4.6函数的定义与性质 ■函数的定义 口函数定义 口从A到B的函数 口函数的像 ■函数的性质 口函数的单射、满射、双射性 口构造双射函数
1 4.6 函数的定义与性质 ◼ 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 函数的像 ◼ 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数
函数定义 定义设F为二元关系,若Vx∈domF都存在 唯一的y∈ranF使xFy成立,则称F为函数 对于函数F如果有xFy,则记作y=F(x),并称y 为F在x的值 例1F1={x11>,x22>,x3y2>} 2={x131>,x12>) F1是函数,F2不是函数
2 函数定义 定义 设 F 为二元关系, 若 x∈domF 都存在 唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的值. 例1 F1={,,} F2={,} F1是函数, F2不是函数
函数相等 定义设F,G为函数,则 F=G兮FCG∧GcF 如果两个函数F和G相等,一定满足下面两个条件: (1)domF=donG (2)Vx∈domF=dmG都有F(x)=G(x) 实例函数 F(x)=(x2-1)/(x+1),G(x)=x-1 不相等,因为 dom Cdom
3 函数相等 定义 设F, G为函数, 则 F = G FG∧GF 如果两个函数 F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domF = domG (2) x∈domF = domG 都有 F(x) = G(x) 实例 函数 F(x)=(x 2−1)/(x+1), G(x)=x−1 不相等, 因为 domFdomG
从A到B的函数 定义设A,B为集合,如果 ∫为函数 domf=a ranfc B, 则称f为从A到B的函数,记作f:A→B 实例 :N→N,八x)=2x是从N到N的函数 g:NN,g(x)=2也是从N到N的函数
4 从 A 到 B 的函数 定义 设A, B为集合, 如果 f 为函数 domf = A ranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B. 实例 f：N→N, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：N→N, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数
B上A 定义所有从A到B的函数的集合记作B4, 读作“B上A”,符号化表示为 B={f|f:A→B} 计数: 4|=m,|B|=n,且m,n>0,|B4=n A=,则B4=B={∞} A且B=,则B4=②4=
5 B上A 定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA , 读作“B上A”，符号化表示为 BA ={ f | f：A→B } 计数： |A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=n m. A=, 则 BA=B={}. A≠且B=, 则 BA=A=
实例 例2设A={1,2,3},B={a,b},求B4 解B4={0,f 9···5J7j5 其中 f={1,4>,,3,4>},f1={,2,①>,3,b f2={1,4>,,3,4>},∫={,2,b>,3,b2} f={,2,4>,3,a},f={,2,m>,3,b} f6={,2,b>,3,>},f={1,b>,2,b>,3,b>}
6 实例 例2 设 A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求BA. 解 BA = {f0 , f1 , … , f7 }, 其中 f0={,,}, f1={,,} f2={,,}，f3={,,} f4={,,}，f5={,,} f6={,,}, f7={,,}
函数的像 定义设函数f:A→B,A1≤4 A1在f下的像:八41)={fx)|x∈A1} 函数的像(A) 注意: 函数值八(x)∈B,而像八41)≤B. x/2若x为偶数 例3设fN→N,且f(x) x+1若x为奇数 令A={0,1,B=2,那么有 八(4)=f({0,13)={f(0),f1)}={0,2}
7 函数的像 定义 设函数 f：A→B, A1A. A1 在 f 下的像： f(A1 ) = { f(x) | x∈A1 } 函数的像 f(A) 注意： 函数值 f(x)∈B, 而像 f(A1 )B. 例3 设 f：N→N, 且 令A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) = f({0,1}) = { f(0), f(1) } = {0, 2} + = 若 为奇数 若 为偶数 x x x x f x 1 / 2 ( )
函数的性质 定义设f:A→B, (1)若ranf=B,则称∫:A→B是满射的 (2)若vy∈ranf都存在唯一的x∈A使得fx)=y, 则称∫A→B是单射的 (3)若∫:A→B既是满射又是单射的,则称f A→B是双射的 ∫满射意味着:vy∈B,都存在x∈A使得八(x)=y f单射意味着:fx1)=f(x2)→x1=x2
8 函数的性质 定义 设 f：A→B, （1）若ranf = B, 则称 f：A→B是满射的. （2）若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y, 则称 f：A→B是单射的. （3）若 f：A→B既是满射又是单射的, 则称 f： A→B是双射的 f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x) = y. f 单射意味着：f(x1 ) = f(x2 ) x1= x2
实例 例4 判断下面函数是否为单射,满射,双射的,为什么? (1)f:R→R,fx)=-x2+2x-1 (2)f:升+→R,fx)=lnx,z为正整数集 (3)月:R→Z,八x)=Lx」 (4)f:R→R,fx)=2x+1 (5)f:R+→R,fx)=(x2+1),其中R为正实数集
9 实例 例4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f：R→R, f(x) = −x 2+2x−1 (2) f：Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f：R→Z, f(x) = x (4) f：R→R, f(x) = 2x+1 (5) f：R+→R+ , f(x)=(x 2+1)/x, 其中R+为正实数集
实例(续) 解(1)fF:R→R,fx)=-x2+2x-1 在x=-1取得极大值0.既不单射也不满射. (2)f:z+→R,f(x)=nx 单调上升,是单射但不满射,ranf′={l nl。in (3)月R→E,八x)=Lx」 满射,但不单射,例如f(15)=f(1.2)=1 4)f:R→→R,f(x)=2x+1 满射、单射、双射,因为它是单调的并且ranf=R (5)fR+→R,fx)=(x2+1)x 有极小值八(1)=2该函数既不单射也不满射 10
10 解 (1) f：R→R, f(x)=−x 2+2x−1 在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射. (2) f：Z+→R, f(x)=lnx 单调上升, 是单射. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}. (3) f：R→Z, f(x)= x 满射, 但不单射, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1. (4) f：R→R, f(x)=2x+1 满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ranf=R. (5) f：R+→R+ , f(x)=(x 2+1)/x 有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射. 实例（续）