数学专业 《数学分析》教学大纲 学时:289学时 学分:17 理论学时:289学时 适用专业:数学与数学应用 大纲执笔人:徐际宏 大纲审定人:何宗祥 说明 数学分析是四年制本科院校数学类专业必修的重要课程,是 几乎所有数学后继课程的基础。通过教学,使学生正确理解和掌握 数学分析的基本概念、基本理论,基本掌握数学分析中的论证方法 较熟练地获得本课程所要求的基本演算能力。通过本课程的学习使 学生具有较强的自学能力和运用所学知识解决相关问题的定性分 析、定量分析能力,为进一步学习数学专业课程打下必要的基础。 本课程教学总时数约为240+49=289学时。习题课采用每章 次方式处理。讲授时数与习题课时数之比大致为5:1. 本大纲所列内容与各章时数仅供参考。教师可作适与调整。 教学大纲
—1— 数 学 专 业 《数学分析》教学大纲 学时：289 学时 学分：17 理论学时：289 学时 适用专业：数学与数学应用 大纲执笔人：徐际宏 大纲审定人：何宗祥 说明 数学分析是四年制本科院校数学类专业必修的重要课程，是 几乎所有数学后继课程的基础。通过教学，使学生正确理解和掌握 数学分析的基本概念、基本理论，基本掌握数学分析中的论证方法； 较熟练地获得本课程所要求的基本演算能力。通过本课程的学习使 学生具有较强的自学能力和运用所学知识解决相关问题的定性分 析、定量分析能力，为进一步学习数学专业课程打下必要的基础。 本课程教学总时数约为 240+49=289 学时。习题课采用每章一 次方式处理。讲授时数与习题课时数之比大致为 5 : 1. 本大纲所列内容与各章时数仅供参考。教师可作适与调整。 教学大纲
函数(10+2学时) 实数概述,绝对值与不等式 区间与邻域,确界原理。 函数概念,函数的几种表示法,函数的四则运算,复合函数,反函数,基本初等函数 函数 具有某些特性的函数。 内容处理建议: 1.简要介绍实数性质及绝对值与不等式 2.重点阐述上、下确界概念及确界原理,这一部分是重点,也有一定的难度,可通 过例题和习题让学生加强理解 3.在介绍一般函数概念的同时,强调基本初等函数和初等函数的重要性。强化学生 对一般性与特殊性之间辩证关系的认识。 二、数列极限(8+2学时) 数列,数列极限的E-N定义 收敛数列的性质:唯性、有界性、保序(号)性、迫敛性、四则运算法则。 数列极限存在的条件 内容处理建议:
—2— 一、 函数（10+2 学时） 实数概述，绝对值与不等式。 区间与邻域，确界原理。 函数概念，函数的几种表示法，函数的四则运算，复合函数，反函数，基本初等函数， 初等函数。 具有某些特性的函数。 内容处理建议： 1． 简要介绍实数性质及绝对值与不等式； 2． 重点阐述上、下确界概念及确界原理，这一部分是重点，也有一定的难度，可通 过例题和习题让学生加强理解； 3． 在介绍一般函数概念的同时，强调基本初等函数和初等函数的重要性。强化学生 对一般性与特殊性之间辩证关系的认识。 二、 数列极限（8+2 学时） 数列，数列极限的ε -N 定义。 收敛数列的性质：唯一性、有界性、保序（号）性、迫敛性、四则运算法则。 数列极限存在的条件。 内容处理建议：
1.简单介绍数列极限概念产生的历史过程,从中看到严格的ε-N定义产生的必然性 和重要性,使学生真正接受高度抽象、形式化的E-N定义。其次,通过对E-N定义的剖 析和一些典型例题的深入分析,使学生正确理解数列极限的ε-N定义,并学会运用它来 验证数列极限。 2.在介绍收敛数列的各种性质时,突出强调迫敛性定理是求极限的一种重要方法 并指出用迫敛性求极限时的一些原则和方法。 4.要求学生熟练掌握重要极限:m(1+-)”=e,并注意将一些数列极限转化为上 述重要极限形式 、函数极限(10+2学时) 函数极限的εM定义和ε-6定义,单侧极限。 函数极限的性质:唯性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、四则运 算。 函数极限存在的条件:归结原则和柯西准则。 两个重要极限 无穷小量及其阶的比较;记号0,o,~;无穷大量及其阶的比较。 内容处理建议: 1.在介绍各种类型的极限定义之前,先直观描述极限,然后通过深入分析极限的含 义,导出极限的严格的形式化的定义
