Pyre 第二章数列极限 白学目标 使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与外延; 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法 3°通过知识学习,加深对数学的抽象性特 点的认识;体验数学概念形成的抽象化思 维方法;体验数学“符号化”的意义及 数 形结合”方法 了解我国古代数学家关于极限思想的论 述,增强爱国主义观念。 下页
1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与外延； 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法 3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特 点的认识；体验数学概念形成的抽象化思 维方法；体验数学“符号化”的意义及 “数 形结合”方法； 4°了解我国古代数学家关于极限思想的论 述，增强爱国主义观念。 第二章数列极限 教学目标： 下页
我们已经有了函数的概念,但如果我们只停留在函数概念本身去 研究运动,即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方,那我 们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的,我们就事实上还没 有脱离初等数学的领域,只有我们用动态的观点揭示出函数y=f(x) 所确定的两个变量之间的变化关系时,我们才算真正开始进入高等数 学的研究领域。极限是进入高等数学是钥匙和工具。我们从最简单的 也是最基本的数列极限开始研究 1数列极限的概念 课题引入 1°予备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念 下页
我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去 研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我 们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没 有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数 y＝f（x） 所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数 学的研究领域。极限是进入高等数学是钥匙和工具。我们从最简单的 也是最基本的数列极限开始研究。 1 数列极限的概念 课题引入 1°予备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 下页
2°数列极限来自实践,它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数 列进行了研究,早在战国时期就有了极限的概念 例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子。 天下篇》引用过一句话:“一尺之棰,日取其半, 万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒,每 天截去一半,这样的过程可以一直无限制的进行 下去。将每天截后的木棒排成 列,如图所示,其长度组成的数列为 n=10;x=0:n;y=1./2.^x;x1=[0:n];y1=1./2.^x; line([xl; xl],[o*xliyl1,'linewidth, 5) axis([-1,n+1,0,1.1]) 下页
2°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数 列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念 例 1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”也就是说一根一尺 长的木棒，每 天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行 下去。将每天截后的木棒排成一 列,如图所示, 其长度组成的数列为 n 2 1 , n=10; x=0:n; y=1./2.^x; x1=[0:n]; y1=1./2.^x; line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5) axis([-1,n+1,0,1.1]) 下页
0.8 分析 随n增大而减小,且无限接近于常数0 2°数轴上描点,捋其形象表示 1/4 112 下页
0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 分析：1°、 n 2 1 随 n 增大而减小，且无限接近于常数 0； 2°数轴上描点，将其形象表示： 1 0 1/2 1/ 4 -1 下页
例2三国时期,我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想:用 直径为1的圆周分成六等份,量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧 量出内接正十二边形的周长,这样无限制的分割下去,就得到一个(内 接多边形的周长组成的)数列 E B 下页
例 2 三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想: 用 直径为 1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧 量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，就得到一个（ 内 接多边形的周长组成的）数列. E B an an+ 1 A D 下页
DE=r 4 +DE2=+(1 4 用 Matlab计算a和图示如下: c1f,n=5;t=0:2*pi/n:2*pi; 0.8 r=l*ones(size(t))i 0.6 for主=1:n; for 3=6*2ii end z=i*sin(pi/i)i end 240 300 polar(tr r)i 下页
0.2 0.4 0.6 0.8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 = − − , = 1 4 2 2 r a DE r r n + = + + = 2 4 2 2 2 2 1 n n n a DE a a 2 2 ) 4 ( 1 1 n a − − = 2 − 2 4 n − a ) 用 Matlab 计算 n a 和图示如下： clf, n=5; t=0:2*pi/n:2*pi; r=1*ones(size(t)); for i=1:n ; for j=6*2^i; end z =j*sin(pi./i); end polar(t,r); 下页
可以看出,随着n的无限增大,a,无限地接近圆的周长x。这 正如刘徽所说“割之弥细,所失弥小,割之又割,以之不可割,则与圆 合体而无所失矣” 这两个数列有一个共同的特征,都存在一个常数A,当n充分大 时,|an-A|充分的小,即不管事先给多么小的一个正数,比如0.1, 0.01,O.001…,我们都能找到一个相应的自然数N,当n>N时 k0.1,0.01,0.001 1f,n=30;k=1:n;ak=1./k; plot(k, ak,'r.'), hold on, p。t([o,n],[o,0]) axis([1,n,-0.5,11) 下页
可以看出，随着 n 的无限增大， an 无限地接近圆的周长 。 这 正如刘徽所说“割之弥细，所失弥小，割之又割，以之不可割，则与圆 合体而无所失矣” 这两个数列有一个共同的特征，都存在一个常数 A， 当n 充分大 时， | a A | n − 充分的小， 即不管事先给多么小的一个正数， 比如 0.1, 0.01, 0.001 … , 我们都能找到一个相应的自然数 N ， 当 n N 时 | an − A | 0.1 , 0.01, 0.001, clf, n=30; k=1:n; ak=1./k; plot(k,ak,'r.'),hold on， plot([0,n],[0,0]) axis([1,n,-0.5,1]) 下页
0.5 0 -0.5 下页
5 10 15 20 25 30 -0.5 0 0.5 1 下页
由此,可给出数列的定义: 对于数列{an},设A是一个常数,若任给ε>0,都存在相 应的自然数N,n>N时,an-A|k<,则称A为数列{an}的 极限。 下面我们通过图示,对数列定义作几点说明 、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得: 对数列{an},若存在某常数a,当n无限增大时,an能无限接近常 数a,则称该数为收敛数列,a为它的极限。 下页
由此，可给出数列的定义： 对于数列 { } n a ，设 A 是一个常数，若任给 . 0 ，都存在相 应的自然数 N, n N 时， a − A n ，则称 A 为数列{ } n a 的 极限。 下面我们通过图示，对数列定义作几点说明： 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得： 对数列an ，若存在某常数 a，当 n 无限增大时，an 能无限接近常 数 a，则称该数为收敛数列，a 为它的极限。 下页
(-1) 例如 a=0;{3+ a不存在,数列不收敛 1) a不存在,数列不收敛 2捋“n无限增大时”,数学“符号化”为 “存在N,当n>N时” 捋“an无限接近a”,数学“符号化”为 任?ε>0,ln-q<ε 例如对13+) 以3?极限,对ε=,要使 10 下页
例如： n 1 ， a=0； − + n n ( 1) 3 ， a=3; 2 n ， a 不存在，数列不收敛； n (−1) ， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为： “存在 N，当 n＞N 时” 将“an 无限接近 a”，数学“符号化”为： 任? ε＞0， an − a ＜ε 例如对 − + n n ( 1) 3 以 3 ? 极限，对 ε= 1 0 1 ，要使 下页