数学：《群论》第五章 对称群（左维）

第五章对称群 行置换算子集:杨盘T的所有的行置换算子组成的集合. RoT 列置换算子集杨盘T的所有的列置换算子组成的集合 P()=∑pQm)=∑89 p∈R(T) q∈C(T) 杨算子 E(T)=P(7)()=∑∑。,m p∈R(T)q∈C(T)

行置换算子集: 杨盘T的所有的行置换算子组成的集合. 第五章 对称群 R T p ( ) =  列置换算子集: 杨盘T的所有的列置换算子组成的集合. C T q ( ) =  ( ) ( ) ( ) ( ) q p R T q C T P T p Q T q        杨算子: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q p R T q C T E T P T Q T pq     =  

引理1:设T和T是两个杨盘,由置换r相联系,即T'=r 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(ij)处的数字变 到ST中的(k)处,则s=rsr作用在T上将T中位于(ij) 处的数字变到sT"中的(k,)位置 推论:设T和T"是由置换r相联系的两个杨盘,即T=rI, 则有下列关系成立 R(T)=rR(T)r-, C(T)=rC(T)r P(T)=rP(T)r, T=r(T)r E(T=rE(T)r-

引理1: 设T和T是两个杨盘, 由置换r相联系, 即T=rT. 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变 到sT中的(k,l)处, 则s=rsr–1作用在T上将T中位于(i,j) 处的数字变到sT中的(k,l)位置. 推论: 设T和T是由置换r相联系的两个杨盘, 即T=rT, 则有下列关系成立 1 1 1 1 1 ( ') ( ) , ( ') ( ) ( ') ( ) , ( ') ( ) ( ') ( ) R T rR T r C T rC T r P T rP T r Q T rQ T r E T rE T r − − − − − = = = = =

引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列 置换,T与T通过置换pq相联系,即T′pqT 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在T的同一列 设两个杨盘由置换r相联系即T'=rT.如果T中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T的同 列,则置换r必可表示为r=pq 引理3:设T和T′是属于不同杨图队]和[]的两 个杨盘,[入]>Dλ1,则总能找到两个数字同时出现在 T的同一行和T′的同一列

引理2: 设T是杨盘, p和q分别是T的任意行置换和列 置换, T 与 T 通过置换 pq 相联系, 即T=pqT. 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在 T 的同一列. 设两个杨盘由置换 r 相联系,即T=rT. 如果 T 中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T 的同 一列, 则置换 r 必可表示为 r = pq. 引理3: 设 T 和 T  是属于不同杨图 [λ] 和 [λ ] 的两 个杨盘, [λ]>[λ ], 则总能找到两个数字同时出现在 T 的同一行和 T  的同一列

引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘T的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足 E(T)E(T)=0 推论:属于不同杨图的两个杨盘T和T,必有 E(T)E(T)=0 引理5:设x=∑x(Ss S∈ 是置换群Sn的群代数中的一个向量.如果对于杨盘 T的任意行置换p和列置换q满足pDxg=6x 则x与杨算子E(T)差一个常数因子,即x=E(7)

引理4: 如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘 T 的同一列, 则这两个杨盘的杨算子满足 推论: 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T  , 必有 E T E T ( ') ( ) 0 = E T E T ( ') ( ) 0 = 引理5: 设 ( ) n s S x x s s  =  是置换群 Sn 的群代数中的一个向量. 如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q, 满足 则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数因子, 即 q pxq x =  x E T = ( )

引理6:对应于杨盘T的杨算子E(T)是一个本质的本 原幂等元.相应的不变子空间RG是对称群Sn的一个 不可约表示空间,其维数是n!的因子 引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的

引理6: 对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本 原幂等元. 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个 不可约表示空间, 其维数是 n! 的因子. 引理7: 同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的. 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的

52对称群的不可约表示 定理:杨算子F(T是本质幂等元,相应的不变子空间 RGE(T)是对称群Sn的一个不可约表示空间,给 出Sn的一个不可约表示;由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的 标准杨盘:在杨图上,每一行数字按从左向右增大 每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到 的杨盘称为标准杨盘.记作T1 定理:杨图[入对应的不可约表示的维数等于该杨 图的标准杨盘的个数f队∑(八1)2=n!

