集合论 集合论是研究集合的一般性质的数学分支,它 研究集合不依赖于组成它的事物的特性的性质。 在现代数学中,每个对象(如数、函数等)本 质上都是集合,都可以用某种集合来定义。数学 的各个分支,本质上都是在研究这种或那种对象 的集合的性质。集合论已成为全部现代数学的理 论基础。 集合论的特点是研究对象的广泛性。它总结出 由各种对象构成的集合的共同性质,并用统一的 方法来处理。因此,集合论被广泛地应用于各种 科学和技术领域
集 合 论 集合论是研究集合的一般性质的数学分支，它 研究集合不依赖于组成它的事物的特性的性质。 在现代数学中，每个对象（如数、函数等）本 质上都是集合，都可以用某种集合来定义。数学 的各个分支，本质上都是在研究这种或那种对象 的集合的性质。集合论已成为全部现代数学的理 论基础。 集合论的特点是研究对象的广泛性。它总结出 由各种对象构成的集合的共同性质，并用统一的 方法来处理。因此，集合论被广泛地应用于各种 科学和技术领域
集合论 由于集合论的语言适合于描述和研究离散对象 及其关系,所以也是计算机科学与工程的理论基 础,在程序设计、关系数据库、排队论、开关理 论,形式语言和自动机理论等学科领域中都有 重要的应用 本篇主要介绍:集合、二元关系和函数, 以及集合的基数问题
集 合 论 由于集合论的语言适合于描述和研究离散对象 及其关系，所以也是计算机科学与工程的理论基 础，在程序设计、关系数据库、排队论、开关理 论，形式语言和自动机理论等学科领域中都有 重要的应用。 本篇主要介绍：集合、二元关系和函数， 以及集合的基数问题
集合论 第三章集合与关系 §1集合的概念和表示法§8集合的划分和覆盖 §2集合的运算 §9等价关系与等价类 §3序偶与笛卡尔积 §10相容关系 §4关系及其表示 §1序关系 §5关系的性质 §6复合关系和逆关系 §7关系的闭包运算
集 合 论 第三章 集合与关系 §1集合的概念和表示法 §2集合的运算 §3序偶与笛卡尔积 §4关系及其表示 §5关系的性质 §6复合关系和逆关系 §7关系的闭包运算 §8集合的划分和覆盖 §9等价关系与等价类 §10相容关系 §11序关系
§1集合的概念和表示法 、集合与元素 (1)集合:具有某种特殊性质的客体的聚合。 讨论: ①一些不同的确定的对象之全体 ②客体:是泛指一切,可以是具体的、抽象的 ③元素(成员):属于任何集合的任何客体 ④符号:用大写英文字母表示集合,用小写英文字母或 其它符号表示元素。 集合:A,B. 元素:a,b
§1集合的概念和表示法 1、集合与元素 （1）集合：具有某种特殊性质的客体的聚合。 讨论： ①一些不同的确定的对象之全体。 ②客体：是泛指一切，可以是具体的、抽象的 ③元素（成员）：属于任何集合的任何客体。 ④符号：用大写英文字母表示集合，用小写英文字母或 其它符号表示元素。 集合：A，B…. 元素：a，b…
§1集合的概念和表示法 ⑤元素与集合间的关系:若a是集合S中的元素,则 可写成a∈S;若b不是集S合中的元素,则可 写成bgS。 ⑥集合S的基数(势):S中的元素个数。用|S表 小。 ⑦有限集合:集合的基数(元素)是有限的。 无限集合:集合的基数(元素)是无限的
§1集合的概念和表示法 ⑤元素与集合间的关系： 若a是集合S中的元素，则 可写成a S ；若b不是集S合中的元素，则可 写成b S 。 ⑥集合S的基数(势)：S中的元素个数。用|S|表 示。 ⑦有限集合：集合的基数（元素）是有限的。 无限集合：集合的基数（元素）是无限的
§1集合的概念和表示法 ⑧本书中常用集合符: n(m≥1)有限个正数的集合{12,3.mn Nn(m≥0)有限个自然数的集合{0,1,2…m 以上是有限集合,下面是无限集合 N自然数集合{0,1,2……}3 +正整数集合{1,2,3} 整数集合{1,0,1,2.…} P素数集合{大于1的正整数,只能被1和自己整除} Q有理数集合{.i、j均为整数且j≠0} R实数集合{有理数、无理数} C复数集合{a+bi,a、b可为实数i=v-1}
