第二章谓词逻辑 §1谓词的概念与表示法 §2命题函数与量词 §3谓词公式与翻译 §4变元的约東 ■§5谓词演算的等价式与蕴含式 §6前束范式 §7谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑 ◼ §1 谓词的概念与表示法 ◼ §2 命题函数与量词 ◼ §3 谓词公式与翻译 ◼ §4 变元的约束 ◼ §5 谓词演算的等价式与蕴含式 ◼ §6 前束范式 ◼ §7 谓词演算的推理理论
「§1谓词的概念与表示法 在研究命题逻辑中, 原子命题是命题演算中最基本的单位,不再对原子命题进行 分解, 这样会产生二大缺点 (1)不能研究命题的结构,成分和内部逻辑的特征 (2)也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征,甚 至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。 例:苏格拉底论证是正确的,但不能用命题逻辑的推理规则 推导出来。 “所有的人总是要死的。 “苏格拉底是人 B 所以苏格拉底是要死的。”C
§1 谓词的概念与表示法 在研究命题逻辑中, 原子命题是命题演算中最基本的单位,不再对原子命题进行 分解, 这样会产生二大缺点: (1)不能研究命题的结构,成分和内部逻辑的特征; (2)也不可能表达二个原子命题所具有的共同特征,甚 至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。 例:苏格拉底论证是正确的,但不能用命题逻辑的推理规则 推导出来。 “所有的人总是要死的。 A “苏格拉底是人。 B “所以苏格拉底是要死的。” C
§1谓词的概念与表示法 1谓词: 《定义》:用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。 我们可把陈述句分解为二部分: 主语(名词,代词)和谓语(动词) 例:张华是学生,李明是学生。则可把它表示成: H:表示“是学生”,表示“张华”,m:表示“李明”, 则可用下列符号表示上述二个命题:H(),H(m) H作为“谓词”(或者谓词字母)用大写英文字母表示, jm.为主语,称为“客体”或称“个体
§1 谓词的概念与表示法 1.谓词: 《定义》:用以刻划客体的性质或关系的即是谓词。 我们可把陈述句分解为二部分: 主语(名词,代词)和谓语(动词)。 例:张华是学生,李明是学生。则可把它表示成: H:表示“是学生”,j:表示“张华”,m:表示“李明”, 则可用下列符号表示上述二个命题:H(j),H(m)。 H作为“谓词”(或者谓词字母)用大写英文字母表示, j,m为主语,称为“客体”或称“个体
「§1谓词的概念与表示法 (1)谓词填式:谓词字母后填以客体所得的式子。 例:H(a,b) (2)若谓词字母联系着一个客体,则称作一元谓词;若谓 词字母联系着二个客体,则称作二元谓词;若谓词字母联 系着n个客体,则称作n元谓词。 (3)客体的次序必须是有规定的。 例:河南省北接河北省 b 写成二元谓词为:L(n,b),但不能写成L(b,n)
§1 谓词的概念与表示法 (1)谓词填式:谓词字母后填以客体所得的式子。 例:H(a, b) (2)若谓词字母联系着一个客体,则称作一元谓词;若谓 词字母联系着二个客体,则称作二元谓词;若谓词字母联 系着n个客体,则称作n元谓词。 (3)客体的次序必须是有规定的。 例:河南省北接河北省。 n L b 写成二元谓词为:L(n,b),但不能写成L(b,n)
§2命题函数与量词 1.命题函数 客体在谓词表达式中可以是任意的名词 例:C-“总是要死的 张三;t:老虎;e:桌子。 则C(),C(t),C(e)均表达了命题 在上面的例子中,C:表示“总是要死的”;X:表示变元 (客体变元),则C(x)表示“X总是要死的”,则称C(x 为命题函数 《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组 成的表达式,称为简单命题函数
§2 命题函数与量词 1. 命题函数 客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例:C—“总是要死的。” j:张三;t:老虎;e:桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。 在上面的例子中,C:表示“总是要死的”;x:表示变元 (客体变元),则C(x)表示“x总是要死的”,则称C(x) 为命题函数。 《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组 成的表达式,称为简单命题函数
