第三章函数极限 教学目标: 1.掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。 2.掌握极限存在性的判定及应用。 3.熟练掌握求函数极限的基本方法:熟练掌握重要极限mx,m(+)及其 应用。 4.掌握无穷小(大)量及其阶的概念,并将它们运用到求极限中 重点:函数极限的概念、性质及计算 难点: Heine定理与 Cauchy准则的应用。 教学内容: §3.1函数极限概念 x趋于∞时函数的极限 定义1设f为定义在[a,+∞)上的函数,A为定数。若对ve>0,3正数M(≥a), 使得当x>M时有 则称函数f当x趋于+∞时以A为极限,记作 imnf(x)=A或f(x)→A 注1.limf(x)=A可看作数列极限lmnf(n)=a的直接推广。它们不同之处在于, 这里所考虑的是所有大于M的实数(连续),而不仅仅是正整数(跳跃性的) 注2.lmf(x)=A的几何意义。 注3.imf(x)≠A3E0>0,对M>a,3x>M使得f(x)-A≥Eo 例1.证明:(1) (2)lm x→+∞2x-12 (3)lim arctan= 定义1()设f是定义在U(-∞)(即(-∞,b)上的函数,A为定数若对ve>0,彐 正数M(M≤b),使得当ⅹ<M时有 f(x)-A< 则称f当x趋于-∞时以A为极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(x→-∞)
1 第三章 函数极限 教学目标： 1. 掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。 2. 掌握极限存在性的判定及应用。 3. 熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限 x sin x lim x→0 ， x x ) x 1 lim (1 + → 及其 应用。 4. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。 重点：函数极限的概念、性质及计算。 难点：Heine 定理与 Cauchy 准则的应用。 教学内容： §3.1 函数极限概念 一、x 趋于∞时函数的极限 定义 1 设 f 为定义在[a, +∞)上的函数，A 为定数。若对 ＞0， 正数 M(≥a)， 使得当 x＞M 时有 f(x) − A ＜ε， 则称函数 f 当 x 趋于+∞时以 A 为极限，记作 lim f(x) A x = →+ 或 f(x)→A(x→+∞). 注 1. lim f(x) A x = →+ 可看作数列极限 lim f(n) a n = → 的直接推广。它们不同之处在于， 这里所考虑的是所有大于 M 的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。 注 2. lim f(x) A x = →+ 的几何意义。 注 3. lim f(x) A x →+ 0 ＞0，对 M ＞a，x' ＞M 使得 f(x') − A ≥ 0 . 例 1. 证明：(1) 0 x sin x lim x = →+ ； (2) 2 3 2x 1 3x 1 lim x = − + →+ ； (3) 2 lim arctan x x = →+ 定义 1' (i)设 f 是定义在 U（-∞）(即(-∞,b])上的函数，A 为定数. 若对 ＞0， 正数 M(-M≤b)，使得当 x＜-M 时有 f(x) − A ＜ε, 则称 f 当 x 趋于-∞时以 A 为极限，记作 lim f(x) A x = →− 或 f(x)→A(x→-∞)
(i)设f是定义在U(∞X即k|≥a)上的函数,A为定数若对v>0,3正数M(≥a), 使得当|x|>M时有 则称f当x趋于∞时以A为极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(x→∞) 思考题:①用“εM”语言叙述lmf(x)≠A及lmf(x)≠A ②它们的几何意义? (2)imax=0(a>1) X→0 ()lim arcta 例3.证明:(1)lim-=0; (2)lm11+2=1 → 命题设f为定义在U(∞)上的函数,则 lim f(x)=A lim f(x)=lim f(x)=A 注: lim arctan不存在 x趋于x时函数的极限 定义2(函数极限的E-8定义)设函数f在点x0的某空心邻域U(x0;6′)内有定义, 为定数若对vc>0,38>0(8<8′),使得当0<xx<8时有 f(x)-A<e 则称函数f当x趋于x时以A为极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(x→x) 例4.证明:(1)lm(2x+4)=6; (2)lmX-4 3)lim/sgx=I 例5.证明:(1) lim sin x=sinx; 2
