目录 前言………………………………………1 第一章度量空间 番··。看·自··看。垂·● (3) §1.1度量空间………………………………………(4) §1.2三个重要不等式及较复杂的例题………(11) §1.3开集、闭集、邻域………………………(19) §1.4收敛、柯西 auchy)序列、完备性…………(27) §1.5例题(完备性的证明)……………………(33) §1.6度量空间的完备化…………(42) 第二章赋范空间、巴拿赫( Banach)空间…………(50) §2.1向量空间………………………(51) §2.2赋范空间、 Banach空间………………………(58 §2.3赋范空间的另一些性质………(65) §2.4有穷维赋范空间及其子空间…………………(72) §2.5紧性及有穷维数…………………(76) §2.6线性算子… §2.7有界线性算子……………………………(90) S2.8有界线性泛函与对偶空间…………………(103) 第三章内积空间、希耳伯特( Hilbert)空间……(117)
§3.1内积空间、Hi1bert空间……………(1l8) §3.2直交与直交分解……………………………(127′ §3.3直交集和直交序列………………………(136) §3.4完全标准直交集和序列………………………(146) §3.5 Hilbert空间上泛函的表示…………(155) §3.6 Hilbert伴随算子……………………………(161) §3.7自伴算子、酉算子、正规算子…………(160) 第四章赋范和 Banach空间的基本定理… (173) §4.1Zorn引理…………………………………(174) §4.2哈恩-巴拿赫(Hahn- Banach)定理 自。 (177 §4.3复向量空间和赋范空间的Hahn- Banach 定理………………………………(183 §4.4伴随算子……… s(190) §4.5自反空间………………… §4.6范畴定理、一致有界性定理…………(204) §4.7强收敛与弱收敛……………………………(215) §4.8算子序列和泛函序列的收敛… 。自音看。·。。● (221) §4.9序列可和性的应用………………………(227) §4.10数值积分和弱*收敛……………………(233) §4.11开映象定理………(242) §4.12闭线性算子、闭图象定理…(248) 第五章 Banach不动点定理,逼近理论………(255) §5.1 Banach不动点定理……………(256) §52 Banach不动点定理的应用…(263)
§5.3斌范空中的逼近……… (277) §5.4一致逼近……………… (285) §5.5 Hilbert空间中的逼近 春·鲁带非和。卷 (297) §5.6样条逼近 (301) 第六章赋范空间线性算子的谱论………………(307) §6.1有限维賦范空问的谱论………………………(307) §6.2基概念……………………………(312) §6.3有界线性算子谱的性质……………………(317) §6.4预解式与谱的其他性质…… ·D·香非D看。 (321) §6.5 Banach代数…………………………(327) §6.6 Banach代数的进一步性质…… 音音D非非 (331) 第七章赋范空间上的紧线性算子及其谱………(336) §7.1赋范空间上紧线性算子………………………(336) §7.2紧线性算子的进一步性质…………(343) §7.3赋范空间上紧线性算子谙的性质…………(351) §7.4紧线性算子谱的进一步性质………………(360) §7.5紧线性算子的算子方程……………(368) §7,6 Fred holm型的共他定理………(375) §7.7 Fred hoIn择一性………………………(384) 附录…………………………………………(393 I:复习与参考資料……………………………(393) H:习题答案 (408) 参考书目…………………………;……(54)
前言 泛函分析是近代数学中一重要分支,起源于古典分析, 它将线性代数、线性常与偏微分方程、积分方程、变分学、 逼近论中具有共同特征的问题进行抽象概括,且综合了代 数拓扑和分析结构于一体。泛函分析的基本概念建立于本 世纪初,成熟于50年代,其内容已渗透到逼近论、偏微分方 程、概率论、最优化理论等各方面。近十几年来泛函分析在 工程技术方面的应用日益广泛和有效国内外技术科学的论 文、专著常引用泛函分析的内容和方法,获取学位要通过泛 函分析考试,工科院校的本科或研究生要开设泛函分析课 程,因而我国迫切需要适合工科院校和科技工作者的泛函分 析入门书。 本书是在工科泛函分析教学实践基础上,根据 ERWIN KREYSZIG所著“泛函分析入门及应用”一书编译的。其 特点是准备知识只要求数学分析与线性代数,在保证内容系 统的严谨条件下,避开实变函数论中测度、勒贝格积分等内 容,所需集论与拓扑的知识在附录或有关内容中给出。在概 念引入上注意其实际背景,叙述与证明上做到严谨详尽,并 介绍了某些实际应用。本书附有习题及解答,对较难的题目 给出较详尽的解法,对较易的给出题示。这些都有助于科技 工作者和工科院校学生克服学习近代抽象数学所遇到的困 难。 7