—3— 1．简单介绍数列极限概念产生的历史过程，从中看到严格的ε -N 定义产生的必然性 和重要性，使学生真正接受高度抽象、形式化的ε -N 定义。其次，通过对ε -N 定义的剖 析和一些典型例题的深入分析，使学生正确理解数列极限的ε -N 定义，并学会运用它来 验证数列极限。 2．在介绍收敛数列的各种性质时，突出强调迫敛性定理是求极限的一种重要方法， 并指出用迫敛性求极限时的一些原则和方法。 4． 要求学生熟练掌握重要极限： e n n n + = → ) 1 lim (1 ，并注意将一些数列极限转化为上 述重要极限形式。 三、 函数极限（10+2 学时） 函数极限的ε -M 定义和ε -δ 定义，单侧极限。 函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、四则运 算。 函数极限存在的条件：归结原则和柯西准则。 两个重要极限。 无穷小量及其阶的比较；记号 0，o，～；无穷大量及其阶的比较。 内容处理建议： 1．在介绍各种类型的极限定义之前，先直观描述极限，然后通过深入分析极限的含 义，导出极限的严格的形式化的定义
要求学生熟练掌握函数极限的性质和两个重要极限,并熟练用于证明或计算函数 极限 四、函数的连续性(10+2学时) 连续性概念,间断点及其分类,在区间上连续的函数。 连续函数的性质:局部有界性、局部保号性、四则运算、复合运算,闭区间上连续函 数的性质,反函数的连续性,一致连续性 初等函数的连续性。 内容处理建议 1.阐明连续性概念的重要性及连续性的直观描述和严格定义之间的联系。 2.重点分析并强调一致连续性的特征,以及它与连续性之间的重要差别 五、实数的一些基本定理(10+4学时) 确界与确界存在定理。区间套定理。柯西收敛准则。致密性定理。聚点定理。有限复 盖定理 关于闭区间上连续函数性质的几个定理的严格证明 内容处理建议: 1.本章定理均在单调有界定理的前提下讨论。 2.建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。 3.在用关于实数完备性的几个定理证明关于闭区间上连续函数性质的几个定理的教
—4— 2．要求学生熟练掌握函数极限的性质和两个重要极限，并熟练用于证明或计算函数 极限。 四、 函数的连续性（10+2 学时） 连续性概念，间断点及其分类，在区间上连续的函数。 连续函数的性质：局部有界性、局部保号性、四则运算、复合运算，闭区间上连续函 数的性质，反函数的连续性，一致连续性。 初等函数的连续性。 内容处理建议： 1．阐明连续性概念的重要性及连续性的直观描述和严格定义之间的联系。 2．重点分析并强调一致连续性的特征，以及它与连续性之间的重要差别。 五、实数的一些基本定理（10+4 学时） 确界与确界存在定理。区间套定理。柯西收敛准则。致密性定理。聚点定理。有限复 盖定理。 关于闭区间上连续函数性质的几个定理的严格证明。 内容处理建议： 1．本章定理均在单调有界定理的前提下讨论。 2．建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。 3．在用关于实数完备性的几个定理证明关于闭区间上连续函数性质的几个定理的教
学过程中,应注意培养学生严密推理的能力 六、导数与微分(12+2学时) 导数概念:导数的定义(导数、左导数、右导数以及与连续性间关系)导数几何意 义、物理意义。导函数的概念。 求导法则:导数的四则运算。反函数的导数。复合函数的导数。基本求导法则与公式。 微分:微分概念。微分的运算法则(一阶微分形式的不变性 近似计算与误差估计 高阶导数及运算(注意:莱布尼兹公式)高阶微分。 参量方程所确定的函数的导数。 内容处理建议: 1.以曲线的切线、直线运动的瞬时速度为背景,引入导数的概念。 2.求导法则中着重讲清复合函数的求导法则(链式法则 3.微分的计算中应注意介绍一阶微分形式的不变性以及应用微分近似计算及误差 估计。 七、微分学基本定理与不定式极限(12+2学时) 中值定理:费马( Fermat)定理——予备定理。中值定理(Role、 Lagrange、 Cauchy 三大中值定理)导数极限定理 不定式极限:一型不定式极限。一型不定式极限。其它类型的不定式极限
