咸宁职业技术学院：《概率论与数理统计》_习题5-2

习题5-2 1.假设x1x2,xn(n>2)是取自总体的样本,5的期望和方差a2都存在, 求证:1,2,,都是总体期望的无偏估计其中A=5,2=(1+E 3)A4=∑5 *2.同上题求证:样本方差S2是总体方差a2的无偏估计量 *3比较题1中u的四个无偏估计量方差的大小 4.设总体服从区间0-1,+上的均匀分布,其中0为未知参数,又x,x2…,xn 为样本,试证:=x为O的无偏估计量 5.设总体的密度函数为o(x)-(+0)x,(0<x<) 其它 ,若样本值为(x,x2,…,xn), 求未知参数θ的最大似然估计值 6.假设x1x2,x是来自正态总体的一个样本,5~N(,a)与σ2均未知,求 与a2的最大似然估计值 7.第6题中条件不变,求与2的矩估计 8.假设随机变量ξ服从参数为m与p的二项分布,即x~Bmp其中参m已知,而 参数p未知,x1x2,,x,是来自x的一个样本,求未知参数p的矩估计 9.某灯泡厂某天生产了一大批灯泡,从中抽取了10个进行寿命试验,得数据如下 1050110010801120120012501040113013001200 又知道该天生产的灯泡寿命的方差是8,试找出灯泡平均寿命的置信区间(单位:小时 10.随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度如下(单位:cm) 2.142.102.132.152.132.122.132.10 设钉子的长度服从正态分布,σ=0.0(cm),试求总体均值μ的90%的置信区间 1.假设随机变量5服从正态分布N(,283),现有5的10个观察值

1 习题 5-2 1. 假设 n x x ,..., x 1, 2 （n>2）是取自总体  的样本,  的期望和方差  2 都存在, 求证:  ˆ , ˆ , ˆ , ˆ 1 2 3 4 都是总体期望的无偏估计.其中 ˆ , 1  1 = ( ), 2 1 ˆ  2  1  n = + ( ) = = + + = n i i n 1 3 1 2 3 4 1 2 3 , ˆ 6 1 ˆ      *2. 同上题,求证: 样本方差 S 2 是总体方差  2 的无偏估计量． *3 比较题 1 中  的四个无偏估计量方差的大小． 4. 设总体  服从区间       − + 2 1 , 2 1   上的均匀分布, 其中  为未知参数, 又 x x xn , , , 1 2  为样本, 试证: = = n i xi n x 1 1 为  的无偏估计量． *5. 设总体  的密度函数为 ( ) ( ) ( )    +   = 0, 其它 1 x , 0 x 1 x    , 若样本值为 (x1 , x2 ,, xn)， 求未知参数  的最大似然估计值． 6．假设 n x x ,..., x 1, 2 是来自正态总体的一个样本，  ~ N (  )   2 2 , , 与 均未知，求   与 2 的最大似然估计值． 7．第 6 题中条件不变，求   与 2 的矩估计． 8．假设随机变量  服从参数为 m 与 p 的二项分布，即 x ~ B(m, p), 其中参 m 已知，而 参数 p 未知， n x x ,..., x 1, 2 是来自 x 的一个样本．求未知参数 p 的矩估计． 9．某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从中抽取了 10 个进行寿命试验，得数据如下: 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 又知道该天生产的灯泡寿命的方差是 8，试找出灯泡平均寿命的置信区间（单位：小时; 0 0  = 5 ） 10．随机地从一批钉子中抽取 16 枚，测得其长度如下（单位：cm） 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉子的长度服从正态分布， = 0.01(cm), 试求总体均值  的 0 0 90 的置信区间. 11．假设随机变量  服从正态分布 ( ) 2 N , 2.8 ，现有  的 10 个观察值

已知x 10x=1500(i)求的置信度是095的置信区间; (ⅱi)要想使0.95的置信区间长度小于1,观察值个数n最小应取多少? 12.设某种电子管使用寿命服从正态分布,从中随机取15个进行检査,得平均寿命 为1950小时,标准方差S为300小时, ()以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上,下限 (i)对整批电子管使用寿命的方差进行区间估计(a=005)

2 x x xn , , 1 2 ，已知 = = = 10 1 1500 10 1 i x xi （i）求  的置信度是 0.95 的置信区间; （ii）要想使 0.95 的置信区间长度小于 1, 观察值个数 n 最小应取多少？ 12．设某种电子管使用寿命服从正态分布, 从中随机取 15 个进行检查, 得平均寿命 为 1950 小时，标准方差 S 为 300 小时， (i) 以 0 0 95 的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信上,下限 (ii) 对整批电子管使用寿命的方差进行区间估计 ( = 0.05)