《离散数学》课程PPT教学课件（讲稿）第6章 几个典型的代数系统（6.2）环与域

62环与域 ■环的定义与实例 ■特殊的环 口交换环 口含幺环 口无零因子环 口整环 域

1 6.2 环与域 ◼ 环的定义与实例 ◼ 特殊的环  交换环  含幺环  无零因子环  整环  域

环的定义 定义设是代数系统,+和是二元运算. 如果满足以下条件: (1)构成交换群 (2)构成半群 (3)运算关于+运算适合分配律 则称是一个环

2 环的定义 定义 设是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足以下条件: （1）构成交换群 2）构成半群 3）·运算关于+运算适合分配律 则称是一个环

环中的术语 通常称+运算为环中的加法,·运算为环中的乘法 环中加法单位元记作0 乘法单位元(如果存在)记作1. 对任何元素x,称x的加法逆元为负元,记作一x 若x存在乘法逆元的话,则称之为逆元,记作x1

3 环中的术语 通常称+运算为环中的加法，· 运算为环中的乘法. 环中加法单位元记作 0 乘法单位元（如果存在）记作 1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作−x. 若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 x −1

环的实例 (1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普 通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有 理数环Q,实数环R和复数环C (2)n(mn≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加 法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环. (3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和 交运算构成环 (4)设Zn={0,1,,n-1},⊕和⑧分别表示模n的 加法和乘法,则构成环,称为模n的整 数环

4 环的实例 (1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普 通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有 理数环Q，实数环R 和 复数环C. (2) n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn (R)关于矩阵的加 法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环. (3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和 交运算构成环. (4) 设Zn ＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模n的 加法和乘法，则构成环，称为模n的整 数环

特殊的环 定义设是环, (1)若环中乘法适合交换律,则称R是交换环 (2)若环中乘法存在单位元,则称R是含幺环 (3)若va,b∈R,ab=0→a=0Vb=0,则称R是无 零因子环 (4)若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环, 则称R是整环 (5)若R为整环,|R}>1,且Va∈R*=R-{0},a1∈R, 则称R为域

5 特殊的环 定义 设是环， (1) 若环中乘法·适合交换律，则称 R是交换环. (2) 若环中乘法·存在单位元，则称 R是含幺环. (3) 若a, b∈R，a b=0  a=0∨b=0，则称R是无 零因子环. (4) 若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环， 则称 R 是整环. (5) 若 R为整环，|R|>1, 且aR*=R-{0}，a -1R, 则称 R 为域

零因子的定义与存在条件 设是环,若存在ab=0,且a≠0,b≠0,称a 为左零因子,b为右零因子,环R不是无零因子 环 实例,其中2②3=0,2和3都是零因 无零因子环的条件 可以证明:ab=0→c=0√b=0分消去律

6 零因子的定义与存在条件 设是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环R 不是无零因子 环. 实例 ，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子. 无零因子环的条件： 可以证明：ab = 0 → a=0  b=0  消去律

特殊环的实例 (1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是 交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之 外都是域 (2)令2z={2x|z∈Z},则构成交换环和无零 因子环.但不是含幺环和整环 (3)设n∈Z,n≥2,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵 加法和乘法构成环,它是含幺环,但不是交换环 和无零因子环,也不是整环 (4)构成环,它是交换环、含幺环,但不是 无零因子环和整环 注意:对于一般的n,Z是整环且是域◇n是素数

7 特殊环的实例 (1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是 交换环、含幺环、无零因子环和整环. 其中除Z之 外都是域 (2)令2Z={ 2z | z∈Z }，则构成交换环和无零 因子环. 但不是含幺环和整环. (3)设nZ, n2, 则 n 阶实矩阵的集合 Mn (R)关于矩阵 加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环 和无零因子环，也不是整环. (4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是 无零因子环和整环. 注意：对于一般的 n, Zn是整环且是域  n是素数

例题 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域 (1)A={a+bia,b∈Q},P=-1,运算为复数加法和乘法 (2)A={2x+1|z∈Z,运算为普通加法和乘法 (3)A={2zz∈Z,运算为普通加法和乘法 (4)A={x|x>20∧x∈},运算为普通加法和乘法 (5)A={a+b5a,b∈g}’运算为普通加法和乘法 解(2),(4),(5)不是环.为什么? (1)是环,是整环,也是域 (3)是环,不是整环和域

8 例题 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域. (1) A={a+bi |a,bQ}, i 2= −1, 运算为复数加法和乘法. (2) A={2z+1 | zZ}, 运算为普通加法和乘法 (3) A={2z | zZ}, 运算为普通加法和乘法 (4) A={ x | x≥0 ∧ xZ}, 运算为普通加法和乘法. (5) ，运算为普通加法和乘法 解 (2), (4), (5) 不是环. 为什么？ (1) 是环, 是整环, 也是域. (3) 是环, 不是整环和域. { 5 | , } 4 A = a + b a bQ

环的性质 定理设是环,则 (1)Va∈R,a·0=0·=0 (2)Va,beR,(ab=a(b)=-ab 3)Va,bER,(ab)=ab (4)Va,b, cEr, a(b-c)=ab-ac, (b-c)a= ba-ca

9 环的性质 定理 设是环，则 (1) a∈R， a·0 = 0·a = 0 (2) a,b∈R， (−a)b = a(−b) = −ab (3) a,b∈R， (−a)(−b) = ab (4) a,b,c∈R，a(b−c) = ab−ac， (b−c)a = ba−ca

环中的运算 例在环中计算(+b)3,(a-b)2 RF(a+b)3=(a+b)(a+ba+b (al+batab+b )(a+b) a3+6a2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (a-b)2=(a-b)a-b)=a2-ba-ab+b2 10

10 环中的运算 例 在环中计算 (a+b) 3 , (a−b) 2 解 (a+b) 3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a 2+ba+ab+b 2 )(a+b) = a 3+ba2+aba+b 2a+a 2b+bab+ab2+b 3 (a−b) 2 = (a−b)(a−b)=a 2−ba−ab+b 2