数学分析思考题集
数学分析思考题集
目录 第一章函数 第二章数列极限 第三章函数极限 第四章函数的连续性 28 第五章导数与微分 第六章中值定理与导数应用 38 第七章极限与连续性(续). 第八章不定积分 第九章定积分
目 录 第一章 函数.............................................................................................................. 1 第二章 数列极限....................................................................................................... 8 第三章 函数极限..................................................................................................... 22 第四章 函数的连续性............................................................................................. 28 第五章 导数与微分................................................................................................. 35 第六章 中值定理与导数应用.................................................................................. 38 第七章 极限与连续性(续)....................................................................................... 48 第八章 不定积分..................................................................................................... 52 第九章 定积分........................................................................................................ 57
第一章函数 思考题: 1.何谓函数,函数关系,函数值 2.函数y=f(x)与方程y=fx)在概念上有何区别? 3.怎样确定函数的定义域? 4.怎样才算完全确定了一个函数?应该如何规定两个函数相等?下面各对函数是 否相等? (1)f(x)=x,g(x)=(√x)2 (2)f(x)=x-1,g(x) x+1 (3)f(x)=|x1|,g(x)=√x2 (4)fx)=√x+1√-1,g(x)√x2 (5)f(x)= 1-x计,B=+x 1,X (6)f(x)={x,-1≤X≤1,gx)={1+x1-11-xB 5.若函数y=f(x)的反函数就是它本身,试问此函数的图象有什么样的特点? 6.下列函数是否是初等函数?说明理由 (1)f(x)=1|x (2)f(x)=(x+sinx) X<-C 0 (3)fx)=√x (4)f(x)=1x c≤X≤c x≤0 7.设fu)与u=o(x)能复合为f(o(x), (1)若f(u递增(递减),q(x)递减,试研究fq(x)的单调性 (2)若f(u)为奇(偶)函数,o(x)为偶(奇)函数,试研究f(q(x)的奇偶性 (3)若f(u为任意函数,q(x)为偶函数,试研究f(q(x)的奇偶性
·1· 第一章 函数 思考题： 1．何谓函数，函数关系，函数值？ 2．函数 y=f(x)与方程 y=f(x)在概念上有何区别？ 3．怎样确定函数的定义域？ 4．怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是 否相等？ (1)f(x)=x，g(x)=( x ) 2 ； (2)f(x)=x-1，g(x)= 2 x 1 x 1 − + ； (3)f(x)= | x | ，g(x)= 2 x ； (4)f(x)= x 1 x 1 + − ，g(x)= 2 x 1− ； (5)f(x)= 2x 1, x 1 1, x 1 − ，g(x)= 2 (x 1) x − + ； (6) 1, x 1 f (x) x, 1 x 1 1, x 1 − − = − ， 1 g(x) |1 x | |1 x |} 2 = + − − . 5．若函数 y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点？ 6．下列函数是否是初等函数？说明理由. (1)f(x)= | x | ； (2) xcosx f(x) (x sinx) = + ； (3)f(x)= sin x , x 0 x 0, x 0 ， (4)f(x)= c, x c x, c x c c, x c − − − . 7．设 f(u)与 u= (x) 能复合为 f( (x) )， (1)若 f(u)递增(递减)， (x) 递减，试研究 f( (x) )的单调性. (2)若 f(u)为奇(偶)函数， (x) 为偶(奇)函数，试研究 f( (x) )的奇偶性. (3)若 f(u)为任意函数， (x) 为偶函数，试研究 f( (x) )的奇偶性
