第6章几个典型的代数系统 ■61半群与群 ■6.2环与域 ■63格与布尔代数
1 第6章 几个典型的代数系统 ◼ 6.1 半群与群 ◼ 6.2 环与域 ◼ 6.3 格与布尔代数
61半群与群 ■半群与独异点 口半群定义与性质 口交换半群与独异点 口半群与独异点的子代数和积代数 口半群与独异点的同态 群 口群的定义与性质 口子群与群的直积 口循环群 口置换群
2 ◼ 半群与独异点 半群定义与性质 交换半群与独异点 半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态 ◼ 群 群的定义与性质 子群与群的直积 循环群 置换群 6.1 半群与群
半群的定义与实例 定义设V是代数系统,o为二元运算,如果 o运算是可结合的,则称V为半群 实例(1),N,+>,,Q+>,都是半群,+是 普通加法 (2)设n是大于1的正整数,和都是半 群,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法 (3)为半群,其中曲为集合的对称差运算 (4)为半群,其中Zn={0,1,…,n-1},⊕为模n加法 (5)为半群,其中o为函数的复合运算. (6)为半群,其中R为非零实数集合,o运算定义 如下:Vx,y∈R,xoy→y
3 半群的定义与实例 定义 设 V= 是代数系统，o为二元运算，如果 运算是可结合的，则称 V 为半群. 实例 （1）,,,,都是半群，+是 普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，和都是半 群，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）为半群，其中为集合的对称差运算. （4）为半群，其中 Zn={0,1, …, n−1}，为模 n 加法. （5）为半群，其中 为函数的复合运算. （6）为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义 如下：x, y∈R*, x y =y
元素的幂运算性质 元素的幂运算定义 设Ⅴ=为半群,对任意x∈S,规定: = x≡y"oXs n∈Z 幂运算规则: ro r=x n+m Gr")m=x/nm m,n∈+ 证明方法:数学归纳法
4 元素的幂运算性质 元素的幂运算定义 设V=为半群，对任意 x∈S，规定： x 1 = x x n+1 = x n x, n∈Z+ 幂运算规则： x n x m = x n+m (x n ) m= x nm m, n∈Z+ 证明方法：数学归纳法
特殊的半群 定义设V=是半群 (1)若o运算是可交换的,则称V为交换半群 (2)若e∈S是关于o运算的单位元,则称V是含幺 半群,也叫做独异点 独异点V记作V=<S,o,C
5 特殊的半群 定义 设V = 是半群 (1) 若 运算是可交换的，则称V 为交换半群 . (2) 若 e∈S 是关于 运算的单位元，则称 V 是含幺 半群，也叫做 独异点. 独异点 V 记作 V =
独异点的幂 独异点的幂运算定义 n1. x or, n∈N 幂运算规则 xoom=xnl+m Cr")m= x"m m,n∈N
6 独异点的幂 独异点的幂运算定义 x 0 = e x n+1 = x n x, n∈N 幂运算规则 x n x m = x n+m (x n ) m= x nm m, n∈N
交换半群和独异点的实例 例1(1),,,,都是交 换半群,也是独异点,+是普通加法 (2)设n是大于1的正整数,和都是 独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法加 法构成交换半群,乘法不是交换半群 (3)为交换半群和独异点,其中⊕为集合的对 称差运算 (4)为交换半群与独异点,其中Zn={0,1, n-1},⊕为模n加法 (5)为独异点,不是交换半群,其中o为函数的 复合运算
7 交换半群和独异点的实例 例1 （1）,,,,都是交 换半群，也是独异点，+ 是普通加法. （2）设 n 是大于 1 的正整数，和都是 独异点，其中+和· 分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加 法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）为交换半群和独异点，其中为集合的对 称差运算. （4）为交换半群与独异点，其中 Zn = {0, 1, …, n−1}， 为模 n 加法. （5）为独异点，不是交换半群，其中 为函数的 复合运算
半群与独异点的子代数 定义半群的子代数称为子半群,独异点的子代数称 为子独异点 判断方法 设为半群,T是V的子半群当且仅当T 对o运算封闭.设V=为独异点,T是v的 子独异点当且仅当T对。运算封闭,且e∈T 实例: ,是的子半群,是不是的子独异点
8 半群与独异点的子代数 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点 判断方法 设 V=为半群，T 是 V 的子半群当且仅当 T 对 o 运算封闭. 设 V = 为独异点，T 是 V 的 子独异点当且仅当 T 对 o 运算封闭，且 eT 实例： , 是的子半群，是 的子独异点， 不是的子独异点
半群与独异点的积代数 定义设V1=,V2=是半群(或独异 点),令S=S1XS2,定义S上的·运算如下: V∈s, = 称为V和V2的积半群(直积),记作 V×V2若Ⅵ1 190y1 和V2=是独 异点,则V×V2=>也是独异 点,称为独异点的积独异点(直积)
9 半群与独异点的积代数 定义 设 V1=，V2= 是半群 (或独异 点)，令S = S1×S2，定义 S 上的 · 运算如下： ,∈S， · = 称 为 V1 和 V2 的 积半群（直积），记作 V1×V2 . 若 V1 = 和 V2 = 是独 异点，则 V1×V2 = > 也是独异 点, 称为独异点的 积独异点 (直积)
半群和独异点的同态 定义(1)设v=,V2=是半群,q: S1→S2若对任意的x,y∈S1有 cp ( xoy)=op(x)*pv) 则称φ为半群V1到V2的同态映射,简称同态 (2)设V1=,V2=是独异点, φ:S1→S2,若对任意的x,y∈S1有 φ(xoy)=qp(x)*q()且φ(e1)=e2, 则称φ为独异点V1到V2的同态映射,简称同态 10
10 半群和独异点的同态 定义 (1) 设V1= ，V2= 是半群，： S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态. (2) 设V1 = ，V2 = 是独异点， : S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 且 (e1 ) = e2 , 则称 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态