咸宁职业技术学院 第三章 一随机变量的数字特征 龚友造等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编
咸宁职业技术学院 第一节 龚友造等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 数 学 期 望
咸宁职业技术学院 §3.1数学期望 引例甲、乙两射手,在同样条件下进行 射击。他们命中的环数分别记为ξ、n,其 概率分布列分别为: 218 10 n89 10 p|0.2 0.50.3 0.30.10.6 试问如何来评定两个射手的技术优劣? 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 引例 甲、乙两射手，在同样条件下进行 射击。他们命中的环数分别记为ξ、η，其 概率分布列分别为： 试问如何来评定两个射手的技术优劣？
咸宁职业技术学院 §3.1数学期望 解虽然分布列完整地描述了ξ、η的统计规律,但 对于他们的技术优劣不能直接由分布列看出结 果.若考虑平均射中的环数则可求得问题的答案, 假定他们各射击100次,则 甲平均射中的环数约为 10(8×20+9×50+10×30)=9.1(环) 乙平均射中的环数约为 10(8×30+9×10+10×60)=93(环) 从平均射中的环数看,甲的技术优于乙 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 解 虽然分布列完整地描述了ξ、η的统计规律，但 对于他们的技术优劣不能直接由分布列看出结 果．若考虑平均射中的环数则可求得问题的答案， 假定他们各射击100次，则 100 1 甲平均射中的环数约为 乙平均射中的环数约为 （8×20+9×50+10×30）=9.1（环） 10（0 8×30+9×10+10×60）=9.3（环） 1 故 从平均射中的环数看，甲的技术优于乙．
咸宁职业技术学院 §3.1数学期望 数学期望的定义 设离散型随机变量的分布列是 p pI p2 p4 若级数∑Px绝对收敛则称其和为随机变量 的数学期望或平均值(简称期望或均值), 记为E或E() 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 设离散型随机变量 的分布列是 若级数 i 1 i i p x 的数学期望或平均值(简称期望或均值), 记为Eξ 或 E(ξ ) 数学期望的定义 绝对收敛,则称其和为随机变量ξ ξ p p1 p2 … … p4 … … x 1 , x 2 , x 4
咸宁职业技术学院 §3.1数学期望 例1设随机变量的分布列为 13 p2/31/3 求E 解由E的定义得E5=-1 +3× 33 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 例1 设随机变量ξ的分布列为 ξ -1 3 p 2/3 1/3 求Eξ ． 解 由Eξ的定义得 3 1 3 1 3 3 2 E 1
咸宁职业技术学院 §3.1数学期望 例2设随机变量ξ有分布列 0 2 0.10.20.10.30.3 试求号的数学期望E 解此题显然不必考虑∑Px 的绝对收敛性,因为它是有限和 E5=∑px=(-1)×01+0×0,2+1×0.1+2×0.3+3×0.31 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 例2 -1 0 1 2 3 p 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3 设随机变量 有分布列 试求 的数学期望 E . 解 此题显然不必考虑 i1 i i p x 的绝对收敛性，因为它是有限和， 5 i 1 i i E p x =（-1）×0.1+0×0.2+1×0.1+2×0.3+3×0.3=1.5
咸宁职业技术学院 常见离散的随机变量的数学期望 (1)二点分布 设5服从二点分布,其分布列为: 0 P(xi= 5) p q 则E5=1×p+0×q=p(q=1p) 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 常见离散的随机变量的数学期望 (1) 二点分布 设 服从二点分布，其分布列为： xi 1 0 P( = ) p q 则 E =1×p+0×q=p (q=1-p)
咸宁职业技术学院 常见离散的随机变量的数学期望 (2)二项分布 设~B(n,p) 则E(5)=∑Cp(1-P)”k k=0 v∑ (n-1) k p(1 (n-1)-(k-1) k(k-1)(n-k) oCKP(1-p)mk k=0 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 设 ξ ~ B ( n , p ) 则 n k k k n k n E kC p p 0 ( ) (1 ) n k k n k p p k n k n np 1 1 ( 1) ( 1) (1 ) ( 1)!( )! ( 1)! 1 0 ( 1) 1 (1 ) n k k k n k np Cn p p np 常见离散的随机变量的数学期望
咸宁职业技术学院 常见离散的随机变量的数学期望 特例若Y~B(1,p),则E(Y)=p 由此可见,当进行n重贝努利试验时 如果每次成功的概率是p,则n次试验成 功的平均次数是mp 龚友等主编
咸宁职业技术学院 龚友运等 主编 特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) 由此可见，当进行n重贝努利试验时， 如果每次成功的概率是p ,则n次试验成 功的平均次数是np． p 常见离散的随机变量的数学期望