第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒 定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推 断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中 出现了中值“”,虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解,但一般来 说这并不影响中值定理的广泛应用. 1.教学目的与要求:掌握微分中值定理与函数的 Taylor公式并 应用于函数性质的研究,熟练应用L′ Hospital法则求不定式极限, 熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题 2.教学重点与难点: 重点是中值定理与函数的 Taylor公式,利用导数研究函数的 单调性、极值与凸性 难点是用辅助函数解决有关中值问题,函数的凸性. 3.教学内容: §1拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识一罗尔定理,并由 此来讨论函数的单调性. 罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔( Rolle)中值定理)设∫满足 (i)在[ab上连续; (i)在(a,b)内可导 (iii)f(a)=f(b)
第六章 微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒 定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推 断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中 出现了中值“ ”，虽然我们对中值“ ”缺乏定量的了解，但一般来 说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式并 应用于函数性质的研究，熟练应用 L＇Hospital 法则求不定式极限， 熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的 Taylor 公式，利用导数研究函数的 单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由 此来讨论函数的单调性. 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理 6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设 f 满足 (ⅰ)在 a,b 上连续; (ⅱ)在 (a, b) 内可导; (ⅲ) f (a) = f (b)
则3∈(a,b)使 f"()=0 注(i)定理6.1中三条件缺一不可 如 0≤x<1 ,(ⅱi),(i)满足,(i)不满足, 结论不成立 2°y=,(i),(i)满足,(i)不满足,结论不成 立 3°y=x,(i),(ⅱ)满足,(i)不满足,结论不成 立 (ⅱi)定理6.1中条件仅为充分条件 如:f(x) r∈e-gx∈-ll,f不满足(i), (i),(i)中任一条,但f(0)=0 (ⅲi)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线 例1设∫在R上可导,证明:若f(x)=0无实根,则f(x)=0最多只 有一个实根 证(反证法,利用 Rolle定理) 例2证明勒让德( Legendre)多项式 Pn(x)2"n 在(-1)内有n个互不相同的零点 将 Rolle定理的条件(ⅲi)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
则 (a,b) 使 f ( ) = 0 (1) 注 (ⅰ)定理 6.1 中三条件缺一不可. 如: 1º = = 0 1 0 1 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2º y = x , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成 立. 3º y = x , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成 立. (ⅱ) 定理 6.1 中条件仅为充分条件. 如: 1,1 ( ) 2 2 − − − = x x x R Q x x Q f x , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但 f (0) = 0. (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设 f 在 R 上可导,证明:若 f (x) = 0 无实根,则 f (x) = 0 最多只 有一个实根. 证 (反证法,利用 Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx d x n P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 − = 在 (−1,1) 内有 n 个互不相同的零点. 将 Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
