第四章函数的连续性 教学目标:通过本章的教学,使学生 (一)掌握本章的基本概念,如函数在某点连续、单侧连续及其关系、函数在一个区间上按段连续、连 续和一致连续及其关系、间断点及其分类 (二)掌握连续函数的性质,其中包括(1)局部性质:局部有界性、局部保号性;(2)运算性质:四则运 算、复合运算严格单调的反函数均保持连续性;(3)闭区间上的连续函数的四大性质 (三)了解初等函数在其定义区间上连续,基本初等函数在其定义域内连续,利用 Riemann函数和 Dirichlet函数等会造一些特殊性质的函数 (四)在数学论证方法上得到初步的训练 置点:连续和一致连续的定义及之间的重要差别连续函数的性质及其应用,闭区间上连续函数的 性质的掌握及其应用 难点:一致连续性概念的理解和掌握 §1连续性概念 函数在一点的连续性 从字面上看,不难理解连续和间断是对立的概念,是事物互为否定的两个方面,它的实际背景是客 观事物的渐变和突变.从几何上讲连续函数的图形是一条连绵不断的曲线,但并非任何函数都可准确 地作出其图形的,因此要找出连续的本质特征,给出其糖确的定义为此,先给出增量的概念:称x-x 为自变量x(在x点)的增量或改变量(可正可负可为0),记作Ax,即Ax=x-x0,称f(x)-f(x)= f(xo+Ax)-f(x。)为函数y=f(x)(在x。点)的相应增量,记作Ay即Ay=f(xo+△r)-f(xa)= f(x)-f(x),(可正可负可为0) 以一个未成年的健康孩子的身高为例,孩子的身高y显然是时间t的增函数,但是再细心的父母也 无法说出自己的孩子今天比昨天高多少,这就是因为身高是连续变化的,不会发生突变!用增量的语言 来说就是当时间t的增量Δ很小时,身高函数y的相应增量y也很小,用极限的语言来说就是当时间 的增量M→0时,身高函数的相应增量4y也趋向于0这就是连续函数的本质特征 定义1-1-1设y=f(x)在U(x)内有定义,若may(=m[(x+4x)-f(x)])=0 则称f(x)在点x。连续.(增量极限 定义1-1-2设y=∫(x)在U(x)内有定义,若lm∫(x)=∫(x),则称f(x)在点r连续 (函数极限 注1°(由此见)f(x)在点x连续是指以下三个条件满足:①f(xn)有定义,②limf(x)3(有限本 章讲的极限均指正常极限),③两者相等 例如尽管f(x)=xsin,x≠0,g(x) h(x) 在x=0处 0 的极限均存在,但在x=0点,上述三函数中只有h(x)是连续的.由定义1-1-2,易见: 定义1-1-3f(x)在点x处连续>0,♂>0,当|x-x。<δ时,|f(x)-f(x)
0,3♂>0,当x∈(x的♂邻域)U(x,B)时,f(x) ∈(f(x)的e邻域)(f(x0),e)(去心略去)(邻域语言) 定义1-1-5∫(x)在点x处连续{xn};若 limx=x0,则limf(xn)=f(x)(x异于x的 条件略去)(海因归结原则 定义1-1-6f(x)在点x0处连续Ve>0,38>0,使对x',x"∈U(xn,)时,|∫(x) f(x")|<e(去心条件略去)( Cauchy收敛准则) 以上定义是彼此等价的,在证明∫在x连续或不连续,或用∫在x连续的条件证明命题时,可根据 函数的结构和问题的需要选择上述某种叙述 注2f(x)在点x连续,则imf(x)=f(x)=f(limx)(极限运算与连续的对应法则可交换次 序) 例1证明f(x)=x·D(x)在点x=0处连续,其中 D(x)J1r∈g 注fGx)={ 1or∈RQ 0x∈R [xo,x。+b) lim f(r)=f(xo) 定义1-2设∫(x)在 内有定义,若 则称f(x)在点x。连续.由此 (x-8,x。 