中国科技大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件讲稿）第7章 矩阵的特征值和特征向量

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中,会遇到特征值和特征向量的计算,如:机械、结构或电磁振 动中的固有值问题;物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第7章 矩阵的特征值和特征向量 很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振 动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 特征值:PA()=dex-A)=0的根为矩阵A的特征值 特征向量:满足2y=Av的向量v为矩阵A的对于特征值的特征向量 PA()称为矩阵A的特征多项式 PA()是高次的多项式,它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根 来求矩阵的特征值。通常对某个特征值,可以用些针对性的方法来求其近似值。若要 求所有的特征值,则可以对A做一系列的相似变换,“收敛”到对角阵或上(下)三角阵 从而求得所有特征值的近似

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 特征值： PA () = det(I − A) = 0 的根 为矩阵A的特征值 特征向量：满足 v Av i = 的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量  i () PA 称为矩阵A的特征多项式 PA () 是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根 来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要 求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵， 从而求得所有特征值的近似

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 71幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如:矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法,它是最经典的方法。 幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实 践中,常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征 值和特征向量如下 特征值: A≥2122…≥2 特征向量:V1V 幂法可以求v1,基本思想很简单

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 7.1 幂法 矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种 求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。 幂法要求A有完备的特征向量系。即A有n个线性无关的特征向量。在实 践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征 值和特征向量如下： n n v v v 1 2 1 2  特征值：      特征向量： 幂法可以求 1 1  v ，基本思想很简单

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 设 7=1线性无关,取初值x(0),作送h(k+=Dm)_k+y 设: (0) v1+a2v2+ 则有:x(k)=A(a11+a22+…+anvn) =aAv+a、A1+……+a.A1 4V1+a2v2+…+

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 设   n i i=1 v 线性无关，取初值 (0) x ，作迭代 ( 1) ( ) 1 (0) x Ax A x k+ k k+ = = 设： n n x = a v + a v ++ a v 1 1 2 2 (0) n k n n k k n k n k k n n k k a v a v a v a A v a A v a A v x A a v a v a v =  +  + +  = + + + = + + +    1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 则有：

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS (1)若 k x= av,+a2 ,2 ∴+a a1≠0则k足够大时,有 =1( av k+1) k+1 (k )(k+1) 可见xx 几乎仅差一个常数 所以: 1≈x+1)/x(4) 任意分量相除 ≈x(6)—特征向量乘以任意数,仍是特征向量

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS （1）若： 1  2  n                 + +         = + n k n n k k k x a v a v a v 1 2 1 2 1 1 1 2 ( )       a1  0 则k足够大时，有 ( ) 1 1 1 ( ) x a v k k =  ( ) 1 1 1 1 ( 1) x a v k+ k+ =  可见 ( ) ( 1) , k k+ x x 几乎仅差一个常数 1 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 / k k k v x x x   +  所以： 任意分量相除 特征向量乘以任意数，仍是特征向量

) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS (2)若: A=2>4|2…24,1=-2 k (k) a,v,+a V十∴十a 则k足够大时,有 (k) 1(a,v,+a2(1)v2) 所以:x(2k+2)/x(2)≈22 (2k+1)/(2k-1 所以 k+1) 人x (k) 2≈y(k+1) 入x (k)

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS （2）若： 1 2 3 1 2  =     n , = − ( )                 = + − + + n k n n k k k x a v a v a v 1 1 1 1 2 2 ( ) 1     ( ( ) ) 1 1 1 2 2 ( ) x a v a 1 v k k k   + − 则k足够大时，有 2 1 (2 1) (2 1) 2 1 (2 2) (2 ) / /     + − + k k k k x x x x 所以： ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( 1) 1 k k k k v x x v x x    −  + + 所以： +

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 这样,我们有算法 、给出初值,计算序列x(+1)=Ax(k) 2、若序列表现为,相邻两个向量各个分量比趋向于常数,则 (k+1)/、(k) ≈X ≈X 3、若序列表现为,奇偶序列各个分量比趋向于常数,则 (k+2) /x(k) v1≈x++x (k) (k+1) 4、若序列表现为其他,退出不管

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 这样，我们有算法： 1、给出初值，计算序列 (k 1) (k ) x = Ax + 2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数，则 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 / k k k v x x x   +  3、若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则 ( 2) ( ) 1 / k k x x +   ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( 1) 1 k k k k v x x v x x    −  + + + 4、若序列表现为其他，退出不管

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例 求矩阵A的按模最大的特征值 A 56 解取x0)=(1,0)r,计算x=Ax,结果如下 k (k) x,k x, lx, (k-l x/x,k-l 0 0 0.25 0.2 2 0.10250 0.083333 0.41 041665 3 0.042292 0.034389 0.41260 0.41267 4 0.017451 0.014190 041263 0.41263 可取≈0.41263,x1≈10.017451,0.014190)r

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 求矩阵A的按模最大的特征值 解 取x (0)=(1,0)T ,计算x (k)=Ax(k-1), 结果如下 例         = 6 1 5 1 5 1 4 1 A k x1 (k) x2 (k) x1 (k)/x1 (k-1) x2 (k)/x2 (k-1) 0 1 0 1 0.25 0.2 2 0.10250 0.083333 0.41 0.41665 3 0.042292 0.034389 0.41260 0.41267 4 0.017451 0.014190 0.41263 0.41263 可取0.41263 ,x1(0.017451,0.014190)T

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 在幂法中,我们构造的序列 k k (k) a v,+a V十+a, 可以看出 <1 k→+∞、x() 因此,若序列收敛慢的话,可能造成计算的溢出或归0

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS                 + +         = + n k n n k k k x a v a v a v 1 2 1 2 1 1 1 2 ( )       在幂法中，我们构造的序列 可以看出       → + → , 1 0 , 1 , 1 ( ) 1   k k x 因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0

中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 改进一幂法的规范运算 x(k+1)=A (k+1)=x (k+1)川l(k+1) 则,易知 (k) (k y0)“1… (k+1 所以,有: =y04y0一 最大分量为1

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 改进－幂法的规范运算     = =  + + + + ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) / k k k k k y x x x Ay 则，易知： ( )     = = = =  +    1 / / ( 1) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0) k k k k k k y y Ay x  A y x  x  = ( ) (0) (0) y A y / A y k k k 所以，有： 最大分量为1