第四章函数的连续性 §1连续性的概念 内容: 1函数在点0的连续性 2间断点及其的分类 3区间上的连续函数的性质 重点:函数在点x的连续性 难点:连续、一致连续的证明 要求:理解连续的定义,间断点的分类,会用 用定义证明函数的连续性。 下页
§1 连续性的概念 内容： 1 函数在点 的连续性 2 间断点及其的分类 3 区间上的连续函数的性质 重点：函数在点 的连续性 难点：连续、一致连续的证明 要求：理解连续的定义，间断点的分类，会用 用定义证明函数的连续性。 0 x 0 x 第四章 函数的连续性 下页
函数在一点x0的连续 先回顾一下函数在x0点的极限Imf(x)=A x→ 设函数f(x)在x0的某个空心邻域内有定义,A是一个确定的 数,若对VE>0,3δ>0,当0x时,以A为极限。 这里f(x0)可以有三种情况 sin( x 1)f(x)无定义,比如上章讲过的特殊极限lm Xo →x0x-x 下页
一 函数在一点 0 x 的连续 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A x x = → lim ( ) 0 设函数 f (x)在 0 x 的某个空心邻域内有定义， A 是一个确定的 数，若对 0 , 0 ，当 0 | − | 0 x x 时，都有 | f (x) − A| ，则称 f (x)在 0 x → x 时，以 A为极限。 这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况 1） ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 = − − → x x x x x x 下页
x≠x 2)f(x0)≠A,比如f(x)= x+1.x=x imf(x)=x0≠f(x0) x→>x0 x x 3)f(x0)=A Xo 下页
2） f (x0 ) A，比如 + = = 0 0 1 , , ( ) x x x x x x f x ， lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x = → 3） f (x0 ) = A 0 x 0 x 0 x 下页
对1,2两种情况,曲线在x。处都出现了间断;第3种情况与 前两种情况不同,曲线在x处连绵不断,我们称这种情况为,f(x)在 xn处连续。 定义1设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,若 lim f(x)=f(o) (2) x→>x0 则称函数f(x)在x0点连续。 例如函数f(x)=2x+1在点x=2连续,因为 imf(x)=li(2x+2)=5=f(2) x→>2 x→)2 下页
对 1，2 两种情况，曲线在 0 x 处都出现了间断; 第 3 种情况与 前两种情况不同，曲线在 0 x 处连绵不断，我们称这种情况为，f (x) 在 0 x 处连续。 定义 1 设函数 f (x)在 0 x 的某邻域内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → (2) 则称函数 f (x)在 0 x 点连续。 例如 函数 f (x) = 2x + 1在点 x = 2 连续，因为 lim ( ) lim (2 2) 5 (2) 2 2 f x x f x x = + = = → → 下页
lim f(x)=lim x sin 若记Δx=x-x,y=f(x)-f(x0)则lif(x)=f(xo)可等价 的叙述为m△y=0,于是函数f(x)在x点连续的定义又可以叙述 x→)△x 为 定义1(2)设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,若 lim△y=0 x→)△x 则称f(x)在x点连续。 另外,由于函数f(x)在x0点连续是用极限形式表述的,若将 imf(x)=f(x)改用E-δ语言叙述,则f(x)在x点连续又可以定义 x→>x0 为: 下页
0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → → 若记 , ( ) ( ) 0 0 x = x − x y = f x − f x 则 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 可等价 的叙述为 lim = 0 → y x x ，于是函数 f (x)在 0 x 点连续的定义又可以叙述 为 定义 1（2） 设函数 f (x)在 0 x 的某邻域内有定义，若 lim = 0 → y x x 则称 f (x)在 0 x 点连续。 另外，由于函数 f (x)在 0 x 点连续是用极限形式表述的，若将 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 改用 − 语言叙述，则 f (x)在 0 x 点连续又可以定义 为： 下页
小义工后设函数()在,的某邻域内有定义,若对 VE>0,3δ>0,使得当|x-x0|<δ时,都有 1f(x)-f(x)<E, (2) 则称f(x)在x0点连续 注意函数f(x)在x0点连续,不仅要求f(x)在x0点有定义,而且要求 时 ∫(x)的极限等于∫(x),因此这里在极限的“E-δ”语言叙述中把 “0<|x-x0<δ”换成了“|x-x01<d”。最后,(1)式又可表示 为 下页