2 (ii)设 f 是定义在 U(∞)(即|x|≥a)上的函数，A 为定数. 若对 ＞0， 正数 M(≥a)， 使得当|x|＞M 时有 f(x) − A ＜ε, 则称 f 当 x 趋于∞时以 A 为极限，记作 lim f(x) A x = → 或 f(x)→A(x→∞). 思考题：①用“ε-M”语言叙述 lim f(x) A x →− 及 lim f(x) A x → . ②它们的几何意义？ 例 2. 证明：(1) 2 1 1 2x x lim x = − →− − ； (2) lim a 0 x x = →− (a＞1)； (3) 2 lim arctanx x = − →− . 例 3. 证明：(1) 0 x 1 lim x = → ； (2) 1 x 1 lim 1 2 x + = → . 命题 设 f 为定义在 U(∞)上的函数，则 lim f(x) A x = → lim f(x) lim f(x) A x x = = →+ →− . 注： lim arctanx x→ 不存在. 二、x 趋于 x0时函数的极限 定义 2(函数极限的 − 定义) 设函数 f 在点 x0的某空心邻域 U0 (x0； )内有定义， A 为定数. 若对 ＞0， ＞0( ＜ )，使得当 0＜|x-x0|＜δ时有 f(x) − A ＜ε, 则称函数 f 当 x 趋于 x0时以 A 为极限，记作 lim f(x) A x x0 = → 或 f(x)→A(x→x0). 例 4. 证明：(1) lim(2x 4) 6 x 1 + = → ； (2) 4 x 2 x 4 lim 2 x 2 = − − → ； (3) lim sgn x 1 x 0 = → . 例 5. 证明：(1) o x x lim sin x sin x 0 = → ；
例6.证明:lm 例7.证明:(1)m√x=√x。; (2)m√-x2=√1-x(xl0,36>0,当x∈U(x;6)时有f(x)∈U(A;ε) 分vE>0,36>0,使得fU(x;,6)cU(A;ε) 注4.ε-8定义的几何意义 定义3设函数f在U(x0;6.)=x2x0+8")(或U(x0;6)(x-8:x)内有定义 为定数若对vE>0,38>0(8<8),使得当x<x<x+8(或xr8<x<xo)时有 f(x)-A 则称数A为函数f当x趋于x(或x)时的右(左)极限,记作 f(x)=A( lim f(x)=A) x→x0 f(x)→A(x→xb)(f(x)→A(x→x)) 右极限与左极限统称为单侧极限。常把f在点x的右、左极限记作fx+0)、fxr0), 即f(x0+0)=Iimf(x),f(x0-0)= 例8.求下列函数在指定点的单侧极限 (1)f(x)= X.X< (2)f(x)=sgnx在x=0点 (3)(x)=1-x2在x=±1点
3 (2) o x x lim cosx csox 0 = → . 例 6. 证明： 3 2 2x x 1 x 1 lim 2 2 x 1 = − − − → 例 7. 证明：(1) o x x lim x x 0 = → ； (2) 2 0 2 x x lim 1 x 1 x 0 − = − → (|xo|＜1). 由ε-δ定义立得 lim c c x x0 = → ， 0 x x lim x x 0 = → (c 为常数，x0为定实数) 注 1. 定义 2 中的δ，相当于数列极限ε-N 定义中的 N，它依赖于ε，但也不是由 ε所唯一确定. 一般，ε愈小，δ相应也小一些. 注 2. lim f(x) A x x0 = → 研究的只是 x→x0 这一过程中函数值 f(x)的变化趋势，它与 f(x) 在点 x0是否有定义或取什么值无关. 因此，只需在 x0 的空心邻域中考虑. 注 3. 0＜|x-x0|＜δ x∈U0 (x0;δ); |f(x)-A|＜ε f(x)∈U(A;ε). 