(4)若f(u)为有界函数,o(x)为任意函数,试问fq(x)是否一定是有界函数? (5)若fu)为任意函数,q(x)为周期函数,试问f((x)是否一定是周期函数? 8.判断下列命题是否正确,为什么? (1)若fx)在va,B<(a,b)上有界,则f(x)在(ab)上有界 (2)设fx)在ab]上有定义,且在v(aB)ca,b]上有界,则fx)在ab]上有界 9.适合下列条件的函数存在吗?为什么? (1)在R=(-∞,+∞)上严格递增的有界函数 (2)在R=(-∞,+∞)上严格递增的偶函数 (3)在R=(-∞,+∞)上严格递减的奇函数 (4)在(-C,C)内为偶函数,且在R=(-∞,+∞)上又为奇函数 (5)在R上严格递增的周期函数 10.设f(x)在R上有定义,且满足fx)≠0,f(xy)=f(x)fy),试求f(1990) 11.用肯定语气叙述:在(-∞,+∞)上 (1)f(x)不是偶函数;(2)(x)不是周期函数; (3)f(x)不是单增函数:(4)f(x)不是单调函数 12.用肯定语气叙述 (1)f(x)在{ab]上无下界; (2)f(x)在a,b)上没有零点; (3)(x)在(a,b)上没有比中点函数值大的点 13.若f(x)是一一对应的奇函数,试证其反函数也是奇函数 14.设f(x)满足关系式2f(x)+f(-)==(k为常数),证明:fx)为奇函数 15.设f(x)为(-∞,+∞)上的奇函数,且在0,+∞)上严格增,求证:f(x)在(-∞,+ ∞o)上严格增 16.设0≤a≤1,函数fx)及g(x)对任意的x1,x2分别满足 fax1+(1-ax2]≥af(x1)+(1-af(x2)及 g{ax1+(1-a2]≤ag(x1)+(1-a)g(x2) 且g(x)为单减函数,试证
·2· (4)若 f(u)为有界函数， (x) 为任意函数，试问 f( (x) )是否一定是有界函数？ (5)若 f(u)为任意函数， (x) 为周期函数，试问 f( (x) )是否一定是周期函数？ 8．判断下列命题是否正确，为什么？ (1)若 f(x)在 [， ] (a, b) 上有界，则 f(x)在(a, b)上有界. (2)设 f(x)在[a, b]上有定义，且在 ( , ) [a, b] 上有界，则 f(x)在[a, b]上有界. 9．适合下列条件的函数存在吗？为什么？ (1)在 R=(-∞, + ∞)上严格递增的有界函数. (2)在 R=(-∞, + ∞)上严格递增的偶函数. (3)在 R=(-∞, + ∞)上严格递减的奇函数. (4)在(- , )内为偶函数，且在 R=(-∞, + ∞)上又为奇函数. (5)在 R 上严格递增的周期函数. 10．设 f(x)在 R 上有定义，且满足 f(x) 0，f(x·y)=f(x)·f(y)，试求 f(1990). 11．用肯定语气叙述：在(-∞, + ∞)上 (1)f(x)不是偶函数； (2)f(x)不是周期函数； (3)f(x)不是单增函数； (4)f(x)不是单调函数. 12．用肯定语气叙述： (1)f(x)在[a, b]上无下界； (2)f(x)在 [a, b) 上没有零点； (3)f(x)在(a, b)上没有比中点函数值大的点. 13．若 f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数. 14．设 f(x)满足关系式 2f(x)+ 1 k f ( ) x x = (k 为常数)，证明：f(x)为奇函数. 15．设 f(x)为(-∞, + ∞)上的奇函数，且在 [0, ) + 上严格增，求证：f(x)在(-∞, + ∞)上严格增. 16．设 0 a 1 ，函数 f(x)及 g(x)对任意的 x , x 1 2 分别满足 1 2 1 2 f[ax (1 a)x ] af (x ) (1 a)f (x ) + − + − 及 g[ax (1 a)x ] ag(x ) (1 a)g(x ) 1 2 1 2 + − + − 且 g(x)为单减函数，试证：
g{f(ax1+(1-a)x2)≤ag(x1)+(1-a)gf(x2) 17.设f(x)在(-∞,+∞)上严格增,且恒有ff(f(x)f(x),试证:必有f(x)=x 18.若f(x)是在(-∞,+∞)上单增的偶函数,且f(0)=0,则f(x)=0 19.若f(x)满足条件:对x∈R有f(x+C)=-f(x)(C>0), 证明:fx)是以为周期的函数 20.设常数a>0,函数f(x)≠0,且fx+a) x∈R,试证:f(x)是以2a为周 期的周期函数 21.若y=f(x)(x∈R)的图形关于两直线x=a与x=ba0)是以为周期的周期函数 24.函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么? 25.选择填空 (1)奇、偶函数的定义域一定是 (AR (B)关于原点对称的区间 (C)关于原点对称的点集 (D)A、B、C都不对 (2)函数f(x)=| since,x∈(-∞,+∞)是 (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (3)函数D/N为有理数 0x为无理数 (A)非奇非偶函数 (B)有界函数 (C)非周期函数 (D)偶函数