泛的 Lagrange中值定理 定理6.2(拉格朗日( Lagrange中值定理)设∫满足 (i)在[b上连续; (i)在(a,b)内可导 则彐∈(a,b)使 f(5)=f(b)-f(a) [分析](图见上册教材121页图6-3)割线AB的方程为 y=/(a)+f(b)-f(a) (x-a) 问题是证明5e(ab),使f(5)与割线在处导数yx:相等 即证 If(x-f(a) ∫(b)-f(a) (x-a)]=0 证作辅助函数F(x)=f(x)-f(a) ∫(b)-f(a (x-a),x∈[a,b 注(i) Lagrange中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲 线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线 (i)(2)式称为 Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形 式 f(b)-f(a)=f'((b-a,ab,还是a<b, Lagrange(中值)公式都成立.此公式 将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上 章中有限增量公式前进了一大步,这也是 Lagrange中值定理应用 更为广泛的原因之
泛的 Lagrange 中值定理. 定理 6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设 f 满足 (ⅰ)在 a,b 上连续; (ⅱ)在 (a, b) 内可导 则 (a,b) 使 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) (2) [分析]（图见上册教材 121 页图 6-3） 割线 AB 的方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 问题是证明 (a,b) ,使 f ( ) 与割线在 处导数 = x y 相等 即证 ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( ) − = − − − − a x b a f b f a f x f a 证 作辅助函数 ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a f b f a F x f x f a − − − = − − 注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲 线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线. (ⅱ)(2)式称为 Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形 式 ( ) ( ) ( ) ,0 1 (5) ( ) ( ) ( ( ))( ),0 1 (4) ( ) ( ) ( )( ), (3) + − = + − = + − − − = − f a h f a f a h h f b f a f a b a b a f b f a f b a a b 另外,无论 a b ,还是 a b , Lagrange(中值)公式都成立.此公式 将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上 一章中有限增量公式前进了一大步,这也是 Lagrange 中值定理应用 更为广泛的原因之一
(i) Lagrange中值定理是 Rolle中值定理的推广 (iv) Lagrange中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材 中首先构造辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)-t() 0(r-a)xela, b b 然后验证F(x)在[a,b上满足Role定理的三个条件,从而由 Rolle定 理推出F(x)存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常 常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下 题目的假设 +- 题目所要结论 辅助函数满足 辅助函数导函数 Rolle定理条件 零点存在性 当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从 Lagrange中值定理的几何意义出发构造辅助函数F(x).我们也可以构 造以下两个辅助函数来证明该定理 1°注意到(2)式成立3∈(ab)使得r()-10)-/a=0 b er(x)-(b)-a在(ab)内存在零点 b e(x)-6)-/(x在ab内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数c(x)=()-2(b)-ax(注意这种构造 b-a 辅助函数的方法是常见的)