—5— 学过程中，应注意培养学生严密推理的能力。 六、导数与微分（12+2 学时） 导数概念：导数的定义（导数、左导数、右导数以及与连续性间关系）。导数几何意 义、物理意义。导函数的概念。 求导法则：导数的四则运算。反函数的导数。复合函数的导数。基本求导法则与公式。 微分：微分概念。微分的运算法则（一阶微分形式的不变性）。 近似计算与误差估计。 高阶导数及运算（注意：莱布尼兹公式）。高阶微分。 参量方程所确定的函数的导数。 内容处理建议： 1． 以曲线的切线、直线运动的瞬时速度为背景，引入导数的概念。 2． 求导法则中着重讲清复合函数的求导法则（链式法则）。 3． 微分的计算中应注意介绍一阶微分形式的不变性以及应用微分近似计算及误差 估计。 七、微分学基本定理与不定式极限（12+2 学时） 中值定理：费马（Fermat）定理——予备定理。中值定理（Rolle、Lagrange、Cauchy 三大中值定理）。导数极限定理。 不定式极限： 0 0 型不定式极限。 型不定式极限。其它类型的不定式极限
(0·∞,-∞,1°,0°,∞°等类型) 泰勒定理。带皮亚诺( Peano)型余项的泰勒公式。应用(近似计算,求极限) 内容处理建议: 着重介绍三大微分中值定理及其证明,它们是利用导数的局部性质推断函数的整 体性态的有力工具。 2.以导数为工具在求不定式极限时,应注意罗比塔( L'Hospital)法则成立的条件, 以及其它类型间的转化方法。 3.泰勒定理是用多项式近似表示函数并用以进行和近似计算与理论分析的一个重要 工具。注意介绍几种估计及马克劳林( Maclaurin)公式 4.利用 Taylor公式进行近似计算时,注意与前章用(一阶)微分进行近似计算比较。 八、运用导数研究函数的性质(10+2学时) 函数的单调性。极值的必要条件。极值的两个充分条件(第三个充分条件可作选讲内 容)最大值与最小值 函数的凸性与拐点的概念。函数凸性的判定。函数凸性的应用 渐近线。函数作图。 方程近似解。 内容处理建议: 1.注意介绍函数单调性(包括单调区间)的判定方法以及利用单调性证明一些不等
—6— （ 0 , − , 0 0 1 ,0 , 等类型） 泰勒定理。带皮亚诺（Peano）型余项的泰勒公式。应用（近似计算，求极限）。 内容处理建议： 1． 着重介绍三大微分中值定理及其证明，它们是利用导数的局部性质推断函数的整 体性态的有力工具。 2． 以导数为工具在求不定式极限时，应注意罗比塔（L'Hospital）法则成立的条件， 以及其它类型间的转化方法。 3． 泰勒定理是用多项式近似表示函数并用以进行和近似计算与理论分析的一个重要 工具。注意介绍几种估计及马克劳林（Maclaurin）公式。 4． 利用 Taylor 公式进行近似计算时，注意与前章用（一阶）微分进行近似计算比较。 八、运用导数研究函数的性质（10+2 学时） 函数的单调性。极值的必要条件。极值的两个充分条件（第三个充分条件可作选讲内 容）。最大值与最小值。 函数的凸性与拐点的概念。函数凸性的判定。函数凸性的应用。 渐近线。函数作图。 方程近似解。 内容处理建议： 1． 注意介绍函数单调性（包括单调区间）的判定方法以及利用单调性证明一些不等
式的技巧 2.着重介绍函数极值的判定及特定情形下函数最大值,最小值的确定,并介绍它们 的应用 3.着重介绍函数凸性的定义及判定方法,并注意介绍它们的应用,如詹森( Jensen) 不等式等著名不等式,应用部分可作为学生讨论用 4.着重讲清函数作图的步骤,并以实例说明 九、不定积分(10+2学时) 原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。 有理函数积分法。三角函数有理式的积分几种无理函数的积分。 内容处理建议 1.要让学生明了原函数与不定积分的关系(注意与下一章“原函数存在定理”相呼 应),求原函数(与不定积分)运算和求导数(与微分)运算之间的关系,从而理解基本 积分公式的本质 2.着力引导学生掌握和熟练运用不定积分的基本公式,线性运算法则和换元积分法、 分部积分法。注意基本积分运算的原则与技巧,这是本章的重点。 3.在讲授有理函数,三角函数有理数以及几种无理函数的积分法时,要让学生理解 基本积分技术的一般应用思路和求这几类函数积分的具体技巧