·3· g[f (ax (1 a)x )] ag[f (x )] (1 a)g[f (x )] 1 2 1 2 + − + − . 17．设 f(x)在(-∞, + ∞)上严格增，且恒有 f[f(f(x))]=f(x)，试证：必有 f(x)=x. 18．若 f(x)是在(-∞, + ∞)上单增的偶函数，且 f(0)=0，则 f(x) 0. 19．若 f(x)满足条件：对 x R 有 f(x + )=-f(x) ( >0)， 证明：f(x)是以 为周期的函数. 20．设常数 a>0，函数 f(x) 0 ，且 f(x + a)= 1 f (x) ，x R ，试证：f(x)是以 2a 为周 期的周期函数. 21．若 y=f(x)(x R )的图形关于两直线 x=a 与 x=b(a0)是以 T a 为周期的周期函数. 24．函数 y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？ 25．选择填空： (1)奇、偶函数的定义域一定是________. (A)R (B)关于原点对称的区间 (C)关于原点对称的点集 (D)A、B、C 都不对 (2)函数 f(x)= cosx | xsinx | e , x ( , ) − + 是________. (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (3)函数 D(x)= 1, x 0, x 为有理数 为无理数 是________. (A)非奇非偶函数 (B)有界函数 (C)非周期函数 (D)偶函数
E)有界周期偶函数 (4)若f(x)为奇函数,则下列 款中的函数也是奇函数 (A)f(x)+a(a≠0,为常数) (B)ff(x)] (C)f(-x)+a(a≠0,为常数)(D)f(x)+f(-x) (5)设fx) x,xsI 2,|xk 12+x2,1xp’9(x) l0,|x>1 则复合函数(x)由 款表示 -2,|x1 (A)n(x)F=12,1x (B)fI o(x)]= ∫6,|x1 2,|xp (C)lp(x)}= ∫2+x2,|xl (D)lp(x)]= 2+x2,|xK1 x卜 x卜 (6)函数 的反函数是 (A)y X-log,(1 (C\y= log21-X (D)y=lg 补充题 1.(1)a=a对吗? (2)如果在|x|>b中去掉绝对值记号,应该怎样写? (3)试用|a+bl,|a-b|表示Max{a,b},Min{ab} 2.证明下列不等式 (1)n!>2n(n>3) (2)2n>n2(n≥5) (3)n3≤(n!)2(n≥3) (4)242n (5n!1)
·4· (E)有界周期偶函数 (4)若 f(x)为奇函数，则下列________款中的函数也是奇函数. (A)f(x)+ a ( a 0 ，为常数) (B)f[f(x)] (C))f(-x)+ a ( a 0 ，为常数) (D)f(x)+ f(-x) (5)设 f(x) 2 2 2 x , | x | 1 2 x , | x | 1 − + ， (x) = 2, | x | 1 0, | x | 1 ， 则复合函数 f[ (x)] 由_____________款表示. (A)f[ (x) ]= 2, | x | 1 2, | x | 1 − (B)f[ (x) ]= 6, | x | 1 2, | x | 1 (C)f[ (x) ]= 2 2 x , | x | 1 2, | x | 1 + (D)f[ (x) ]= 2 2 2 x , | x | 1 2 x , | x | 1 + − (6)函数 y= x x 2 2 1+ 的反函数是____________. (A) 2 2 log x y log (1 x) = − (B) y log x log (1 x) = − − 2 2 (C) 2 x y log 1 x = − (D) x y lg 1 x = − 补充题 1．(1) n n a | a | = 对吗？ (2)如果在 | x | >b 中去掉绝对值记号，应该怎样写？ (3)试用 | a + b |，| a-b | 表示 Max{a, b}，Min{a, b}. 2．证明下列不等式： (1)n!>2n (n>3) (2)2 n>n2 (n 5 ) (3)nn (n!)2 (n 3 ) (4) 1 3 2n 1 1 2 4 2n 2n 1 − + (5)n!1)