(ⅲ) Lagrange 中值定理是 Rolle 中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材 中首先构造辅助函数 ( ), [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a x a b b a f b f a F x f x f a − − − = − − 然后验证 F(x) 在[ a,b] 上满足 Rolle 定理的三个条件,从而由 Rolle 定 理推出 F(x) 存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常 常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下: 当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从 Lagrange 中值定理的几何意义出发构造辅助函数 F(x) .我们也可以构 造以下两个辅助函数来证明该定理. 1º 注意到(2)式成立 (a,b) 使得 0 ( ) ( ) ( ) = − − − b a f b f a f b a f b f a f x − − − ( ) ( ) ( ) 在 (a,b) 内存在零点 ] ( ) ( ) [ ( ) − − − x b a f b f a f x 在 (a,b) 内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数 x b a f b f a G x f x − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) (注意这种构造 辅助函数的方法是常见的). 题目的假设 辅 助 函 数 满 足 Rolle 定理条件 件 辅助函数导函数 零点存在性 题目所要结论
2°辅助函数H(x)=a f(a) f(b)f(x) I(b)-f(a)f(x)-f(a) 例3证明对vh>-1h≠0,有 h In(1+h)0
2º 辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) f b f a f x f a b a x a f a f b f x H x a b x − − − − = = 例 3 证明对 h −1, h 0, 有 h h h h + + ln(1 ) 1 证 [法一]令 f (x) = ln(1+ x), 在 [0, h] 或 [h,0] 上利用Lagrange 中值定 理可证之. [法二]令 f (x) = ln x, 在 [1,1+ h] 或 [1+ h,1] 上利用 Lagrange 中值 定理可证之. 推论 1 若 f 在区间 I 上可导, f (x) 0, x I ,则 f 在 I 上为常数. 推论 2 若 f , g 都在区间 I 上可导, 且 x I, f (x) = g (x) ,则在 I 上, f 与 g 仅相差一个常数,即存在常数 C ,使对 xI 有 f (x) = g(x) + C 推论 3 (导数极限定理) 设 f 在 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内连续,在 ( ) 0 0 U x 内可导,且 ( ) lim 0 f x x x → 存在,则 ( ) 0 f x 存在,且 ( ) ( ) lim 0 f x f x x x o = → 注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间 (a, b) 上导函数 f (x) 不会 有第一类间断点. (ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导 数. 例 4 证明恒等式 2 , arctan cot 2 arcsin arccos x + x = x + arc x = 例 5 求 + + = ln(1 ), 0 sin , 0 ( ) 2 x x x x x f x 的导数
解(i)先求f(x),x≠0 (ⅱi)利用推论3(先验证∫在x=0处连续)求f(0) 单调函数 函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利 用导数给出判定函数单调性的新的有效方法 定理6.3设∫在区间1上可导,则 ∫在区间1上单调递增(减)x∈1,∫(x)≥0(≤0) 定理6.4设∫在区间(a,b)内可导,则f在区间(ab)内严格单调 递增(减)的充要条件是(i)wx∈(a,b),f(x)≥0(≤0) (i)在(a,b)的任何子区间上,f(x)不恒等于0 推论设∫在区间上可导,若vx∈,f(x)>0(1+x,x≠0 证令f(x)=e2-1-x,考察函数f(x)的严格单调性
解 (ⅰ)先求 f (x), x 0 ; (ⅱ)利用推论 3(先验证 f 在 x = 0 处连续)求 f (0) . 二 单调函数 函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利 用导数给出判定函数单调性的新的有效方法. 定理 6.3 设 f 在区间 I 上可导,则 f 在区间 I 上单调递增(减) x I, f (x) 0( 0) 定理 6.4 设 f 在区间 (a, b) 内可导,则 f 在区间 (a, b) 内严格单调 递增(减)的充要条件是(ⅰ) x(a,b), f (x) 0( 0) (ⅱ)在 (a, b) 的任何子区间上, f (x) 不恒等于 0 推论 设 f 在区间 I 上可导,若 x I, f (x) 0( 0) , f 在区间 I 上严 格单调递增(减). 注 (ⅰ)若 f 在区间 (a, b) 内(严格)单调递增(减),且在点 a 右连 续,则 f 在区间 [a,b) 内(严格)单调递增(减).对 (a,b] 上的函数有类似 结论. (ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出 f (x) ,再判定其符 号.为此,需求出使得 f 取得正负值区间的分界点.当 f 连续时,这些 分界点必须满足 f (x) = 0 . 例 6 求 ( ) 2 9 12 3 3 2 f x = x − x + x − 的单调区间. 例 7 证明 e 1+ x, x 0 x . 证 令 f (x) e 1 x, x = − − 考察函数 f (x) 的严格单调性
