ut ed 第三节函数的极限 函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题
第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结与思考判断题
函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限,先给 出函数极限的一般概念:在自变量的某个变化过 程中,如果对应的函数值无限接近某个确定常数, 那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极 限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量 的变化过程不同,函数极限的形式就不同.主要研 究两种情形: 上一页下一页返回
一、函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给 出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过 程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数， 那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极 限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量 的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研 究两种情形：
1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量x趋近于有限值x,记这一变 化过程为x→x0 仿照数列极限的定义,给出x→x0时函数 的极限的定义 上一页下一页返回
1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量 趋近于有限值 ，记这一变 化过程为 x x0 . x → x0 仿照数列极限的定义，给出 时函数 的极限的定义. x → x0
定义1设函数∫(x)在点x的某一去心邻 域内有定义.如果对于任意给定的正数e(不论它 多么小),总存在正数δ,使得对于适合不等 式04(当x→x) x→0 E-δ定义 vE>0,38>0,使当0<x-x0<8时, 恒有∫(x)-A<E ● 上一页下一页返回
( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时 ' − '定义 定义1 设函数 在点 的某一去心邻 域内有定义.如果对于任意给定的正数（不论它 多么小），总存在正数 ，使得对于适合不等 式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，那么常数 就 叫函数 当 时的极限，记作 0 | − | x x0 x f (x) | f (x) − A| A f (x) x → f x A x = → lim ( ) f (x) x0 或 ( ) ( ) x A x x0 f → 当 →
注:1函数极限与f(x)在点x是否有定义无关; 2与任意给定的正数有关 3.(几何解释) 当x在x的去心δ邻 y=f(x) A+8 域时,函数y=∫(x)A 图形完全落在以直A-E 线y=A为中心线 宽为2的带形区域内.0x-0xx+x 显然,找到一个δ后,δ越小越好 上一页下一页现回
y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 = = y A y f x x x 3.(几何解释) 注: 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 显然,找到一个后,越小越好
例1证明Im(3x-1)=2 证因为∫(x)-A=(3x-1)-2|=3(x-1) 为使对于任意给定的正数E,有3|x-1kE 只要|x-10,可取δ 3 则当适合不等式0<x-1k<8时,对应的函数 值∫(x)就满足不等式 f(x)-AH=(3x-1)-2|E 所以 lim(3x-1)=2 上一页下一页现回
例1 证明 lim(3 1) 2 1 − = → x x 证 因为 为使对于任意给定的正数 ，有 只要 ,所以对任意 ，可取 ， 则当 适合不等式 时，对应的函数 值 就满足不等式 所以 | f (x) − A|=|(3x −1) − 2 |= 3(x −1) 3 | x −1| 3 | 1| x − 0 3 = x 0 | x −1| f (x) | f (x) − A|=|(3x −1) − 2 | lim(3 1) 2 1 − = → x x
例4证明:当x0>0时,imx=√x0 →x r- x- 证这里f(x)-A=x=√x 0 0,要使f(x)-A<8, 只要x-x0<√xnE且不取负值取8=min{xn,√xnE}, 当0<x-x0<8时,就有x-√x0<e 所以lim√x=√xo 上一页下一页现回
lim . 0 0 x x x x = → 所 以 证 0 这里 f ( x ) − A = x − x 任给 0 , min{ , }, 0 0 取 = x x 0 , 当 x − x0 时 0 0 x x x x +− = 要使 f (x) − A , , 0 就有 x − x , 0 0 x x − x . 只要 x − x0 x0 且不取负值 例 4 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x = → 证明 当 时
讨论单侧极限 设∫(x) 2-x,x0 分x>0和x<0两种情况分别讨论 x从左侧无限趋通,函数值无限接近于2 x从右侧无限趋近,函数值无限接近于2 上一页下一页返回
讨论单侧极限 lim ( ) 2. 2, 0 2 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 验 证 设 分x 0和x 0两种情况分别讨论 y = 2 − x 2 2 y = x + y o x 2 x从左侧无限趋近0, 函数值无限接近于2. x从右侧无限趋近0, 函数值无限接近于2
左极限VE>0,38>0,使当x0-80,38>0,使当xx0+0 (x→>x0 注意:{x0<x-x<8} {x0<x-x0<8}{x-8<x-x<0} 上一页下一页返回
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = − − − − x x x x x x x x x 注 意 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或
结论:lim∫(x)=A冷∫(x-0)=∫(x0+0)=A 例6验证lm不存在 0X 证 x→>-0yx>-0x lim(-1)= lim m x→+0yx+0x 左右极限存在但不相等,limf(x)不存在 →0 上一页下一页返回
y x 1 − 1 o 左右极限存在但不相等, lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ lim . 0 验证 不存在 x x 例 x→ 6 x x x x x x − = →−0 →−0 证 lim lim lim ( 1) 1 0 = − = − x→− x x x x x 0 x 0 lim lim →+ + = lim 1 1 0 = = x→+ lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = − = + = → 结论：