5.2 对称群的不可约表示 定理: 杨算子E(T)是本质幂等元, 相应的不变子空间 RG E(T) 是对称群Sn 的一个不可约表示空间, 给 出Sn 的一个不可约表示; 由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的, 而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的. 标准杨盘: 在杨图上, 每一行数字按从左向右增大, 每一列数字按从上到下增大的顺序来填充, 得到 的杨盘称为标准杨盘. 记作 定理: 杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨 图的标准杨盘的个数 f [λ] . [ ] 2 [ ] ( ) ! f n    = [ ] T r 

杨图的标准盘个数的计算公式八4l g为杨图上位置(处的钩长 5431 32 半正则表示 标准盘系列:从Sn的一个标准杨盘T囚出发,作标 准盘系列 相应杨算子为 EL p4]2p[ E 2 相应本原幂等元为 k/o EL/oE/05Ek/0

杨图[λ]的标准盘个数的计算公式: gij为杨图上位置(i,j)处的钩长. 半正则表示: 标准盘系列: 从 Sn 的一个标准杨盘Tr [λ]出发, 作标 准盘系列: [ ] ( , ) ! ij i j n f g  =  1 2 3 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [1] , , , ,..., n T T T T T T r r r r r      − = 相应杨算子为 1 2 3 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [1] , , , ,..., n E E E E E E r r r r r      − = 相应本原幂等元为 1 1 2 2 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / , / , / ,..., / n n E E E E r r r r             − − 5 4 3 1 3 2 1

半正规单位(半正则母单位)定义算子 02=n/f1 [a] Flar-old b141y e为本原幂等元,且满足 [A],[ [x] A2四[。 [rsr ∑ O分elEr 1-c对 ElAe!elalelela xEa→对 ereLi 1 elrelarelarearelar ela…EeE1lr 0l

半正规单位(半正则母单位): 定义算子 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2 1 1 1 [ ] [1] 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 .................. 1 1 n n n n n n n n n n n r r r r r r r r r r r r r r r r r r e e s e e E e e e E e e e E e e e E e                          − − − − − − − − − − − = = = = = = [ ] [ ] n f !/    = er [ ]  为本原幂等元, 且满足 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 n n n n n n n r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r e e e E e e E e e E e E e E e e E e E e E e                               − − − − − − −   =           =             [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 0 [ ] r s rs r r r e e e e s        =    =

半正规单位(半正则母单位)定义:设属于同一杨图的 标准盘T和r由置换σ∈S相联系,即列=7 定义算子E=Pa,Q.E=P=E为杨算子 构造Sn群代数R的一组基c=cE(1l 其中[=团n,n-1n-2,21[n-2,1,1]…,y 1,2,… 上述这组基矢称为Sn群代数的半正规单位,满足 []。灯 rs tu nust ru 1)半正规单位共有n个,在群代数空间是完备的 2)每一个杨图[入对应与对称群Sn的一个不等价不可约表示 3)Sn群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵 4)在半正规基矢下,表示约化为P()=∑田y1 5)Sn任意群元可写为相邻数字对换的乘积

半正规单位(半正则母单位)定义: 设属于同一杨图的 标准盘 和 由置换 相联系, 即 定义算子 . 为杨算子. 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 rs r rs s e e E e       = [ ] T r  [ ] T s  rs n  S [ ] [ ] T T s rs r   =  [ ] [ ] [ ] E P Q rs r rs s    =  [ ] [ ] [ ] [ ] E P Q E rr r r r     = = 构造 Sn 群代数 RG 的一组基 其中 [ ] [ ],[ 1,1],[ 2,2],[ 2,1,1],...,[1 ]n  = − − − n n n n [ ] r s f , 1,2,...,  = 上述这组基矢称为 Sn 群代数的半正规单位, 满足 [ ] [ ] [ ] rs tu st ru [ ][ ] e e e    =    1) 半正规单位共有n!个, 在群代数空间是完备的. 2) 每一个杨图[λ]对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示. 3) Sn 群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵. 4) 在半正规基矢下, 表示约化为 5) Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积. [ ] [ ] [ ] V s f V ( )    =  

求表示矩阵元Ⅴ(s)的规则,其中s=(k-1k) )当数字k-1和k在T网的同一行时,对角元 Vr (s)=1 2)当数字k-1和k在T网的同一列时,对角元 7(s)=-1 3)当数字k-1和k不在T的同一行和同一列时,设 T]=sT,则 (s)=p, V(s)=l-p Vr (s)=l, Vm(s)=p, 其中p为I中数字k-1到k的轴距离的倒数 4)其它情况矩阵元为零

求表示矩阵元V[λ](s)的规则, 其中s=(k –1,k) : [ ]( ) 1 V s rr  = 1) 当数字k – 1和k在Tr [λ]的同一行时,对角元 2) 当数字k – 1和k在Tr [λ]的同一列时,对角元 [ ]( ) 1 V s rr  = − 3) 当数字k – 1和k不在Tr [λ]的同一行和同一列时, 设 Tu [λ] = s Tr [λ] , 则 [ ] [ ] 2 [ ] [ ] ( ) , ( ) 1 , ( ) 1, ( ) , rr ru ur uu V s V s V s V s        = − = − = = 其中ρ为Tr [λ]中数字k –1到k 的轴距离的倒数. 4) 其它情况矩阵元为零