第十四章幂级数 §1幂级数 幂级数的一般概念 型如∑a(x-x)和∑anx的函数项级数称为幂级数.幂级数 n=0 由系数数列an}唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下着重 讨论型如∑an"的幂级数 幂级数的收敛区间 2021/2/24
2021/2/24 1 第十四章 幂 级 数 §1 幂 级 数 幂级数的一般概念. 型如 = − 0 0 ( ) n n n a x x 和 n=0 n n a x 的函数项级数称为幂级数. 幂级数 由系数数列{ }n a 唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下着重 讨论型如 n=0 n n a x 的幂级数. 一. 幂级数的收敛区间
定理1(Abel定理)若幂级数∑a,x"在点x=x≠0收敛 则对满足不等式x|x1的任何x,幂级 数∑anx"发散 证∑an"收敛,{a}有界.设|anx"|≤M,有 a,x"=a,x"1P≤M”,其中r=3|< ∑M"<+∞,→∑|anx"|<+0 定理的第二部分是第一部分的逆否命题 2021/2/24
2021/2/24 2 定理 1 （ Abel 定理 ） 若幂级数 n n a x 在点x = x 0收敛 ， 则对满足不等式| x | | x |的任何x，幂级数 n n a x 收敛而且绝对收 敛 ；若在点x = x发散 ，则对满足不等式| x | | x |的任何x，幂级 数 n n a x 发散. 证 n n a x 收敛, { n n a x }有界. 设| n n a x | M , 有 | n n n n n n Mr x x a x |=| a x | | | , 其中 =| | 1 x x r . +, n Mr | | + n n a x . 定理的第二部分是第一部分的逆否命题
定义(收敛半径)由定理1,幂级数∑ax的收域是以原点为中 心的区间,若以2R表示该区间长度,则称R为幂级数∑ax的收敛 半径R 定理142(幂级数的收敛半径)对于幂级数∑anx设p=limy{a, 则 1)0<p<+∞0时,幂级数的收敛半径R 2)p=0时,幂级数的收敛半径R=+∞0 2021/2/24 3
2021/2/24 3 定义（收敛半径）由定理 1，幂级数 n n a x 的收域是以原点为中 心的区间，若以2R表示该区间长度，则称 R 为幂级数 n n a x 的收敛 半径 R. 定理 14.2（幂级数的收敛半径）对于幂级数 n=0 n n a x 设 n n n a → = lim ， 则 1）0 + 时，幂级数的收敛半径 1 R = 2） = 0 时，幂级数的收敛半径 R = +
3)p=+0时,幂级数的收敛半径R=0 证1m9ax|= lim/ a,| x=px,(强调开方次数与的次数 是一致的).→… 由于m1=p,lmla=,因此亦可用比值法求收敛半 n→00 n→0 径 推论若p=lmn|“,则幂级数的收敛半径R n→00 2021/2/24
2021/2/24 4 3） = + 时，幂级数的收敛半径 R = 0 证 n→ lim = n n n | a x | n→ lim | a | | x | | x | n n = , ( 强调开方次数与x的次数 是一致的). …… 由于n→ lim , | | | | +1 = n n a a n→ lim n | an | = , 因此亦可用比值法求收敛半 径. 推论 若 lim | | 1 n n n a a + → = ， 则幂级数的收敛半径 1 R =
例1求级数 的收敛区域 n=11 解两种方法都得到p=1,即R=1,收敛区间为(-1,1),又 x=1时,级数为∑,所以原级数收敛,即收敛区域为1 n 例2求幂级数x+x+…1x+…的收敛域 例3求下列幂级数的收敛域: (i) 2021/2/24 5
2021/2/24 5 例 1 求级数 =1 2 n n n x 的收敛区域。 解 两种方法都得到 = 1，即 R = 1，收敛区间为 (−1 , 1)，又 x = 1 时，级数为 =1 2 1 n n ，所以原级数收敛，即收敛区域为[−1 , 1]。 例 2 求幂级数 + ++ + n x x x n 2 2 的收敛域 . ( [ −1,1) ) 例 3 求下列幂级数的收敛域: (i) =0 ! n n n x ; (ii) =0 ! n n n x
例4求幂级数x+2x2+3x+4x2+…的收敛域 解 354 n+1 X+ 是缺项幂级数 R=√3.收敛区间为(-3,3) n→0 an1|3 由于x=±√3时,通项今0.因此,该幂级数的收敛域为 例5求级数∑ 的收敛域 2021/2/24 6