f(r)=fc 不难推出 理4一1f(x)在点x连续φ∫(x)在点x既左连续,又右连续 二、间断点及其分类 定义1-3设f(x)在某U(x)内有定义(x。处∫有无定义不限),但f(x)在点x不连续,则称 点x。为∫的间断点或不连续点 注1°若xo为∫的间断点:则必出现下列情形之一 (i)limf(x)(有限极限),但 在x6无定义 可去间断点 f(x)在x虽有定义,但f(x)≠Imf(x) (i)∫(x+0)和∫(x0-0)均存在(且有限)但不相等.一跳跃间断点 可去间断点和跳跃间断点统称作第一类间断点(其特征是∫在点x左右极限均彐的间断点) (i)(其它形式的间断点)f(x)在x。点至少有一侧极限不存在,x称作f的第二类间断点 (如limf(x)或lmf(x)或lim∫(x)=∞,特别地称作无穷间断点,属第二类) 例如(1)f(x)=xin1,x≠0和g(x)= n-x≠0 limf(x)=03,但f(0)无定义, 为的可去间断点 limg(x)=0≠g(0) 注2若x为函数f(x)的可去间断点只要补充或改变f(x)在x处的函数值即令 ff(r) (x)= 则∫(x)在x处连续 mf(x)x=了
(2)整数n为∫(2=[x]的跳跃间断点 3)x=0为f(x)=的无穷间断点(从而为第二类) 例2指出下列函数在指定点是否间断,若间断,属于哪一类的? (1)f(x)= 1 I<o (2)f(x)= x≠0 (3)∫(x)=co±,x≠0 (4)f(x)={(x+2) 命题4-1设∫(x)在(a,b)内单调,若x∈(a,b)为f的间断点,则x必是∫的跳跃间断点 三、区间上的连续函数 义若函数厂在开区间(有限或无限)内每一点都连续,则称∫(x)为I内的连续函数 若∫(x)在(ab)内连续,且f(x)在x=a处右连续,在x=b处左连续,则称f(x)为[a, b]上的连续函数 同理可以定义∫(x)在半开半闭(包括有限或无限)区间上的连续性 例如:y=sinx,和y=cosx在R上连续.(P44例4) 0x∈Q 同时也存在在其定义区间上每一点都不连续的函数,例如D(x) ∈R 当x=P(p,q∈N,且P为既约真分数 例3证R(x)m 在(0,1)内任何无理点处都连 当x=0,1及(0,1)中的无理数 续,在有理点处均不连续 bx≤0 例4设∫(x)= 当b=?时f(x)在(-∞,+∞)内连续(k∈R为常数) 四、按段连续(也叫分段连续 定义:若函数∫(x)在闭区间[a,b]上仅有有限个第一类不连续点则称∫(x)在[a]上是按段连 续的 例如f(x)=[r]或f(x)=x-[x]在任何闭区间上都是分段连续的 §2连续函数的性质 连续函数的局部性质 f(x)在x连续,即lmf(x)=f(x),从而由第三章§2中介绍的函数极限的性质可推断出 f(x)在x。的某邻域内的性态
(x0)或U(x0,3)→U(x)或U(xo,8) 须将那里的 1r≥ f(x6)0,即f(x) 与∫(x)同号) 定理4-4(四则运算法则)若函数f和g都在点x连续,则 (i)∫士g及∫·g也在点x连续 i)当g(x0)≠0时,也在点x连续 例1(1)∵y=C和y=x在R上连续→y=ax在R上连续(∈N+)→多项式函数P(x) ax”+a,-1x1+…+a1x+a在R上连续→有理函数R(x) (x),Q(x)均为多项式)在 其定义域的每一点均连续 (2)三角函数 y =sIn,4,y=cosr在R上连续(见P44例4),进而tgx,ctgr在其定义域内连续(三角 函数在其定义域内连续) (3)同上可知f(x)=rnx+x2-4在(-∞,-2)U(-22)U(2,+∞)内连续 例2如f(x)在点x连续,则|f(r)|在点x连续(∵limf(r)l=|f(x).)