§2柯西中值定理与不定式极限 本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的 ′ Hospital法则. 柯西中值定理 定理6.5(柯西( Cauchy)中值定理)设∫,g满足 (i)在叵b]上都连续 (i)在(a,b)内都可导 (i)f(x)与g(x)不同时为零; (ivy)g(a)≠g(b) 则3∈(an,b),使 f'()f(b)-f(a) (1) g(5)g(b)-g(a) [分析]欲证(1),只须证[1(b)-/8()-m(l1=0且g(5)≠0 gb-g(a) 令F(=1(0)-/( 8(b)-8(08(x)-f(x由Ro1le定理证之 注(i) Cauchy中值定理是 Lagrange中值定理的推广(当 g(x)=x情形) (i) Cauchy中值定理的几何意义(图见上册教材126页 图6-5) 令 =f(x) lv=g(x) [a,b] 它表示o平面上的一段曲线AB.弦AB的斜率即为(1)式右边,而(1) 式左边
§2 柯西中值定理与不定式极限 本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的 L＇Hospital 法则. 一 柯西中值定理 定理 6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设 f , g 满足 (ⅰ)在 a,b 上都连续; (ⅱ)在 (a, b) 内都可导; (ⅲ) f (x) 与 g (x) 不同时为零; (ⅳ) g(a) g(b) 则 (a,b),使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b g a f b f a g f − − = (1) [分析] 欲证(1),只须证 ( ) ( )] 0 ( ) ( ) ( ) ( ) [ − = − − g x f x g b g a f b f a 且 g ( ) 0 . 令 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g b g a f b f a F x − − − = 由 Rolle 定理证之. 注 (ⅰ) Cauchy 中值定理是 Lagrange 中值定理的推广(当 g(x) = x 情形). (ⅱ) Cauchy 中值定理的几何意义（图见上册教材 126 页 图 6-5）: 令 [ , ] ( ) ( ) x a b v g x u f x = = 它表示 uov 平面上的一段曲线 AB.弦 AB 的斜率即为(1)式右边,而(1) 式左边
f"(5)d 表示与x=相对应的点(g(,f(4)处的切线斜率,因此(1)式表示上述 切线与弦AB平行 (i)研究下列函数可否作为证明 Cauchy中值定理的辅助函数 1)F(x)=f(x)-[(a)+ ∫(b)-f(a) (g(x-g(a) g(b)-g(a) 2)F(x)=[f(b)-f(a川g(x)-g(a)-[f(x)-f(a)g(b)-g{(a); 3)F(x)=[f(b)-f(a]g(x)-f(x)g(b)-g(a) g(a)f(a) 4)F(x)=±1k(b)f(b g(x)f(x) 例1设f在[b](b>a>0)上都连续,在(ab)内都可导,则35∈(ab) 使 f(b)-f(a)=5()l 证取g(x)=hx,对f,g利用 Cauchy中值定理即证之 不定式极限一两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1.型不定式极限 定理6.6L′ Hospital法则I)设 (i) limf(x)=lim g(x)=0 (ⅱi)f,g在x的某空心邻域U°(x)内可导且g'(x)≠0; (ⅱ)imf(x)=A(或±∞).则 x-33o g(x) f(x)存在且lm f(x) A(或±∞,∞) r g(r) xxo g(x)
= = x dv du g f ( ) ( ) 表示与 x = 相对应的点 (g( ), f ( )) 处的切线斜率,因此(1)式表示上述 切线与弦 AB 平行. (ⅲ)研究下列函数可否作为证明 Cauchy 中值定理的辅助函数 1) ( ( ) ( ))] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) g x g a g b g a f b f a F x f x f a − − − = − + ; 2) F(x) = [ f (b) − f (a)][g(x) − g(a)]−[ f (x) − f (a)][g(b) − g(a)] ; 3) F(x) = [ f (b) − f (a)]g(x) − f (x)[g(b) − g(a)] ; 4) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 1 ( ) g x f x g b f b g a f a F x = 例1 设 f 在 a,b ( b a 0) 上都连续, 在 (a, b) 内都可导,则 (a,b) , 使 a b f (b) − f (a) = f ( )ln 证 取 g(x) = ln x ,对 f , g 利用 Cauchy 中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 0 0 型不定式极限 定理 6.6(L＇Hospital 法则Ⅰ)设 (ⅰ) ( ) ( ) 0 lim lim 0 0 = = → → f x g x x x x x ; (ⅱ) f , g 在 0 x 的某空心邻域 ( ) 0 0 U x 内可导且 g (x) 0 ; (ⅲ) A g x f x x x = → ( ) ( ) lim 0 (或 , ).则 ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x 存在且 (或 , ) ( ) ( ) lim 0 = → A g x f x x x