于是, lim f(x) A x x0 = → ＞0， ＞0，当 x∈U0 (x0; δ)时有 f(x)∈U(A; ε). ＞0， ＞0，使得 f(U0 (x0; δ)) U(A; ε). 注 4. ε-δ定义的几何意义. 定义 3 设函数 f 在 0 U+ (x0; δ')=(x0, x0+δ'）（或 0 U− (x0; δ')=(x0-δ', x0）)内有定义， A 为定数. 若对 ＞0， ＞0(δ＜δ'），使得当 x0＜x＜x0+δ(或 x0-δ＜x＜x0)时有 |f(x)-A|＜ε, 则称数 A 为函数 f 当 x 趋于 x + 0 (或 x − 0 ）时的右(左）极限，记作 lim f(x) A x x0 = → + （ lim f(x) A x x0 = → − ） 或 f(x)→A(x→x + 0 )（f(x)→A(x→x − 0 )） 右极限与左极限统称为单侧极限。常把 f 在点 x0的右、左极限记作 f(x0+0)、f(x0-0)， 即 f(x0+0)= lim f(x) 0 x x → + ，f(x0-0)= lim f(x) 0 x x → − . 例 8. 求下列函数在指定点的单侧极限： (1)f(x)= 在x 0点 x, x 0. x , x 0, 2 = ； (2)f(x)=sgnx 在 x=0 点； (3)f(x)= 2 1 − x 在 x=±1 点
例9.证明 定理3. I lim f(x)=A分lnf(x)=lmf(x0)=A 注 f(x)≠A f(x)≠A 注2.lmfx)和分lmf(x)与imf(x)至少有一个不彐 x→x0 或imf(x)与limf(x)均彐,但不相等 x→x0 lim §3.2函数极限的性质 下面以imf(x)为代表叙述函数极限的性质,这些性质对其余5种类型的函数极限 也成立 定理32(唯一性)若limf(x)存在,则此极限是唯一的 定理3.3(局部有界性)若lmf(x)存在,则f在x的某空心邻域UP(xo)内有界 定理34(局部保号性)若lmf(x)=A>0(或<0),则对vr(0<r<A)或0<r<-A), 丑U(x0),使得对一切x∈U(x)有 注在应用局部保号性时,常取mx)x<0 定理35(保不等式性)设imf(x)与lmg(x)都存在,且在某邻域UP(x;δ)内有 f(x)≤g(x),则 mf(x)≤img(x) 注.即使将条件中不等号改为严格不等号,但结论中不等号不能改为严格不等号! 定理36.(迫敛性)设imf(x)=lmg(x)=A,且在某U(x;8")内有 X )≤g( 则lmh(x) 例1.求下列极限:
4 例 9. 证明 0 2 x 4 x lim 2 x 2 = − − → − . 定理 3.1 lim f(x) A 0 x x = → lim f(x) 0 x x → + = lim f(x0 ) A x x0 = → − . 注 1. lim f(x) A 0 x x → lim f(x) 0 x x → + ≠A 或 lim f(x) A x x0 → − . 注 2. → lim f(x)不 0 x x lim f(x) 0 x x → + 与 lim f(x) 0 x x → − 至少有一个不 ； 或 lim f(x) 0 x x → + 与 lim f(x) 0 x x → − 均 ，但不相等. eg： → lim sgn x不 x 0 . §3.2 函数极限的性质 下面以 lim f(x) x→x0 为代表叙述函数极限的性质，这些性质对其余 5 种类型的函数极限 也成立. 定理 3.2 (唯一性) 若 lim f(x) x→x0 存在，则此极限是唯一的. 定理 3.3 (局部有界性) 若 lim f(x) x→x0 存在，则 f 在 x0的某空心邻域 U0 (x0)内有界. 定理3.4 (局部保号性) 若 lim f(x) x→x0 =A＞0(或＜0），则对 r (0＜r＜A)(或 0＜r＜-A)， U0 (x0)，使得对一切 x∈U0 (x0)有 f(x)＞r＞0（或 f(x)＜-r＜0) 注. 在应用局部保号性时，常取 r= 2 A . 定理 3.5 (保不等式性) 设 lim f(x) x→x0 与 lim g(x) x→x0 都存在，且在某邻域 U0 (x0; δ')内有 f(x)≤g(x)，则 lim f(x) x→x0 ≤ lim g(x) x→x0 . 注. 即使将条件中不等号改为严格不等号，但结论中不等号不能改为严格不等号！ 定理 3.6. (迫敛性) 设 lim f(x) x→x0 = lim g(x) x→x0 =A，且在某 U0 (x0; δ')内有 f(x)≤h(x)≤g(x)， 则 lim h(x) x→x0 =A. 例 1. 求下列极限： (1) x 2x x 1 sin lim x + → ；