设∫(x),g(x) 在点x连续则max{/(x),g(x)}=f()+g(x)+1f(x)-(x)在点x点也连续.(ch4§23) 特别地,f(x)的正部函数f(x)=mar(/(x),0}=(x)+()在x点也连续 例3设f(x)在(a,b)内连续,且对r∈(a,b)∩Q,f()=0,则对yr∈(a,b),也有f(x)= 注1°例3中的条件“f(r)=0,r∈Q”换成“f()=A,r∈Q”也可推出Ⅴx∈(a,b)有f(x) A.另外(a,b)换成其它类型的区间,结论也成立 2°证明的方法具有一般性这表明连续函数在Q(或R的某稠密子集)上的一些性质可传导到R 上 忆:复合函数的极限运算法则: 若① limp(r)=A(A有限);②limf(u)=B(有限);③当x∈某U(x)时px)≠A As limf((x))=B=limf(u) 若①limy(r)=∞;②limf()=B(有限),则limf(gx))=B=limf(a) 定理4一5(复合函数的连续性)设f(x)在x连续,M=f(x),g(a)在连续,则g(f(x))在
x。也连续 注1°上述结果还可推广到内层函数仅极限存在的情形 命题4一2(次序交换定理)设limf(x)=A(有限极限),g在A处连续,则 img((x))、交换次序 g(limf(r)) 注2°(1)定理4-5可推广到内层函数和结论是单侧连续的情形 (2)命题4-2可推广到x→x,x,∞,+∞,-∞及内层为数列的情形,即若lman= A,g(a)在t=A处连续,则limg(an)=g(A) 将定理4-5,命题4-2与复合函数的极限运算法则进行比较 连续函数的概念和上述所有结论除用于讨论连续外,还为求极限提供了便利方法 例4求下列极限 (1)my2 lim (3)limin 2i+4 (4)limin m (18=)m 二、闭区间[ab上的连续函数的基本性质(整体性质) 定义2-1设∫为定义在数集D上的函数若彐x0∈D使对vx∈D有f(x)f(x)则称∫ 在D上有最值,并称f(x)为∫在D的最值,x称作∫在D上的最人值点 注:一般来说,∫在D上的最大小值未必存在如f(x)=x在(0,1)无最八值(尽管∫在(0,1)内 有界 例如 函数 最大值 最小值 f()=sinr [o,2n] f(x)={x(-1,1 f(r) 1,]-(0A 彐 彐 定理4-6(最值存在定理)若f(x)在[ab]上连续则∫在[a,b上必有最大值和最小值,即
fx1)=minf(x)|x∈[a,b 彐x1,x:∈[a,b],使 f(x)=max{f(x)x∈[a,6即彐x1,∈[a,b,使对vx∈[a,b(x1)≤ f(x)≤f(x2) (定理4-6及下面的定理的4-7、4-9证明留到第七章§2,当然用确界存在定理已可证 推论(有界性定理)若∫(x)在[a6]上连续,则∫在[a,b]上有界 maxf(x),x∈[a,b和min{f(x)x∈[a,b分别为∫在[a,b]上的上、下界 注1°定 6只是一个充分条件,例如D(x)= Q∩[a,b lo(R-Q)∩[a,6b3 有界,有最大值 最小值0,但在[ab]上不连续 注2°定理4-6及其推论中区间的闭性和∫的连续性缺一不可!