注(i)定理6.6中x→x可换为x→x,x→±,x→∞,此时 条件(i)作相应修改即可 (i)若f(x当x→>x时仍属9型,且f(x)g(x)分别满足 g(x) 定理中∫(x),g(x)的条件,则可继续施用L′ Hospital法则I,从而确 定li f(x) 即 g(rlim f'(x) f∫"(x) lin 且可以依次类推 (i)“一花独秀不是春”,L′ Hospital法则虽是计算极限 的强有力工具,但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使 用才有更好的效果 例2求 (a>0,b>0) 例3求lim (提示:先令t=) 例4求imn(1+x2 (1+2x) (利用m(1+x2)等价于x2(x→0)原式转化 为 (1+2x) 例5求1imx(提示:先令=√x) x→0 2.型不定式极限 定理6.7(L′ Hospital法则Ⅱ)设
注 (ⅰ)定理 6.6 中 0 x → x 可换为 → → → x x , x , x 0 ,此时 条件(ⅱ)作相应修改即可. (ⅱ)若 ( ) ( ) g x f x 当 0 x → x 时仍属 0 0 型,且 f (x), g (x) 分别满足 定理中 f (x)，g(x) 的条件,则可继续施用 L＇Hospital 法则Ⅰ,从而确 定 ( ) ( ) lim 0 g x f x x→x ,即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim 0 0 0 g x f x g x f x g x f x x x x x x x = = → → → 且可以依次类推. (ⅲ)“一花独秀不是春”，L＇Hospital 法则虽是计算极限 的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使 用才有更好的效果. 例 2 求 ( 0, 0) lim 0 − → a b x a b x x x 例 3 求 x e e x x x 1 sin 1 1 lim − → − (提示:先令 x t 1 = ) 例 4 求 ln(1 ) (1 2 ) 2 2 1 0 lim x e x x x + − + → (利用 ln(1 ) 2 + x 等价于 2 x (x → 0) 原式转化 为 2 2 1 0 (1 2 ) lim x e x x x − + → ) 例 5 求 x x e x → 1− lim 0 (提示:先令 t = x ) 2. 型不定式极限 定理 6.7(L＇Hospital 法则Ⅱ)设
lim∫(x)=limg( (i)f,g在x0的某空心邻域U0-(x)内可导且g(x)≠0; (ii)lim f( =A(或±∞,∞).则 g(x) im(x存在且1im(=A或士m四) x→x0 g(x) 注定理6.7中x→x可换为x→x,x→x,x→,x→∞等情形, 此时条件(i)作相应修改即可 例6求 lim(a>0) 例7求 例8求im 例9求lm(>0)(提示:先证im-(>0)=0) 注(i)当jm(或imy(不存在时, L Hospital法则不 8(x) 能用.如: °lim2不能用L′ Hospital法则(s-c 21im3x不能用L′ Hospital法则(x+sx sin x (ⅱi)只有不定式极限且满足L' Hospital法则条件才能使用L′
(ⅰ) = = → + → + ( ) ( ) lim lim 0 0 f x g x x x x x ; (ⅱ) f , g 在 0 x 的某空心邻域 ( ) 0 0 U + x 内可导且 g (x) 0 ; (ⅲ) A g x f x x x = → + ( ) ( ) lim 0 (或 , ).则 ( ) ( ) lim 0 g x f x x x → + 存在且 (或 , ) ( ) ( ) lim 0 = → + A g x f x x x 注 定理6.7中 + → 0 x x 可换为 , , , → 0 → 0 → − x x x x x x → 等情形, 此时条件(ⅱ)作相应修改即可. 例 6 求 ( 0) ln lim → x x x 例 7 求 x x x tan 3 tan lim 2 → 例 8 求 lim 3 x e x x − →− 例 9 求 ( 0) lim → n n e n (提示:先证 ( 0) 0 lim = → x x e x ) 注 (ⅰ)当 ( ) ( ) lim 0 g x f x x x → 或 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 g x f x n n x→x 不存在时, L＇Hospital 法则不 能用.如: 1º x x x x x e e e e − − → + − lim 不能用 L＇Hospital 法则( x x x x e e e e − − + − = 1 1 1 2 2 → + − − − x x e e ) 2º x x x x sin lim + → 不能用 L＇Hospital 法则( x x + sin x = 1 sin 1+ → x x ) (ⅱ)只有不定式极限且满足 L＇Hospital 法则条件才能使用 L＇