(6)若x>-1,则(1+x)≥(1+nx)(n∈N)(这个不等式称为 Bernoulli不等式) (7)设a1>0(i=1,2,…,n且a1·a2…an=1,则a1+a2+…+an≥n (8)设a>0(i=1,2,…,n),则 (9)x+x1+x2+…+xnP2x|-(|x1|+|x2|+…+|xn1) (10)设a,a2,…,an:;b1,b2,…,bhn为两组实数,则 3.解下列不等式 (1)2x+4|>10 (2)x(x-1)1; x+2 4.设fx)= artix,g(x)=tgx,求g(x)与gf(x 5.设f(x)= X.X>0 R f[g(x)]; g[f(x); ff(x)]; glg(x)I n(1+x),0≤x<2 6.设f(x)={2 2≤x≤4,求f1),f(2),f(丌),f(4.5) 4<x≤6 7.验证: Maxif(x),g(x)=-If(x)+g(x)+If(x) -g(x) Min f(x),g(x)=5f(x)+g(x) -f(x)-g(x) 8.设fx),g(x)在(a,b)上单增,求证:
·5· (6)若 x>-1，则(1 + x)n (1 + nx)(n N ) (这个不等式称为 Bernoulli 不等式) (7)设 i a 0 (i=1, 2, , n)且 1 2 a a an=1，则 a1 + a2 + … + an n. (8)设 ai>0(i=1, 2, …, n)，则 n 1 2 n 1 2 n a a a a a a n + ， n 1 2 n 1 2 n n a a a 1 1 1 a a a + + + . (9) 1 2 n 1 2 n | x x x x | | x | (| x | | x | | x | + + + + − + + + ) (10)设 a1, a2, …, an； b1, b2, …, bn 为两组实数，则 2 n n n 2 2 i i i i i 1 i 1 i 1 a b a b = = = 3．解下列不等式 (1)| 2x + 4 | >10； (2)| x(x-1)| 1； (7) 2< 1 | x 2 | + <3. 4．设 f(x)= arctgx ，g(x)=tgx，求 f[g(x) 与 g[f (x)] . 5．设 0, x 0 f (x) x, x 0 = ， 2 0, x 0 g(x) x , x 0 = − ，求 f [g(x)]; g[f(x)]; f[f(x)]; g[g(x)]. 6．设 x ln(1 x), 0 x 2 f (x) 2 , 2 x 4 6 x, 4 x 6 + = − ，求 f(1), f(2), f( ), f(4.5). 7．验证： 1 Max{f (x), g(x)} [f (x) g(x) | f (x) g(x) |] 2 = + + − Min [f(x) g(x) |f(x) g(x)|] 2 1 {f(x), g(x)}= + − − 8．设 f(x), g(x)在(a, b)上单增，求证：
(1)Max(f(x), g(x)) (2)min(f(x),g(x)3 也在(ab)上单增 .设fx)在(0,+∞)上有定义,x1>0,x2>0,求证: f(x)单增,则fx+x)≥fx)(x 10.一半径为a的圆铁片,自中心剪去一角形,将剩余部分(中心角为0)围成一个 无底圆锥,试建立圆锥容积V与中心角θ之间的函数关系 1.证明:函数fx)=a(a>0,a≠1),对一切实数x1≠x2恒有 ) 2 2.设 a+b f(2x)-f(-2x)=f2(x)-f2(-x) 13.设f(x=lg 试证 1+x f(y)+f(z) 14.设f(x)= x+3 解方程f(- 5.(1)设fx+-)= (2)设f(sin)=1+c0sx,求f(os2) 16.设f(x)为(-∞,+∞)上的奇函数,f(1)=a,且对任意x值均有:fx+2)-1(x)=f(2) (1)试用a表示f(2)与5); (2)问a取什么值时,x)是以2为周期的周期函数 17.研究下列函数有界性 (2)f(x)=x2分别在(a,b)及(-∞,+∞)上;
·6· (1)Max{f(x), g(x)} (2)min{f(x), g(x)} 也在(a, b)上单增. 9．设 f(x)在 (0, ) + 上有定义，x1>0, x2>0，求证： 若 f (x) x 单增，则 f(x1+x2) f(x1)+f(x2). 10．一半径为 a 的圆铁片，自中心剪去一角形，将剩余部分(中心角为 )围成一个 无底圆锥，试建立圆锥容积 V 与中心角 之间的函数关系. 11．证明：函数 f(x)=ax (a>0, a 1)，对一切实数 x1 x2 恒有 1 2 1 2 x x 1 f ( ) [f (x ) f (x )] 2 2 + + . 12．设 x x ae be f (x) a b − + = + (a −b )，证明： f(2x)-f(-2x)=f2 (x)-f 2 (-x). 13．设 f(x)= 1 x lg 1 x − + ，试证： y z f (y) f (z) f ( ) 1 yz + + = + . 14．设 f(x)= x 3 2x 1 + − ，解方程 1 2 f ( ) f ( ) x 1 3 = − . 15．(1)设 f(x+ 1 x )= 2 2 1 x x + ，求 f(x). (2)设 x f (sin ) 1 cosx 2 = + ，求 f(cos x 2 ). 16．设 f(x)为(-∞, +∞)上的奇函数，f(1)=a，且对任意 x 值均有：f(x+2)-f(x)=f(2) (1)试用 a 表示 f(2)与 f(5)； (2)问 a 取什么值时，f(x)是以 2 为周期的周期函数？ 17．研究下列函数有界性 (1)f(x)= 2 x 1 x + ； (2)f(x)=x2 分别在(a, b)及(-∞, +∞)上；
