习题5-5 1、(火柴盒问题)波兰数学家巴拿赫( Banach)随身带着两盒火柴,分别放在左右 两个衣袋里,每盒有n根火柴每次用时,便随机地从其中一盒中取出一根.试求他发现 其中一盒已空,而另一盒中剩下的火柴根数的分布律. 、(田忌赛马新问题)田忌赛马的故事众所周知:“齐王与田忌各有上、中、下三 个等级的马,同等级的马中,田忌的马不如齐王的马.若田忌的马比齐王的马高一等级 则田忌的马能取胜.若三比二胜,田忌能取胜吗?”若将此赛规则更换为:“第一局比 赛胜者可从负者处赢三千金;第二局比赛胜者可以负者处赢二千金;第三局比赛胜者可 以负者处赢得一千金.”其余条件不变,那么田忌还能赢得这场比赛吗? 3、(决策问题)某厂有一种新产品,有可供选择的三种推销策略S1、S2、S3,但各 方案所需的资金,时间都不同,由于市场的不同情况(N:需求量大,N2需求量一般, 需要求小)于是获利和亏损情况也不同.市场效益值见下表(不知其概率): 市场情况 N N2 N3 10 销售策略 25 0 10 10 请你:(1)用乐观法进行决策 (2)用悲观法进行决策 (3)用等可能法进行决策. 注:三种决策方法的概念参看有关资料. 4、(客车停站问题)一辆送客汽车载有20位乘客从起点站出发,途中有10个车站 可以下车,若到达一个车站无下车乘客则不停车.设每位乘客在每一个车站下车是等可 能的,试求汽车平均停车次数. 5、(供电问题)某车间有200台车床互相独立地工作.在生产期间,每台车床有 6%的时间在开动(因检修、测量、调换刀具、变换位置等诸多原因需临时停车).每 台机床开动时需要耗电1kw,那么至少应给这个车间供应多少电力才能保证在8小时生 产中只有不超过半分钟因电力不足而影响生产? 6、(传染病随机感染的动态模型问题)将例5中传染病随机感染问题从静态模型发 展为动态模型.即仍用原来的假设,记第k天的病人和健康者的人数分别为ik和s,求 ik和sk的平均值. 7、(放射物质的原子核蜕变问题)在一定数量的放射性物质中有n个原子,其原子 核是不稳定的,且按照随机规律蜕变.蜕变后产生的新原子又是不稳定的,可能进行
1 *习题 5-5 1、（火柴盒问题）波兰数学家巴拿赫（Banach）随身带着两盒火柴，分别放在左右 两个衣袋里，每盒有 n 根火柴.每次用时，便随机地从其中一盒中取出一根.试求他发现 其中一盒已空，而另一盒中剩下的火柴根数的分布律. 2、（田忌赛马新问题）田忌赛马的故事众所周知：“齐王与田忌各有上、中、下三 个等级的马，同等级的马中，田忌的马不如齐王的马.若田忌的马比齐王的马高一等级， 则田忌的马能取胜. 若三比二胜，田忌能取胜吗？”若将此赛规则更换为：“第一局比 赛胜者可从负者处赢三千金；第二局比赛胜者可以负者处赢二千金；第三局比赛胜者可 以负者处赢得一千金.”其余条件不变，那么田忌还能赢得这场比赛吗？ 3、（决策问题）某厂有一种新产品，有可供选择的三种推销策略 S1、S2、S3，但各 方案所需的资金，时间都不同，由于市场的不同情况（N1：需求量大，N2 需求量一般， N3：需要求小）于是获利和亏损情况也不同.市场效益值见下表（不知其概率）： N A 市 场 情 况 N1 N2 N3 销 售 策 略 S1 50 10 -5 S2 30 25 0 S3 10 10 10 请你：（1）用乐观法进行决策； （2）用悲观法进行决策； （3）用等可能法进行决策. 注：三种决策方法的概念参看有关资料. 4、（客车停站问题）一辆送客汽车载有 20 位乘客从起点站出发，途中有 10 个车站 可以下车，若到达一个车站无下车乘客则不停车.设每位乘客在每一个车站下车是等可 能的，试求汽车平均停车次数. 5、（供电问题）某车间有 200 台车床互相独立地工作. 在生产期间，每台车床有 60%的时间在开动（因检修、测量、调换刀具、变换位置等诸多原因需临时停车）. 每 台机床开动时需要耗电 1kw，那么至少应给这个车间供应多少电力才能保证在 8 小时生 产中只有不超过半分钟因电力不足而影响生产？ 6、（传染病随机感染的动态模型问题）将例 5 中传染病随机感染问题从静态模型发 展为动态模型. 即仍用原来的假设，记第 k 天的病人和健康者的人数分别为 ik和 sk，求 ik和 sk的平均值. 7、（放射物质的原子核蜕变问题）在一定数量的放射性物质中有 n 个原子，其原子 核是不稳定的，且按照随机规律蜕变. 蜕变后产生的新原子又是不稳定的，可能进行一
