ut ed 第七 函数的幂级数展开式的应用 近似汁算 二欧拉公式
第七节 函数的幂级数展开式的应用 二 欧拉公式 一 近似计算
近似计算 十a2+…an+ A≈a1+ 2 十∴+a n 2 误差r= n+1 an+2+ 应用它解决两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数 关键:通过估计余项,确定精度或项数. 上一页下一页返回
, A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an 应用它解决两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关键: 通过估计余项,确定精度或项数. . 误差 r n = an+1 + an+2 + 一 近似计算
常用方法 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.一 例1计算e的近似值,使其误差不超过105 解∵e=1+x+x2+…+,x"+…, 令x=1,得e≈1+1+1+…+ 上一页下一页返回
常用方法 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 例1 计算 e 的近似值,使其误差不超过 10 . −5 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++
余和: 1 十 十 十 (n+1)!(n+2)! (n+1)!n+2 ≤ 十 十 n n+1(m+1)2× nh 欲使r≤103,只要,≤103, 即nn!≥105,而88=322560>10 e≈1+1+++…+,≈271828 2!3 上一页下一页返回
余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 欲使 r n 10−5 , 只要 10 , ! 1 −5 n n 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828 ! 10 , 5 n n 8 8! 322560 10 , 5 即 而 =
例2利用sinx≈x-计算sin90的近似值,并估 计误差 解 元 元 sin9°=sin 2020620 ≤ <105 5!20 120 (2)51 300000 sin9"≈0.157079-0.000646≈0.156433 其误差不超过10 上一页下一页返回
解 20 sin9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 . 5 10− 例2 利用 计算 的近似值,并估 计误差. 3! sin 3 x x x − 0 sin9
例3计算 Isin v/的近似值,使其误差不超过104 解 sInd 1-x2+1x4-x6+…x∈(-0,+0) 3!5! 7! .I sinx dx=1 3·3!5·5!7.7! 收敛的交错级数 第四项 <10-4 7.7!3000 取前三项作为积分的近似值,得 I sinx 十 ≈0.9461 3·3!5·5 上一页下一页返回
第四项 3000 1 7 7! 1 10 , −4 取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 + − dx x x 0.9461 = − 2 + 4 − 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x 解 x x(−,+) + − + = − 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 dx x x 收敛的交错级数 例3 计算 的近似值,使其误差不超过 10 . −4 1 0 sin dx x x
例4求∑ arctan H-=1 2n2的和 解 S,=arctan 2 2-arctan -+arctan 8 十 arctan 28 2 1 I1=arctan 28 上一页下一页返回
解 , 21 s 1 = arctan 81 arctan 21 s2 = arctan + 81 21 1 81 21 arctan − + = , 32 = arctan 例 4 =1 2 2 1 arctan n n 求 的和
3 S3=S,+arctan arctan+arctanarctan 18 3 18 k-1 偎设S1= arctan k-1 k arctan +arctan arctan 2 2K k+1 Sn= arctan→ arctan=,(n→>) n+1 故∑ arctan 上一页下一页返回
18 1 arctan 3 2 = arctan + 18 1 s3 = s2 + arctan , 4 3 = arctan arctan1 1 arctan → + = n n sn ( ) 4 = n → 2 2 1 arctan 1 arctan k k k sk + − = , 1 arctan + = k k , 1 1 arctan k k sk − 假设 − = . 2 4 1 arctan 1 2 = n= n 故
注∵∑an=lim∑anx",求得S(x)=∑anx", =0 x→1 =0 =0 ∑n=lims(x)(逐项积分、逐项求导 =0 2n-1 例5求∑ 2n的和 2n-1 解令(x)=∑ 2n-2 2 上一页下一页返回
lim ( ). 1 0 a s x x n n → − = = (逐项积分、逐项求导) lim , 0 1 0 n n n x n an a x → = = − = ( ) , 0 n n s x an x = 注 求得 = 例5 = − 1 2 2 1 n n n 求 的和 解 , 2 2 1 ( ) 2 2 1 − = − = n n n x n s x 令 (− 2, 2)
2n-1 s(x)=∑ 2n-1 2 x2nd)=C∑ 2 FEOy 2 x2+2 (2-x2) (2-x)=3故∑2n-1 lims(x)=lim x2+2 3. 2 上一页下一页返回
= − − = 1 0 2 2 ) 2 2 1 ( ) ( n x n n x dx n s x = − = 1 2 1 ) 2 ( n n n x ) ) 2 ( 1 ( 1 2 = n= x n x ) 2 1 ( 2 2 − = x x x ) 2 ( 2 − = x x , (2 ) 2 2 2 2 x x − + = 2 2 2 1 (2 ) 2 lim x x x − + = → − lim ( ) 1 s x x→ − = 3, 3. 2 2 1 1 = − n= n n 故