(2)lm(im√x+1-sin√x) ()limx.[-1 定理37(四则运算法则)设imf(x)与lmg(x)都存在,则函数f±g,f·g,-(若 img(x)≠0)当x→x0时极限也存在,且 1)lim[f(x)±g(x)=lmf(x)±limg(x); )Iim[f(x)·g(x)]=lmf(x)·limg(x); f(x) lim f(x) x→xog(x)Img(x) 例2.求下列极限: (1)lm x→!x+2 (2)lx=a(a≥0,n∈N) (3)Im(x·tanx-1) 例3.求(1)回mn252 (x+h)3 (3)lim +1 例4.证明lmax=1(a>1) §3.3函数极限存在的条件 定理38(归结原则·Hene定理)设f在U(x;8)内有定义。则lmnf(x)存在∈ 对任何点列{n}cU0(x0,8)且xn→xn→∞),极限 lim f(x)都存在且相等 注1.归结原则可简述为 imf(x)=A对任何xn→xn→∞)有lmf(xn)=A 注2.证明极限不存在的两种方法 (1)n}:xn→xn→∞),使lmf(xn)不存在 (2)::x:→x(m-∞,x→x(m-∞)但lmx)≠mf(x)
5 (2) lim (sin x 1 sin x x + − →+ )； (3) ] x 1 lim x [ x 0 → . 定理 3.7 (四则运算法则) 设 lim f(x) x→x0 与 lim g(x) x→x0 都存在，则函数 f±g，f·g，g f (若 lim g(x) x→x0 ≠0)当 x→x0时极限也存在，且 1) lim [f(x) g(x)] x x0 → = lim f(x) x→x0 ± lim g(x) x→x0 ； 2) lim [f(x) g(x)] x x0 → = → lim f(x) x x0 lim g(x) x→x0 ； 3) g(x) f(x) lim x→x0 = lim g(x) lim f(x) 0 0 x x x x → → . 例 2. 求下列极限： (1) x 2 x 1 lim 2 x 1 + − → ； (2) n n x a lim x = a → (a≥0, n∈N+ )； (3) lim (x tan x 1) 4 x − → . 例 3. 求(1) x 5x 4 x 6x 8 lim 2 2 x 4 − + − + → ； (2) h (x h) x lim 3 3 h 0 + − → ； (3) x 1 3 x 1 1 lim ( 3 x 1 + − →− + ). 例 4. 证明 lim a 1 x x 0 = → (a＞1). §3.3 函数极限存在的条件 定理 3.8 (归结原则·Heine 定理) 设 f 在 U0 (x0; δ')内有定义。则 lim f(x) x→x0 存在 对任何点列 x U (x ; ') 0 0 n 且 xn→x0(n→∞)，极限 lim f(x ) n n→ 都存在且相等. 注 1. 归结原则可简述为： lim f(x) x→x0 =A 对任何 xn→x0(n→∞)有 lim f(x ) n n→ =A. 注 2. 证明极限不存在的两种方法： (1) x n ：xn→x0(n→∞)，使 lim f(x ) n x→ 不存在； (2) x n 和x n ： n x →x0(n→∞)，x n →x0(n→∞). 但 lim f(x ) n n → ≠ lim f(x ) n n →
注3.归结原则的意义 例1.证明lmsn及lm-sn-不存在 对于四种类型的单侧极限,归结原则可表为更强的形式,以x→xb为例 定理39设f在U9(x)有定义则lmf(x)=A对任何以xo为极限的递减数列 n}=U:(x),有mfxn)=A 相应于数列极限的单调有界定理,四类单侧极限也有相应的定理.仍以x→x吉为例 定理3.10设f为定义在U(x0)上的单调有界函数,则右极限lmf(x)存在 x→xd 定理31 Cauchy准则)设f在U(x0;6)内有定义则imf(x)存在evE>0, 38>0(80,对v6>0,3x、x"∈U(x0;8)使得(x)f(x") §34两个重要的极限 lim sinx 例1.求(1)lim im(1+-) 例2.求(1)lim(1+kx)x(k≠0) (2)lim(1--); (3)im() 例3.求(1)lm√nsmn 2)lim(1+ §3.5无穷小量与无穷大量 大穷小量