§2命题函数与量词 讨论定义: (a)当简单命题函数仅有一个客体变元时,称为一元简 单命题函数; (b)若用任何客体去取代客体变元之后,则命题函数就 变为命题; (c)命题函数中客体变元的取值范围称为个体域(论述 域) 例:P(X)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域 可以将命题函数→命题,有两种方法:
§2 命题函数与量词 讨论定义: (a)当简单命题函数仅有一个客体变元时,称为一元简 单命题函数; (b)若用任何客体去取代客体变元之后,则命题函数就 变为命题; (c)命题函数中客体变元的取值范围称为个体域(论述 域)。 例:P(x)表示x是质数。这是一个命题函数。 其值取决于个体域。 可以将命题函数→命题,有两种方法:
§2命题函数与量词 a)将x取定一个值。如:P(4),P(5) b)将谓词量化。如:VxP(x),彐xP(x) 个体域的给定形式有二种 ①具体给定。 如:{j,e,t} ②全总个体域任意域:所有的个体从该域中取得
§2 命题函数与量词 a)将x取定一个值。如:P(4),P(5) b)将谓词量化。如:xP(x),xP(x) 个体域的给定形式有二种: ①具体给定。 如:{j, e, t} ②全总个体域任意域:所有的个体从该域中取得
§2命题函数与量词 2量词 (1)全称量词 “V”为全称量词符号,读作“对于所有的”,“对任 对一切 例:“这里所有的都是苹果” 可写成:VXA(x)或(v×)A(x) 几种形式的读法 xP(×) “对所有的x,x是..”; XP(x):“对所有X,X不是…”; XP(x):“并不是对所有的x,x是…; XP(x):“并不是所有的x,x不是
§2 命题函数与量词 2.量词 (1)全称量词 “”为全称量词符号,读作“对于所有的”,“对任一 个”,“对一切”。 例:“这里所有的都是苹果” 可写成: xA(x)或(x)A(x) 几种形式的读法: · xP(x): “对所有的x,x是…”; · x¬P(x) : “对所有x,x不是…”; · ¬xP(x) : “并不是对所有的x,x是…”; · ¬x¬P(x) : “并不是所有的x,x不是…
§2命题函数与量词 例:将“对于所有的x和任何的y,如果ⅹ高于y,那么y不高 于x”写成命题表达形式 解:VXy(G(Xy)->G(y,×) G(Xy):X高于y (2)存在量词 “彐”为存在量词符号,读作“存在一个”,“对于 些”,“对于某些”,“至少存在一个”,“这里存在着 这样的”等等 “”表达式的读法: 彐xA(x):存在一个X,使x是 彐xA(x):存在一个X,使x不是…; XA(X):不存在一个x,使x是. 弓XA(x):不存在一个x,使x不是
§2 命题函数与量词 例:将“对于所有的x和任何的y,如果x高于y,那么y不高 于x”写成命题表达形式。 解: x y(G(x,y)→ ¬ G(y,x)) G(x,y):x高于y (2)存在量词 “”为存在量词符号,读作“存在一个”,“对于一 些”,“对于某些”,“至少存在一个”,“这里存在着 这样的”等等。 “”表达式的读法: · x A(x) :存在一个x,使x是…; · x¬A(x) :存在一个x, 使x不是…; · ¬ x A(x) :不存在一个x, 使x是…; · ¬ x¬A(x) :不存在一个x, 使x不是…
§2命题函数与量词 例:(a)存在一个人; (b)某个人很聪明; (c)某些实数是有理数 将(a),(b),(c)写成命题 解:规定:M(x):x是人;C(刈):X是很聪明; R1(×):X是实数(特性谓词) R2(×):X是有理数。 则(a)彐xM(x); (b)彐(M(X)∧C(×); (C)彐X(R1(×)∧R2(X)。 (3)量化命题的真值:决定于给定的个体域 给定个体域:{a13以{a1a}中的每一个代入 Vx(x)Q(a1)v.Q(an
§2 命题函数与量词 例:(a)存在一个人; (b)某个人很聪明; (c)某些实数是有理数 将(a),(b),(c)写成命题。 解:规定:M(x):x是人;C(x):x是很聪明; R1 (x):x是实数(特性谓词) R2 (x):x是有理数。 则 (a) x M(x) ; (b) x (M(x) C(x)); (c) x (R1 (x) R2 (x)) 。 (3)量化命题的真值:决定于给定的个体域 给定个体域:{a1…an }以{a1…an }中的每一个代入 xP(x)P(a1 )… P(an ) xQ(x)Q(a1 )… Q(an )