定义 1（3） 设函数 f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，若对 0 , 0 ，使得当| x − x0 | 时，都有 | ( ) − ( ) | 0 f x f x ， (2) 则称 f (x)在 0 x 点连续。 注意 函数 f (x) 在 0 x 点连续，不仅要求 f (x) 在 0 x 点有定义，而且要求 0 x → x 时， f (x)的极限等于 ( ) 0 f x ，因此这里在极限的“ − ” 语言叙述中把 “0 | x − x0 | ”换成了“ | x − x0 | ”。最后，(1)式又可表示 为 下页
可见“f在x=0连续”意味着极限运算m对应法则f的可交换性。 x→x 例1证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续,其中Dx)为狄利克雷 函数。 证明由f(0)=0及D(x)≤1,对于任意的E>0,为使 f(x)-f(0)=xDx)≤<E 只要取δ=,即可按ε-δ定义推得在连续 相应于在的左、右极限的概念,我们给出左右连续的定一如下: 定义2设函数f(x)在x0的某左(右)邻域内有定义,若 下页
可见“ f 在 x = 0连续”意味着极限运算 0 lim x→x 对应法则 f 的可交换性。 例 1 证明函数 f (x) = x D(x)在点 x = 0连续,其中 D(x) 为狄利克雷 函数。 证明 由 f (0) = 0 及 D(x) 1，对于任意的 0，为使 f (x) − f (0) = x D(x) x 只要取 = ，即可按 − 定义推得在连续。 相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下： 定义 2 设函数 f (x)在 0 x 的某左（右）邻域内有定义，若 下页
lim f(x)=f()( lim f(x)=f( 称f(x)在x点左(右)连续。 由极限与单侧极限的关系不难得出 定理4.1函数f(x)在x点连续的充分必要条件为:f(x)在x0点 既左连续又右连续。 x+2.x≥0 例2讨论函数f(x)= 在x=0的连续性。 x x0 所以f(x)在x=0右连续,但不左连续,从 下页
2 －2 0 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − （ lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + ） 则称 f (x)在 0 x 点左（右）连续。 由极限与单侧极限的关系不难得出： 定理 4.1 函数 f (x)在 0 x 点连续的充分必要条件为：f (x) 在 0 x 点 既左连续又右连续。 例 2 讨论函数 − + = 2 , 0 2 , 0 ( ) x x x x f x 在 x = 0的连续性。 解 因为 lim ( ) lim ( 2) 2 (0) lim ( ) lim ( 2) 2 (0) 0 0 0 0 f x x f f x x f x x x x = − = − = + = = → − → → + → 所以 f (x) 在 x = 0右连续，但不左连续，从 下页
间断点及其分类 定义3设函数f在某U°(x0)内有定义。若∫在点x0无定义,或在 点x有定义但不连续,则称点x为函数∫的间断点或不连续点 由连续的定义知,函数f(x)在x0点不连续必出现如下情形: 1)limf(x)=A,而f在点x0无定义,或有定义但 →x0 imnf(x)=A≠f(x0) xo 2)左、右极限都存在,但不相等,称a=|lmf(x)-limf(x) x→>x0+ x→x 为跳跃度 3)左、右极限至少一个不存在 下页
二 间断点及其分类 定义 3 设函数 f 在某 ( ) 0 U x o 内有定义。若 f 在点 0 x 无定义，或在 点 0 x 有定义但不连续，则称点 0 x 为函数 f 的间断点或不连续点。 由连续的定义知，函数 f (x) 在 0 x 点不连续必出现如下情形: 1） f x A x x = → lim ( ) 0 ，而 f 在点 0 x 无定义，或有定义但 lim ( ) ( ) 0 0 f x A f x x x = → 2）左、右极限都存在，但不相等, 称 | lim ( ) lim ( ) | 0 0 f x f x x→x + x→x − = − 为跳跃度 3）左、右极限至少一个不存在 下页
①.可去间断点情况1)x。称为 可去间断点(或可去不连续点) SIn x ,x≠0 例f(x)=x inf(x)=1≠-1=f(0) x→>0 1x=0 x=0是f(x)的可去间断点 Ff(x)=sgn(x-a)l, lim f(x)=1, f(a)=0,x=a Ef(x) 的可去间断点 下页
1．可去间断点 情况 1） 0 x 称为 可去间断点（或可去不连续点）； 例 − = = 1 , 0 , 0 sin ( ) xx x x f x , lim ( ) 1 1 (0) 0 f x f x = − = → x = 0 是 f (x)的可去间断点。 例 ( ) =| sgn( − ) | , lim ( ) =1, ( ) = 0 → f x x a f x f a x a ，x = a 是 f (x) 的可去间断点。 a 下页