(3)f(x)= X+2 (4)f(x)= 18.在物理及工程技术中还用到“双曲函数”,它们的定义为 双曲正弦shx 2 双曲余弦chX=e+e-x 双曲正切th shx e-e-x chx e 双曲余切 thx= chx_e+e-x 试证 (1)ch x-shx=l (3)ch2x=ch'x+sh'x sh2x =2shxchx 2x (5)sh2x=ln(x+√x2+1)(
·7· (3)f(x)= x 1 x 2 + + ； (4)f(x)= 2 1 x x 1 + + . 18．在物理及工程技术中还用到“双曲函数”，它们的定义为： 双曲正弦 x x e e shx 2 − − = 双曲余弦 x x e e chx 2 − + = 双曲正切 x x x x shx e e thx chx e e − − − = = + 双曲余切 x x x x chx e e cthx shx e e − − + = = − 试证： (1) 2 2 ch x sh x 1 − = (2) sh(x y) shxchy chxshy + = + (3) 2 2 ch2x ch x sh x = + ， sh2x 2shxchx = (4) 2 2 1 1 th x ch x = − (5) 1 2 sh x ln(x x 1) − = + + (-∞<x<+∞) 1 2 ch x ln(x x 1) − = + − ( x 1)
第二章数列极限 思考题: 1.下列说法能否表明a是数列{an}的极限(与iman=a的定义是否等价?) (1)对vE>0,玉N,当n>N时,有an-a0,存在无限多项an,使|an-al|0,N,当n≥N时,有an-al0,N,当nN时,有an-l0,玉N,当n>N时,有an-a|0,N,当nN时,有an-a0,彐A∈R,当nA时,有an-l0,当nN时,有an-a|0),N,当nN时,有an-alN时,有an-al0,N,当nN时,有阳an-aN时,有阳an-al|0,对每个,N,当n>Nk时有an-aN时,有xn∈(aB)” 等价,对吗? 3.一个数列去掉或添加或改变有限项是否会改变它的收敛性与它的极限值? 4.证明:设a,b为两个定数, (1)若对vc>0都有a≤b+E,则a≤b (2)若对ve>0都有|a-bkE,则a=b 5.若{a}收敛,{bn}发散,则{a±bhn}、{anbn}收敛性如何?举例说明 6.{an}与{bn}均发散,则{an±bn}、{anbn}是否发散?举例说明
·8· 第二章 数列极限 思考题： 1．下列说法能否表明 a 是数列 an 的极限(与 n n lim a a → = 的定义是否等价？) (1)对 0， N ，当 n N 时，有 n a a − . (2)对 0 ，存在无限多项 n a ，使 n a a − . 3)对 0， N ，当 n≥N 时，有 n a a − . (4)对 0， N ，当 n>N 时，有 100 n a a − . (5)对 0， N ，当 n>N 时，有 n a a k − ，(其中 k 是与 ，n 无关的常数). (6)对 0， N ，当 n>N 时，有 n a a N − . (7)对 0， A R ，当 n>A 时，有 n a a − . (8) N ，对 0 ，当 n>N 时，有 n a a − . (9)对 + (a, ) (a>0)，N ，当 n>N 时，有 n a a − . (10)对 ： 0 1 ，N ，当 n>N 时，有 n a a − . (11)对无限个 0，N ，当 n>N 时，有 n a a − . (12)对 m N ，N ，当 n>N 时，有 n 1 a a m − . (13)设 →k 0 (k →)， k 0 ，对每个 k ，Nk ，当 n N k 时有 n a a − k. 2．有人说， n n lim x a → = 定义与“对 ( , ) (a ( , ) )， N，当 n>N 时，有 x ( , ) n ” 等价，对吗？ 3．一个数列去掉或添加或改变有限项是否会改变它的收敛性与它的极限值？ 4．证明：设 a, b 为两个定数， (1)若对 0 都有 a b + ，则 a b ； (2)若对 0 都有 | a b | − ，则 a=b. 5．若{an}收敛，{bn}发散，则{an±bn}、{anbn}收敛性如何？举例说明. 6．{an}与{bn}均发散，则{an±bn}、{anbn}是否发散？举例说明