—7— 式的技巧。 2． 着重介绍函数极值的判定及特定情形下函数最大值，最小值的确定，并介绍它们 的应用。 3． 着重介绍函数凸性的定义及判定方法，并注意介绍它们的应用，如詹森（Jensen） 不等式等著名不等式，应用部分可作为学生讨论用。 4． 着重讲清函数作图的步骤，并以实例说明。 九、不定积分（10+2 学时） 原函数与不定积分概念。基本积分表。线性运算法则。换元积分法。分部积分法。 有理函数积分法。三角函数有理式的积分.几种无理函数的积分。 内容处理建议： 1．要让学生明了原函数与不定积分的关系（注意与下一章“原函数存在定理”相呼 应），求原函数（与不定积分）运算和求导数（与微分）运算之间的关系，从而理解基本 积分公式的本质。 2．着力引导学生掌握和熟练运用不定积分的基本公式，线性运算法则和换元积分法、 分部积分法。注意基本积分运算的原则与技巧，这是本章的重点。 3．在讲授有理函数，三角函数有理数以及几种无理函数的积分法时，要让学生理解 基本积分技术的一般应用思路和求这几类函数积分的具体技巧
十、定积分(14+2学时) 曲边梯形面积与变力作功—引出定积分概念。定积分定义。定积分的几何意义。可 积的必要条件。(达布)上和、下和及其性质。可积的充要条件。 可积的充分条件—可积函数类(闭区间上的连续函数,有有限个间断点的有界函数 单调有界函数 定积分的性质:线性运算性质,对区间的可加性、单调性、绝对可积性、积分(第-) 中值定理。积分第二中值定理 微积分学基本定理(原函数存在定理 Newton- Leibn iz公式。定积分的换元法。定 积分的分部积分法。 用∫实义对款数函数,对数函数氨指数函数的基本性质 无穷限反常积分的概念,无界函数反常积分的概念。 内容处理建议 1.深刻理解并会应用定积分的定义和性质,变上限的定积分及其导数 Newton- Leibniz公式,定积分的换元法与分部积分法等重点内容 关于函数可积性的讨论,要求学生理解其思想与方法。 3.反常积分概念是本章基本概念的自然延伸。要同时让学生加深对定积分(及极限 的概念与方法的理解,并注意与第“十三″部分呼应
—8— 十、定积分（14+2 学时） 曲边梯形面积与变力作功——引出定积分概念。定积分定义。定积分的几何意义。可 积的必要条件。（达布）上和、下和及其性质。可积的充要条件。 可积的充分条件——可积函数类（闭区间上的连续函数，有有限个间断点的有界函数， 单调有界函数）。 定积分的性质：线性运算性质，对区间的可加性、单调性、绝对可积性、积分（第一） 中值定理。积分第二中值定理。 微积分学基本定理（原函数存在定理）。Newton-Leibniz 公式。定积分的换元法。定 积分的分部积分法。 用 x dt t 1 1 定义对数函数，对数函数与指数函数的基本性质。 无穷限反常积分的概念，无界函数反常积分的概念。 内容处理建议： 1．深 刻理 解并会 应用 定积分 的定 义和性 质， 变上限 的定 积分及 其导 数， Newton-Leibniz 公式，定积分的换元法与分部积分法等重点内容。 2． 关于函数可积性的讨论，要求学生理解其思想与方法。 3． 反常积分概念是本章基本概念的自然延伸。要同时让学生加深对定积分（及极限） 的概念与方法的理解，并注意与第“十三”部分呼应
十一、定积分的应用(8+2学时) 平面图形的面积,已知截面面积函数的立体体积,旋转体的体积。曲线的弧长与弧微 分、曲率、旋转体的侧面积。物理应用(压力、功、引力、静力距与重心等 平均值 *定积分的近似计算(梯形法、抛物线 内容处理建议: 用定积分的基本思想和微元分析法贯穿各种应用问题,通过各种应用加深对积分思想 方法的理解。掌握用微元分析法解题的程序。 十二、数项级数(12+2学时 无穷级数概念—无穷级数与其部分和数列的关系。级数的收敛与发散。级数的简单 性质。级数收敛的必要条件。级数收敛的 Cauchy准则 正项级数收敛的基本定理(∑un(un20)收敛的充要条件是它的部分和数列{Sn有 上界 比较判别法及其极限飛式比值( D Alembert)判别法及其极限形式根值( Cauch) 判别法及其极限飛式。 ( Cauchy)积分判别法。拉贝(Rabe)判别法。 交错级数,莱布尼兹( Leibniz)判别法 阿贝尔(Abel)判别法。狄利克雷( Dirichlet)判别法
