第2章一阶逻辑 ■一阶逻辑基本概念、命题符号化 阶逻辑公式、解释及分类 阶逻辑等值式、前束范式 一阶逻辑推理理论
1 第2章 一阶逻辑 ▪一阶逻辑基本概念、命题符号化 ▪一阶逻辑公式、解释及分类 ▪一阶逻辑等值式、前束范式 ▪一阶逻辑推理理论
21一阶逻辑基本概念 个体词 谓词 量词 阶逻辑中命题符号化
2 2.1 一阶逻辑基本概念 ▪ 个体词 ▪ 谓词 ▪ 量词 ▪ 一阶逻辑中命题符号化
基本概念—个体词、谓词、量词 个体词(个体):所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体 个体常项:具体的事务,用a,b,c表示 个体变项:抽象的事物,用x,y,表示 个体域:个体变项的取值范围 有限个体域,如{a,b,c},{1,2} 无限个体域,如N,Z,R,, 全总个体域:宇宙间一切事物组成
3 基本概念——个体词、谓词、量词 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具 体或抽象的客体 个体常项：具体的事务，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成
基本概念(续) 谓词:表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项:F:是人,F(a):a是人 谓词变项:F:…具有性质F,Fx):x具有性质F 元谓词:表示事物的性质 多元谓词(n元谓词,n2):表示事物之间的关系 如L(xy):x与y有关系L,L(xy):x≥, 0元谓词:不含个体变项的谓词,即命题常项或命 题变项
4 基本概念 (续) 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F: …是人，F(a)：a是人 谓词变项：F: …具有性质F，F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如 L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命 题变项
基本概念(续) 量词:表示数量的词 全称量词v:表示任意的,所有的,一切的等 如x表示对个体域中所有的x 存在量词:表示存在,有的,至少有一个等 如彐x表示在个体域中存在x
5 基本概念(续) 量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x
阶逻辑中命题符号化 例1用0元谓词将命题符号化 要求:先将它们在命题逻辑中符号化,再在一阶 逻辑中符号化 (1)墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中,设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p,这是真命题 在一阶逻辑中,设a:墨西哥,F(x):x位于南美洲 符号化为F(a)
6 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶 逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)
例1(续) (2)2是无理数仅当3是有理数 在命题逻辑中,设p:√2是无理数,q:3是有理数 符号化为p→q,这是假命题 在一阶逻辑中,设F(x):x是无理数,G(x):x是有理 数符号化为F(2)→G(3) (3)如果2>3,则33,q:3q,这是真命题 在一阶逻辑中,设F(xy):x>y,G(xy):x 符号化为F(2,3)-G(3,4
7 例1(续) 2 2 3 3 F( 2) → G( 3) (2) 是无理数仅当 是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 是无理数，q： 是有理数. 符号化为 p → q, 这是假命题 在一阶逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理 数符号化为 (3) 如果2>3，则33，q：3y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)→G(3,4) 2 2 3 3 F( 2) → G( 3)
阶逻辑中命题符号化(续) 例2在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美;(2)有人用左手写字 分别取(a)D为人类集合,(b)D为全总个体域 解:(a)(1)设Gx):x爱美,符号化为vxG(x) (2)设G(x):x用左手写字,符号化为彐xGx) (b)设F(x):x为人,Gx):同(a)中 (1)Vx(F(x)→>G(x) (2)彐x(F(x)∧G(x)) 这是两个基本公式,注意这两个基本公式的使用
8 一阶逻辑中命题符号化(续) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为 x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 (1) x (F(x)→G(x)) (2) x (F(x)G(x)) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用
阶逻辑中命题符号化(续) 例3在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)正数都大于负数 (2)有的无理数大于有的有理数 解注意:题目中没给个体域,一律用全总个体域 (1)令F(x):x为正数,G():y为负数,L(xy):x>y Vx(F(x)-V(G0)-L(xv)))EX xvy(F(x)G()-L(x)两者等值 (2)令F(x):x是无理数,G(0):y是有理数, L(x,y):x>y 彐x(F(x)∧彐y(G(y)入L(x,)) 或3xy(F(x)G()(x) 两者等值
9 一阶逻辑中命题符号化(续) 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)→y(G(y)→L(x,y))) 或 xy(F(x)G(y)→L(x,y)) 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或 xy(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值
阶逻辑中命题符号化(续) 几点注意: 1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求,用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒 否定式的使用 思考: ①没有不呼吸的人 ②不是所有的人都喜欢吃糖 ③不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化? 10
10 一阶逻辑中命题符号化(续) 几点注意： 1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不要随便颠倒 否定式的使用 思考： ① 没有不呼吸的人 ② 不是所有的人都喜欢吃糖 ③ 不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化？