系列的蜕变,其表征是每次蜕变发射一个α粒子或β粒子.试讨论其规律,给出随机解 释 8、煤矸石堆积问题(CUMM999年C题) 煤矿采矿时,会产出无用废料—一煤矸石.在平原地区,煤矿不得不征用土地堆 放矸石.通常矸石的堆积方法是:架设一段与地面角度为β=25°的直线形上升轨道(角 度过大,运矸车无法装满),用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾 倒,待矸石堆髙后,再借助矸石堆延长轨道,这样逐渐堆起如图5-14所示的一座矸石 山来 图5-14 现给出下列数据 矸石自然堆放安息角(矸石自然堆积稳定后,其坡面与地面所形成夹角)α≤55° 矸石容重(碎矸石单位体积的重量)约2吨/米3; 运矸车所需电费为0.5元/度(不变) 运矸车机械效率(只考虑堆积坡道上的运输)初始值(在地平面上)约30%,坡道 每延长10米,效率在原有的基础上约下降2%; 土地征用费现值为8万元/亩,预计地价年涨幅约10% 银行存、贷款利率均为5% 煤矿设计原煤产量为300万吨/年 煤矿设计寿命为20年 采矿出矸率(矸石占全部采出的百分比)一般为7%-10%. 另外,为保护耕地,煤矿堆积土地应比实际占地多征用10%. 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费(只计征地费及堆积时运矸车用的电费)为 100万元/年,这笔钱是否够用?试制定合理的年度征地计划,并对不同的出矸率预测处 理矸石的最低费用 注:这是全国大学生数学建模竞赛大专组的第一次赛题之一.虽然题目本身并不属 于随机数学模型的范围,但较切合大专院校学生的实际水准(所需求的基础知识和方法 并不多).将此题作为训练的素材之一,不仅可对数学建模有进一步的了解,更希望有 兴趣者参与到数学建模的科普活动行列,以提高用数学方法解决实际问题的能力
2 系列的蜕变，其表征是每次蜕变发射一个 粒子或 粒子.试讨论其规律，给出随机解 释. * 8、煤矸石堆积问题（CUMCM1999 年 C 题） 煤矿采矿时，会产出无用废料——煤矸石. 在平原地区，煤矿不得不征用土地堆 放矸石. 通常矸石的堆积方法是：架设一段与地面角度为β=25°的直线形上升轨道（角 度过大，运矸车无法装满），用在轨道上行驶的运矸车将矸石运到轨道顶端后向两侧倾 倒，待矸石堆高后，再借助矸石堆延长轨道，这样逐渐堆起如图 5-14 所示的一座矸石 山来. 现给出下列数据： 矸石自然堆放安息角（矸石自然堆积稳定后,其坡面与地面所形成夹角）α≤55°； 矸石容重（碎矸石单位体积的重量）约 2 吨/米 3； 运矸车所需电费为 0.5 元/度（不变）； 运矸车机械效率（只考虑堆积坡道上的运输）初始值（在地平面上）约 30%，坡道 每延长 10 米，效率在原有的基础上约下降 2%； 土地征用费现值为 8 万元/亩，预计地价年涨幅约 10%； 银行存、贷款利率均为 5%； 煤矿设计原煤产量为 300 万吨/年； 煤矿设计寿命为 20 年； 采矿出矸率（矸石占全部采出的百分比）一般为 7%—10%. 另外，为保护耕地，煤矿堆积土地应比实际占地多征用 10%. 现在煤矿设计中用于处理矸石的经费（只计征地费及堆积时运矸车用的电费）为 100 万元/年，这笔钱是否够用？试制定合理的年度征地计划，并对不同的出矸率预测处 理矸石的最低费用. 注：这是全国大学生数学建模竞赛大专组的第一次赛题之一. 虽然题目本身并不属 于随机数学模型的范围，但较切合大专院校学生的实际水准（所需求的基础知识和方法 并不多）. 将此题作为训练的素材之一，不仅可对数学建模有进一步的了解，更希望有 兴趣者参与到数学建模的科普活动行列，以提高用数学方法解决实际问题的能力