6 注 3. 归结原则的意义. 例 1. 证明 x 1 lim sin x→0 及 x 1 sin x 1 lim x→0 不存在. 对于四种类型的单侧极限，归结原则可表为更强的形式，以 x→x + 0 为例. 定理 3.9 设 f 在 U 0 + (x0)有定义. 则 lim f(x) 0 x x → + =A 对任何以 x0 为极限的递减数列 x n U 0 + (x0)，有 lim f(x ) n n→ =A. 相应于数列极限的单调有界定理，四类单侧极限也有相应的定理. 仍以 x→x + 0 为例. 定理 3.10 设 f 为定义在 U 0 + (x0)上的单调有界函数，则右极限 lim f(x) 0 x x → + 存在. 定理 3.11(Cauchy 准则) 设 f 在 U 0 + (x0; δ')内有定义. 则 lim f(x) x→x0 存在 ＞0， ＞0(δ＜δ')，使得对 x 、 x ∈U0 (x0; δ)有|f( x )-f(x")|＜ε. 注. lim f(x) x→x0 不存在 0 ＞0，对 ＞0， x 、x"∈U0 (x0; δ), 使得|f( x )-f(x")| ≥ε0. §3.4 两个重要的极限 一、 1 x sin x lim x 0 = → 例 1. 求(1) x sin x lim x→ − ； (2) x sin sin x lim x→0 ； (3) 2 x 0 x 1 cosx lim − → . 二、 ) e x 1 lim (1 x x + = → 例 2. 求(1) x 1 x 0 lim (1 + kx) → (k≠0)； (2) x x ) x 1 lim (1 − → ； (3) x 2 1 x 2 ) 2 x lim( − → . 例 3. 求(1) n lim n sin n → ； (2) n 2 n ) n 1 n 1 lim (1+ − → . §3.5 无穷小量与无穷大量 一、大穷小量
定义1设f在某U(xo)内有定义若 lim f(x)=0 则称f为当x→x时的无穷小量 若g在某U(x)内有界,则称g为当x→x0时的有界量 特别,任何无穷小量必是有界量 注1.类似可定义当x→x♂,x→x6,x→+∞,x→∞,x→∞时的无穷小量与有界 注2.无穷小量的性质 (两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量 (i)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量 注3.imf(x)=Af(x)-A是当x→x时的无穷小量 无穷小量阶的比较 高阶无穷小量 2.同阶无穷小量 3.等价无穷小量 注意:并不是任何两个无穷小量都可进行这种阶的比较! 定理312设f、g、h在Ux)内有定义,且有 f(x)g(x)(x→x0) (1)若lmf(xh(x)=A,则lmg(xh(x)=A; (2)若mhx=B,则mh(x)=B x→x0g(x) 例1.确定k值,使√+x3--x与x当x0时是同阶无穷小量 例2.利用等价无穷小量代换求下列极限: (1)im arctan tanx-sin x sIn X 注.在利用等价无穷小量代换求极限时,只能对所求极限式中积或商的因式进行替 换,而对极限式中相加或相减部分则不能随意替换 三、无穷大量 定义2设f在某U(x)内有定义.若对vG>0,38>0,使得当x∈UPx; 8)(cU(x0)时有 f(x)>G 则称函数f当x→x0时有非正常极限∞,记作 imf(x)=∞