本书是泛函分析入门书,书中包括了泛函分析中最基 的内容:度量空间, Banach空间与 Hilbert室间的性质及有 关算子。谱的理论只作了简单介绍。 本书在编译过程中,得到南开大学定光桂教授的热情指 导,对全书作了校订并写了序,在此深致谢意。 由于编译者水平和经验所限,不足和错误之处难免,诚 恳希望读者批评指正。 编者 7年8月
第一章度量空间 度量空间是实直线R的推广,其在泛函分析中的地位和 作用类似于微积分中的实直线R.度量空间对数学各种不同 分支中的问题统一处理提供了基础 在微积分中许多结果不依赖于实数或复数的代数结构, 而只与两个数x与y之间的距离概念有关.例如,我们考虑极 限lmf(x)=l,这里只用到x与x以及f与l之间的距离概念 给出了函数极限的定义.从极限概念出发,从而引出了函数 的连续性等重要理论 本章将在一般抽象集合上定义距离(度量),并在此基 础上研究极限、连续和完备等概念. 重要概念、主要内容的概述 首先定义度量空间(§1.1),它是一集合X在其上赋予了 度量,这里的度量就是X的两个元素(点)间的距离函数, 并由一组公理规定这些公理是根据实直线与复平面C上的 两点间距离而抽象得到.(§1.2)例题说明度量空间是广泛存 在的一般概念.研究度量空间的一个重要问题是看其是否具 有完备性(§1.5)及如何使之完备化(§1.6).另一概念是度 量空间是否具有可分性(§1.3),可分的度量空间比不可分的 简单
81.1度量空问 在微积分中研究了定义在实直线R上的函数及其极限, 那里的极限是以R上的距离作基础定义的,而R上任意二点 x,y的距离为:d(x,y)=|x-y。 在泛函分析中,我们将研究更一般的“空间”和定义在 其上的“函数”及相应的“极限”.因此,首先应将R上距 离的概念推广到一般抽象集合X上,并使其具有R上距离的几 个最基本的性质。这样就产生了泛函分析中重要的基本概 念 11-1定义(度量空间,度量).度量空间是由一非空集 合X与一度量d〈或称做距离函数)组成的对(X,d),其中 d是定义⑩在XxX上的一个函数,且对于任意x,y,z∈X, 有: (M1)d是有限的非负实数 (M2)d(x,y)=0当且仅当x=y (M3)d(x, y)=d(y, x) (对称性) (M4)d(xy)≤d(x,2)+d(z,y).(三角不等式) X的元素x称为点,对于固定的x,y∈X,称非负数d(x,y)为 x到y的距离.(M1)至(M4)是度量公理 根据(M4),我们用数学归纳法可证得推广的三角不等 式 d(x1,x)≤d(x1,x2)+d(x2,x)+…+d(x,-1xn) ①符号表示集合的笛卡儿乘积,X×X表示X里元素的所有有序对的集 合
在不至于引起混滑时,可将(X,d)简记作X 对于度量空间(X,d)的任何一个非空子集Y,当我们将 d限制◎在yⅹY上,即在YxY上定义函数d(xy),使 得对于所有的x,y∈Y,有, (x, y)=d(x, y) 或记作d=d ,那么,d是Y上的度量,称(Y,d)为 (X,d)的子空间.d称做Y上的导出度量 1.1-2例题 【例1】设x是所有有序实数对组成的集合,定义 d1(x,y)=11-n+12-m2 这里,x=(51,5n),y=(η,m2),证明d1是X上的一个度 量 证明由于5;,;(=1,2)都是实数,(M1)至(M3)显然 成立,现证(M4),对于任意Z=(1,2)∈X,有, d )=恬1-7+2-n2 (51-51)+(51-m1)+|(2- +(52-72) ≤恬1-5+151-n1+2-22 2-n2 (11-5l+15-52)+(|st-n+|2 72|) d1(x,z)+d1( Q泰阅附录1中关于“限制”概念的论述
因此,d1是X上的一度量 【例2】欧几里得( Euclidean)空间R”.这个空间是由 所有n个实数的有序组x=(1,…,5),y=(,…)等 组成的集合,并按 d(x, y) 5;-m;) (2) 定义欧几里得度量,则R"是度量空间 证明(M1)及(M3)显然成立.若,d(x,y)=0 那么,对于每个j有 0≤|,-n; (5;-n;) 0 所以,与;=η;(j=1,2,…,n),即,x=y,反过来,易 见当x=y时,d(x,y)=0.(M2)得证 在证明(M4)之前,先证柯西( Cauchy)不等式, (a)<(E,)( 这里ak,bk(k=1,2,…,n)均为实数.任取实数λ,有, ≤∑(ak+1bk)2=∑q+2λ∑akbk+12∑b 右端是λ的二次三项式,它对于λ的一切值都是非负的,故其 判别式不会大于零,即, ∑akbk)≤ k=1 成立.利用柯西不等式,得
aA+b)=∑0+2∑akbk+∑b ∑b 在R中任取x=(51,…",5,),y=(m,…,7n),z=(5t,…,s 并在(3)中,令a=5k-5,bk=5-A,则有 -)2≤∑ 即,d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (M4)得证.因此,R是度量空间 n=1时,R=R,d(x,y)=|x-y.n=2时,R2上的度 量为d(x,y)=√(51-)2+(2-2)2,对照例1,它们的集 合是相同的,但度量不同因此,R2与例1中的(x,d1)是不 同的度量空间.这说明一个重要事实,在同一集合上可赋予 不同的度量,构成不同的度量空间 又如,在全体n个实数有序组所成之集上,还可以赋予 如下两个度量 d1(x,y)=∑ ni d(x, y)=ax 可得到两个不同的度量空间 7