2021/2/24 6 例 4 求幂级数 + 2 3 + 3 5 + 4 7 + 3 4 3 3 3 2 3 1 x x x x 的收敛域 . 解 + 2 3 + 3 5 + 4 7 + 3 4 3 3 3 2 3 1 x x x x = + + = 0 2 1 3 1 n n n x n x 是缺项幂级数 . n→ lim , 3 1 | | | | +1 = n n a a R = 3 . 收敛区间为( − 3 , 3 ) . 由于 x = 3 时, 通项→ 0 . 因此, 该幂级数的收敛域为 ( − 3 , 3 ) . 例 5 求级数 =0 2 ( −1) 1 n n n x 的收敛域
解令1=1,所论级数成为级数∑=∑)由几何级数 x 的敛散性结果,当且仅当-21时级数∑收敛所以所论级 x-1 数的收敛域为 ∪ 例6求幂级数∑yx的收敛半径 2021/2/24 7
2021/2/24 7 解 令 1 1 − = x t , 所论级数成为幂级数 = = = n 0 2 n 0 2 n n n t t .由几何级数 的敛散性结果, 当且仅当− 2 t 2时级数 = n 0 2 n t 收敛. 因此当且仅 当 2 1 1 2 − − x , 即 2 1 | x −1| 时级数 =0 2 ( −1) 1 n n n x 收敛. 所以所论级 数的收敛域为 , ) 2 3 ) ( 2 1 ( − , + . 例 6 求幂级数 2 3 n n x 的收敛半径
解1m的3y=lim3=1,→R=1 n→0 幂级数的性质: 定理14.3若幂级数∑ax的收敛半径为R(>0),则该幂级数在 区间(-R,R)内闭一致收敛 证[a,b]c(-R,R),设x=maxa,bl},则对wx∈[a,b,有 ax|s|ax,级数∑ax“绝对收敛,由优级数判别法,→幂 级数∑ax在[a,b]上一致收敛.因此,幂级数∑ax在区间 R,R)内闭一致收敛 2021/2/24 8
2021/2/24 8 解 n→ lim = 2 3 n n n→ lim 3 = 1, R = 1 n . 二． 幂级数的性质： 定理 14.3 若幂级数 n n a x 的收敛半径为R ( 0 )，则该幂级数在 区间( − R , R )内闭一致收敛 . 证 [ a , b ] ( − R , R ), 设x = max{| a | , | b |}, 则对x [ a , b ], 有 | | | | n n n n a x a x , 级数 n n a x 绝对收敛, 由优级数判别法, 幂 级数 n n a x 在[ a , b ]上一致收敛. 因此 , 幂级数 n n a x 在区间 ( − R , R )内闭一致收敛
定理144设幂级数∑ax的收敛半径为R(>0),且在点 x=R(或x=R)收敛则幂级数∑ax在区间0,R1(或-:0)上 一致收敛 证ax=a12 ∑收,函数列在区间(R1 R 上递减且一致有界,由hel判别法,幂级数∑ax在区间1上 致收敛 2021/2/24 9
2021/2/24 9 定理 14.4 设幂级数 n n a x 的收敛半径为R ( 0 ) ,且在点 x = R ( 或x = −R )收敛,则幂级数 n n a x 在区间[ 0 , R ]( 或[ − R , 0 ] )上 一致收敛. 证 n n n n n R x a x a R = . n an R 收敛 , 函数列 n R x 在区间[ 0 , R ] 上递减且一致有界 , 由 Abel 判别法, 幂级数 n n a x 在区间[ 0 , R ]上 一致收敛
易见,当幂级数∑ax的收敛域为-R,R1(R>0时,该幂级数 即在区间[-R,R上一致收敛 逐项求导和积分后的级数 设∑qx)=∑mx,”∑[a=∑ 米)和米*)仍为幂级数.我们有 定理14.5*)和料)与∑qx有相同的收敛半径 2021/2/24 10
2021/2/24 10 易见 , 当幂级数 n n a x 的收敛域为[ − R , R ]( R 0 )时 , 该幂级数 即在区间[ − R , R ]上一致收敛 . 逐项求导和积分后的级数: 设 = = 1 ( ) n n n a x = − 1 1 n n n na x , *) = = 1 0 n x n n a t dt **) 1 1 , 1 = + n + n n x n a *) 和 **)仍为幂级数. 我们有 定理 14.5 *) 和 **)与 n n a x 有相同的收敛半径