§1集合的概念和表示法 ⑧本书中常用集合符: Im(m≥1) 有限个正数的集合{1,2,3……m} Nm(m≥0) 有限个自然数的集合{0,1,2……m} 以上是有限集合,下面是无限集合： N 自然数集合 {0,1,2……} I+ 正整数集合 {1,2,3……} I 整数集合 {……-1,0,1,2……} P 素数集合 {大于1的正整数，只能被1和自己整除} Q 有理数集合 {i/j. i、j均为整数且j≠0} R 实数集合 {有理数、无理数} C 复数集合 {a+bi，a、b可为实数 i= √-1 }
§1集合的概念和表示法 (2)集合的表示方法 (a)枚举法(列举法) 把集合的元素列于花括号内。 例: 命题的真偎值组成的集合:S={T,F} 自然数0,1,234五个元素的集合:P={0,12,34} (b)谓词公式描述法 所有集合均可用谓词公式来表示:S={x|p(x)}
§1集合的概念和表示法 (2)集合的表示方法: (a)枚举法 (列举法) 把集合的元素列于花括号内。 例： 命题的真假值组成的集合：S={T,F} 自然数0,1,2,3,4五个元素的集合：P={0,1,2,3,4} (b)谓词公式描述法 所有集合均可用谓词公式来表示：S={x | p(x) }
§1集合的概念和表示法 例:大于10的整数的集合:S1={X|X∈|AX>10} 偶整数集合:S2={x|丑y(y∈|∧X=2y 有限个元素集合: S3={1,23,4,5}={×|X∈∧(1≤x≤5)} S4=F,T}=伙|XTYX=F} S5={1,4}={X|(x2-5X+4=0)} (c)同一集合可以用多种不同的形式表示。 (d)集合也可作为某一集合的元素。 例:S={a1,2}p{q}
§1集合的概念和表示法 例：大于10的整数的集合：S1={x | x I ∧ x>10} 偶整数集合：S2={x | y (y I ∧ x=2y)} 有限个元素集合： S3={1,2,3,4,5}={x | x I ∧ (1 ≤ x ≤ 5) } S4={F,T}={x | x=T ∨ x=F} S5={1,4}={ x | (x²-5x+4=0) } (c)同一集合可以用多种不同的形式表示。 (d)集合也可作为某一集合的元素。 例：S={a,{1,2},p,{q}}
§1集合的概念和表示法 (3)三个特殊集合:空集、全集合、集合族 《定义》如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合, 则称该集合为全集合,简称全集,用E表示 E={X|p(x)v-p(x)}p()为任何谓词公式 《定义》不拥有任何元素的集合称为空集(或称零集) 用表示 O={X|p(X)∧-p(X)}={} 注意:⑧≠{∞}前者是空集,是没有元素的集合;后 者是以⑦作为元素的集合
§1集合的概念和表示法 (3)三个特殊集合：空集、全集合、集合族 《定义》如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合， 则称该集合为全集合，简称全集，用E表示。 E={x | p(x) ∨ p(x)} p(x)为任何谓词公式 《定义》不拥有任何元素的集合称为空集（或称零集）， 用表示 ={x | p(x) ∧ p(x) }={ } 注意： ≠ {} 前者是空集，是没有元素的集合；后 者是以作为元素的集合
§1集合的概念和表示法 《定义》集合中的元素均为集合,称这样的集合为集合 族 例A={a},{b},{c、d} 2、集合之间的关系 《公理》给定二个集合A和B,当且仅当A和B具有同样 的元素(成员),则A和B才是相等的,记作A=B 并规定:(A=B)<VX(X∈AX∈B) 651: a, b, c]=[b, a, a, c, c
§1集合的概念和表示法 《定义》集合中的元素均为集合，称这样的集合为集合 族。 例A={{a}，{b}，{c、d}} 2、集合之间的关系 《公理》给定二个集合A和B，当且仅当A和B具有同样 的元素（成员），则A和B才是相等的，记作A=B 并规定：（A=B）x (x A ↔ x B) 例：{a, b, c}={b, a, a, c, c}