—9— 十一、定积分的应用（8+2 学时） 平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积。曲线的弧长与弧微 分、曲率、旋转体的侧面积。物理应用（压力、功、引力、静力距与重心等）。 平均值。 *定积分的近似计算（梯形法、抛物线）。 内容处理建议： 用定积分的基本思想和微元分析法贯穿各种应用问题，通过各种应用加深对积分思想 方法的理解。掌握用微元分析法解题的程序。 十二、数项级数（12+2 学时） 无穷级数概念——无穷级数与其部分和数列的关系。级数的收敛与发散。级数的简单 性质。级数收敛的必要条件。级数收敛的 Cauchy 准则。 正项级数收敛的基本定理（ n un un ( 0) 收敛的充要条件是：它的部分和数列 Sn 有 上界）。 比较判别法及其极限形式。比值（D`Alembert）判别法及其极限形式。根值（Cauchy） 判别法及其极限形式。 （Cauchy）积分判别法。拉贝（Raabe）判别法。 交错级数，莱布尼兹（Leibniz）判别法。 阿贝尔（Abel）判别法。狄利克雷（Dirichlet）判别法
绝对收敛与条件收敛。 绝对收敛级数的重排定理。*对收敛级数的乘积 Cauchy定理条件收敛级数的 黎曼( Riemann)定理 内容处理建议: 1.阐明级数与(其部分和)数列的联系与转化 2.讲清一般项级数与正项级数之间的联系,重视正项级数在讨论数项级数时的基本 作用。 3.讲清般项级数的绝对收敛与条件收敛的区别与联系注意这两种收敛性的不同 性质与作用 4.对级数收敛的判别定理主要讲明如何应用及应用中需要注意的问题。Abe变换 (即分部求和公式)值得重视。Abe判别法与 Dirichlet判别法的必要性可作简单介绍(参 见宗序平:关于 Dirichlet和Abe判别法的必要性,数学的实践与认识,1990(),72-75 十三、反常积分(6+2学时) 无穷限积分的绝对收敛与条件收鲛。无穷积分与无穷级数的联系。比较判别法及其极 限形式。柯西判别法及其极限形式。积分第二中值定理。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。 无界函数反常积分的柯西准则。无界函数反常积分的绝对收敛与条件收敛。无界函数 反常积分的比较判别法。柯西判别法及其极限飛式。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。无 界函数反常积分与无穷限反常积分的联系。 10
—10— 绝对收敛与条件收敛。 *绝对收敛级数的重排定理。*绝对收敛级数的乘积（Cauchy 定理）。条件收敛级数的 黎曼（Riemann）定理。 内容处理建议： 1．阐明级数与（其部分和）数列的联系与转化。 2．讲清一般项级数与正项级数之间的联系，重视正项级数在讨论数项级数时的基本 作用。 3．讲清一般项级数的绝对收敛与条件收敛的区别与联系，注意这两种收敛性的不同 性质与作用。 4．对级数收敛的判别定理主要讲明如何应用及应用中需要注意的问题。Abel 变换 （即分部求和公式）值得重视。Abel 判别法与 Dirichlet 判别法的必要性可作简单介绍（参 见宗序平：关于 Dirichlet 和 Abel 判别法的必要性，数学的实践与认识，1990（），72-75）。 十三、反常积分（6+2 学时） 无穷限积分的绝对收敛与条件收敛。无穷积分与无穷级数的联系。比较判别法及其极 限形式。柯西判别法及其极限形式。积分第二中值定理。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。 无界函数反常积分的柯西准则。无界函数反常积分的绝对收敛与条件收敛。无界函数 反常积分的比较判别法。柯西判别法及其极限形式。阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。无 界函数反常积分与无穷限反常积分的联系