(缺少可能不成立,与充要条件 不一样!). (1)f(x)=x在(0,1)内连续有界,但无最大值和最小值 (2)/(x)=1在开区间(0,1)内连续,但无界 ∈(0,1) (3)f(x)={x 在[0,1上不连续,/在[0,1]无界亦无最A值 2x=0,1 例5(推论的推厂)如(x)在(a,)上连续,且回m:()和|mf(x)均存在(有限,则八(x)在 (a,b)上有界 f(x) x∈(a,b) 证明法一,令g(x)={mf(x)x=a lim f(r)x=6 法二:设limf(x)=A,limf(x)=B 由极限的局部有界性及f(x)在(a,b)的内闭区间上连续从而有界可证 评注:上述两种证法在讨论函数的整体性质时常用 (法二)挖掉(a,a+),(-B,b) [a+b,b-8] 处理的方1(法一)补上(延拓)a两点函数的定广目的构成闭区间 [a,b] “挖”的方法还适合于无穷区间 ①P81ex6设∫在[a,+∞)上连续,且limf(x)3,证明f(x)在[a,+∞)上有界 定理4一7(介值性定理)设∫在[ab]上连续,且f(4)≠∫(b),则对介于f(a)与∫(b)之间的 任何实数g,在(a,b)中至少存在一点使∫()=μ意味着μ∈f([a,b]) Tf(a),(b)]Cf(la 6])或[f(b),f(a)]cf(a,b]).于是有 注1°定理4-7的另一种形式:若f∈C[a,b,f(a)、f(b) f(a),f(b)] Cf(La, b [f(b),f(a)] 推论1(根的存在性定理函数的零点定理)若∫∈C[a,b],且f(a)·∫(b)<0,则至少存在一点 ∈(a,b),使f()=0. 注2(代数意义)若f(x)∈C[a,b],f(a)·f(b)<0则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一根 注3几何意义)若点A(a,f(a))和点B(b,∫(b))分别在x轴的两侧则连接A、B的连续曲线至
少穿过x轴一次 推论2①若∫在区间I(开或闭,有限或无限)上连续,f(x)≠C,则∫()也为区 ②特别地∫在闭区间I=[a,b]上连续,则∫(I)=[m,M],其中m、M分别为∫在I上 的最小值和最大值 ③特别地若∫是闭区间I=[a,b上连续的增(减)函数,则f([a,b])=[f(a), f(b)](f(b),f(a)]). 6设∫∈C[a,b],且∫([ab])[a,矶证明至少存在点r∈[a,b],使∫(x0)=x 三、反函数的连续性 定理4-8若∫在[a,上严格单调减且连续则反雨数/在[f(a),f(b) 上连续 f(b),f(a)] 注:从证明见,有单调性质的函数若找到两点y,y2满足lf(y1)-f(y)0,38=8(x,)>0,当x∈I且|x-x|
F+410),对vx∈(c,1),Ve>0,(e0,找到了一个只依赖于e的通用的a>0,只要x,x∈(c,1),且|x-xo0,38=8(e)>0,使对Ⅴx,x"∈I只 要|x-x"|0,3>0,当自变量在I中的变化不超过b时,函数值的变化就不超过e) 注1°f(x)在l上不一致连续蝴3E>0,对V8>0都3x',x"∈I,尽管|r-x"0,38>0,对 yx,x"∈I只要|x-x"0 3N,当n>N时, 0,对♂>0(不论多小)都彐x,x”∈I,尽管{x r”<6但|f(x)-f(x")≥6(由b的任意性,构造两数列{xn}、{x”n}.) 取 ,3x和x∈I,尽管{x,-x<1,∫(x,)-f(x,)≥如此 得到的I中的两数列{x,}和{x"}满足lm(x,一x)=0,但lmf(xn)一f(x",)≠0,与条件矛盾 ∫在I上一致连续 注:用于判不一致连续:f在I上有定义,若彐{x3,},(x"CI,且im(x', )=0,但f(x)一 (x"n)+0,则∫在I上不一致连续 例11证明∫(x)在指定区间上不一致连续(只须找出I中两点列{x。},{x”}满足lim(x,-x") 0,但f(x,)-∫(x")
