =   是全微分方程, . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为 − + = 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 例2

例3解方程(x2+ydx+(2xy+y)d=0 的通解 解OP 0方程是全微分方程 dy =2yax au =P=x t y ax u=(x+y)dx=ax+yx+p(y) 3 2 方程的通解为:=1x2+xy2+1y2=C 上一页下一页返回

解 例3 . (2 ) 0 2 2 的通解 解方程（x + y）d x + xy + y dy = x Q y y P   = =   2 方程是全微分方程 2 2 P x y x u = = +   =  + = + + ( ) 3 1 ( ) 2 2 3 2 u x y dx x y x  y 2 2 1 ( y) = y u = x + xy + y = C 3 2 2 2 1 3 1 方程的通解为：

二、积分因子法 定义:p(x,y)≠0连续可微函数,使方程 p(x,y)P(x,y)dx+以(x,y)Q(x,y)=0成为 全微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子? 上一页下一页返回

( x, y)  0连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)d x + (x, y)Q(x, y)d y = 0成为 全微分方程.则称(x, y)为方程的积分因子. 定义: 问题: 如何求方程的积分因子? 二、积分因子法

1公式法::O(P)_0(Q ay ax aP A+poA 00 au 十 两边同除 ay Oy ax ax nu paIn u aP00解不容易 a a y Oy ax 特殊地: a当只与x有关时; 0 du dp ax dx 上一页下一页返回

1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P   =      x Q x Q y P y P   +   =   +       两边同除， 特殊地: a.当只与x有关时; = 0,   y  , dx d x   =   求解不容易 x Q y P y P x Q   −   =   −   ln ln

dIn u 1 ap a0 dx o ay ax )=f(x) r=e ∫(x) b当只与y有关时 0μ=,a ou d ax dIn u 1 ag aP 小 p ax ay )=g(y) 少=e() 上一页下一页返回

( ) ln 1 x Q y P dx Q d   −    =  = f (x) b.当只与y有关时; = 0,   x  , dy d y   =   ( ) ln 1 y P x Q dy P d   −    =  = g( y) ( ) .  ( )  = f x dx  x e ( ) .  ( )  = g y dy  y e

2观察法:凭观察凑微分得到(x,y) 常见的全微分表达式 x2+y2 y xdx+ vdy= d 2 2 p d arctan yx+ydx=d(Inr r t y xdx+ ydy In(x t y t + y 2 xdy- ydx xt y n 2 2 上一页下一页返回

      + + = 2 2 2 x y xdx ydy d       = − x y d x xdy ydx 2       = + − x y d x y xdy ydx 2 2 arctan d( xy) xy xdy ydx = ln +       = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy       − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2 2.观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y) 常见的全微分表达式