7 定义 1 设 f 在某 U0 (x0)内有定义. 若 lim f(x) x→x0 =0 则称 f 为当 x→x0时的无穷小量. 若 g 在某 U0 (x0)内有界，则称 g 为当 x→x0时的有界量. 特别, 任何无穷小量必是有界量. 注 1. 类似可定义当 x→x + 0 ，x→x − 0 ，x→+∞，x→-∞，x→∞时的无穷小量与有界 量. 注 2. 无穷小量的性质： (i)两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. (ii)无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 注 3. lim f(x) x→x0 =A f(x)-A 是当 x→x0 时的无穷小量. 二、无穷小量阶的比较 1. 高阶无穷小量 2. 同阶无穷小量 3. 等价无穷小量 注意：并不是任何两个无穷小量都可进行这种阶的比较！ 定理 3.12 设 f、g、h 在 U0 (x0)内有定义，且有 f(x)~g(x) （x→x0） (1)若 lim f(x)h(x) A x x0 = → ，则 lim g(x)h(x) A x x0 = → ； (2)若 B f(x) h(x) lim x x0 = → ，则 B g(x) h(x) lim x x0 = → . 例 1. 确定 k 值，使 3 3 1+ x − 1− x 与 x k当 x→0 时是同阶无穷小量. 例 2. 利用等价无穷小量代换求下列极限： (1) sin 4x arctan x lim x→0 ； (2) 3 x 0 sin x tan x sin x lim − → . 注. 在利用等价无穷小量代换求极限时，只能对所求极限式中积或商的因式进行替 换，而对极限式中相加或相减部分则不能随意替换. 三、无穷大量 定义 2 设 f 在某 U0 (x0)内有定义. 若对 G ＞0， ＞0，使得当 x∈U0 (x0; δ)( U0 (x0))时有 |f(x)|＞G （*） 则称函数 f 当 x→x0时有非正常极限∞，记作 lim f(x) x→x0 =∞
若(*)式换成“f(x)>G”或“f(x)1时, lim a=+∞, 注1.无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数 注2.无穷大量是无界函数,但无界函数却不一定是无穷大量 定理3.13(i)设f在U(x)内有定义且不等于0。若f为当x→x0时的无穷小量 则为x→x0时的无穷大量 (i)若g为x→x0时的无穷大量,则一为x→x0时的无穷小量 四、曲线的渐近线 定义4若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与某定直线L的距 离趋于0,则称直线L为曲线C的渐近线 1若如,又,[()-k=b,则y+为曲线y)的斜浙近线 (x→±) 若limf(x)=∞(或lmf(x)=∞,lmf(x)=∞).则xx0为曲线y=(x)的垂直渐 近线 例4.求曲线f(x 的渐近线
8 若(*)式换成“f(x)＞G”或“f(x)＜-G”，则分别称 f 当 x→x0时有非正常极限+∞或- ∞，记作 lim f(x) x→x0 =+∞或 lim f(x) x→x0 =-∞. 注. 其它情形类似定义. 定义 3 对于自变量 x 的某种趋向(或 n→∞时)，所有以∞，+∞或-∞为非正常极 限的函数(包括数列)，都称为无穷大量. 例 3. 证明: (1) 2 x 0 x 1 lim → =+∞; (2) 当 a＞1 时， x x lim a →+ =+∞. 注 1. 无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数. 注 2. 无穷大量是无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量. 定理 3.13 (i)设 f 在 U0 (x0)内有定义且不等于 0。若 f 为当 x→x0 时的无穷小量， 则 f 1 为 x→x0时的无穷大量. (ii)若 g 为 x→x0时的无穷大量，则 g 1 为 x→x0 时的无穷小量. 四、曲线的渐近线 定义 4 若曲线 C 上的动点 P 沿着曲线无限地远离原点时，点 P 与某定直线 L 的距 离趋于 0，则称直线 L 为曲线 C 的渐近线. 1. 若 x f(x) lim (x ) x → →+ =k，又 lim [f(x) kx] b (x ) x − = → →+ . 则 y=kx+b 为曲线 y=f(x)的斜渐近线. 2. 若 = → lim f(x) x x0 （或 lim f(x) , x x0 = → + = → − lim f(x) x x0 ). 则 x=x0 为曲线 y=f(x)的垂直渐 近线. 例 4. 求曲线 f(x)= x 2x 3 x 2 3 + − 的渐近线