取x,=1 (2)f(x)=x3,R, 取x,=n+1,x",=Vn (3)f(r)=sinr,R 取x,=2nx+,x"√2m (4)f(x)=lnx,(0,+∞),取x,=n”2n 定理4-9( Cantor定理、一致连续性定理):若∫(x)在闭区间[a,b]上连续,则∫(x)在[a,b]上一 致连续 注1°证略,第七章中证, 注2°[a,6]一(a,b)或无限区间不行(见例11) 推论若∫∈C(a,6)((a,b)为有限开区间)且∫(a+0),f(b-0)均(有限)存在,则f(x)在( 6)上一致连续,反之亦真 注:推论中的有限开区间(ab)换成无穷区间“→”仍成立(P82x16,用挖法)“←”不成立,如f(x) x在(-∞,+∞)一致连续,但limf(x) 例12讨论f(x)在指定区间上的一致连续性(从中见用推论讨论一致连续性非常方便) (1)/(x)=(0,1) =+∞,∴f(x)在(0,1)上不一致连续 (2)f(x)=5x(0,1),∵f(x)在(0,1)上连续,且f(0+0)=1,f(1-0)=sinl均有限彐, ∴∫(x)在(0,1)上一致连续 例13设区间l1的右端点c∈,区间l2的左端点也为c∈l2(l1,l2可以为有限或无限区间)若 ∫在l1,l2上均一致连续,则f在l1∪l2AI上也一致连续 验证一致连性方法 ①定义;② Cantor定理;③ Cantor定理的推论及其注 验证不一致连续性 ①定义;②命题4-3(仿例11);③ Cantor定理的推论的否命题当(ab)为有限时也成立 §3初等函数的连续性 §1、§2中已证y=C,三角函数,反三角函数在其定义域内连续 在本节中我们先证y=a在(一∞,+∞)上连续,再由反函数的连续性定理知y=logx在(0 ∞)上连续 对于幂函数:y=x ①当a∈Q时上节例8已证其在定义区间(也是定义域)上是连续的 ②当a∈RQ时,我们在第一章中已规定其定义域为(0,+∞),于是y=x alnx复合而成,∴y=x也在定义域内连续,因此有 定理4-12:基本初等函数在其定义域内都是连续的. 指数函数y=a在(-∞,+∞)内连续 回顾高一数学介绍的有理指数幂(>0,a≠1)的定义和性质:若r∈Q,定义
sar=2>0,p,q∈N P 0,p,q∈N 性质(1),r∈Q,a>0. (2)当a>1,>0时,a>1 当00时,a1时,a"1 (4)若r1,2∈Q,则aa1=a"+,(a1)=a 在第一章§3(P14)规定:当a>0,a≠1,x∈R时, p{air∈Q}当a>1时 nf{a'|r∈Q}当01时在R上严格增,当00. (2)当a>1且x>0时,a>a°=1,当00时,a1时在R上增,当00,则对￥a,B∈R,a·a"=a"+°,(a")"=a 定理4-11指数函数y=a(a>0)在R上连续 例1若lima(x)=a>0,limv(x)=b,则(幂指函数u(x)当x→x。时的极限存在,且) 二、初等函數数的连縷性 前面已证定理4-12:基本初等函数在其定义域内均是连续的而任何初等函数都是基本初等函 数经过有限次的四则运算和复合运算得到,因此有 定理4-13→切初等函数在其定义区间(指函数有定义的区间)上都是连续的(此处不说在定 义域内连续,是因为初等函数的定义域内或许有孤立点(如f(x)=√x2-1+√4一(x-1)2为初等 函数,定义域={-1}U[1,3]而考察x是∫的连续点或间断点首先要求∫在U(x)内有定义 孤立点处谈不上连续或不连续,不能说初等函数在其定义域内连续) 定理4一13提供了求极限的便利方法 例2求im如(1+x=lmln(1+r)= In lim(+x)=lm=1 例3求l +x21+032 (:x=0为初等函数x的定义区间(-22内的 Ch4函数的连续性复习 基本概念 (一)连续性 ①连续 1°在一点x0处 ②单测连续
