) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第1章插值 ●概 实际中,f(x)多样,复杂,通常只能观测到一些离散数据 或者fx)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近fx) 自然地,希望g(x)通过所有的离散点 g(x)≈f( co x 3 4
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第1章 插 值 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 ⚫ 概念 x0 x1 x2 x x3 x4 g(x) f(x)
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义:f(x)为定义在区间[小上的函数{x}区间上n+1个互不 相同的点①为给定的某一函数类。求D上的函数g(x)满足 g(x)=f(x1), i=0 问题 ●是否存在唯 ●如何构造 ●误差估计
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 f (x) a,b 0 n i i x = g(x) g(xi ) = f (xi ) , i = 0, ,n 问题 ⚫ 是否存在唯一 ⚫ 如何构造 ⚫ 误差估计
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 设g(x)=a090(x)+…+an9n(x)则 g(x)=f(x1)=a00(x1)+…+an9n(x1) (ao…,an)有解<→系数行列式不为0 特点: 1.与基函数无关 2.与原函数f(×)无关 3.基函数个数与点个数相同
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) = = + + = + + , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 n i i i n n i n n a a g x f x a x a x g x a x a x 有解 系数行列式不为0 设 则 1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同 特点：
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 存在唯一定理 定理11{x)0为n+1个节点,①=spm{1,…n} n+1维空间,则插值函数存在唯一,当且仅当 (x)…qn(x) ≠0 (xn)…qn(x2)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 存在唯一定理 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 0 n i i x = = span{0 ,1 , n } 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 n n n n x x x x
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 对应于Φ=P"(x)=Spm{,x,x2,…x"} 0 x.≠0 0≤j<i Vandermonde行列式
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) {1, , , } n 2 n 对应于 = x = span x x x 则 0 1 1 0 0 = − jin i j n n n x x x x Vandermonde行列式
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 多项式插值的 Lagrange型 ●如何找? 在基函数上下功夫,取基函数为{(x)}=0∈P O 要求l(x)==1,= l≠ 则g(x)=∑l1(x)(x,) 0
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 多项式插值的Lagrange型 ⚫ 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 n n i x i {l ( )} =0 要求 = = = i j i j l i xj i j 1, 0, ( ) 则 ( ) ( ) ( ) 0 i n i i g x l x f x = =
中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 求{l(x)}o,易知: l1(x)=a1(x-x0)…(x-x1-1)(x-x1+1)……(x-xn) )…(x )(x i+1 ●线性插值 X-X X-x 70(x)= (x) X1 L(x)=f(x0)(x)+f(x1)4(x)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ⚫线性插值 1 0 0 1 0 1 1 0 ( ) , ( ) x x x x l x x x x x l x − − = − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 1 L x = f x l x + f x l x 求 n i x i l 0 { ( )} = ，易知： ( ) ( ) ( )( ) ( ) i x ai x x0 x xi 1 x xi 1 x xn l = − − − − + − ( ) ( )( ) ( ) 1 i 0 i i 1 i i 1 i n i x x x x x x x x a − − − − = − +
) 中图学技术大荸学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ●二次插值 X-XIx-xX 2 0 X (x-x1)( (x-x0)(x-x2) X (x1-x0)(x1-x2) l2(x) (x-x0)(x-x1) (x2-x0)(x2-x1) L2(x)=f(x0)0(x)+f(x1)1(x)+f(x2)l2(x)
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ⚫二次插值 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 0 x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x − − − − = − − − − = − − − − = 2 0 0 1 1 2 2 L x f x l x f x l x f x l x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + +
中图苔技术大荸数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例:(-1,2),(0,0),(2,1),(3,3) (x-0(x-2x-3) l1(x) (x+1)(x-2)(x-3 (-1-0)(-1-2(-1-3) (0+1)(0-2)(0-3) (x+1)(x-0(x-3 l3(x) (x+1)(x-0(x-2) (2+1)(2-0(2-3) (3+1)(3-0)(3-2) g(x)=20(x)+01(x)+12(x)+3l3(x) 例:已知sin=,sinz 32 分别利用sinx的次、2次 Lagrange插值计算sin50° 并估计误差
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例： (−1,2),(0,0),(2,1),(3,3) ( 1 0)( 1 2)( 1 3) ( 0)( 2)( 3) ( ) 0 − − − − − − − − − = x x x l x (3 1)(3 0)(3 2) ( 1)( 0)( 2) ( ) 3 + − − + − − = x x x l x (2 1)(2 0)(2 3) ( 1)( 0)( 3) ( ) 2 + − − + − − = x x x l x (0 1)(0 2)(0 3) ( 1)( 2)( 3) ( ) 1 + − − + − − = x x x l x ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 0 1 2 3 g x = l x + l x + l x + l x 例：已知 2 3 3 , sin 2 1 4 , sin 2 1 6 sin = = = 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差
) 中图学技术大荸学系 8 1 Lagrange polynomial University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 5兀 50° 18 解:m=1分别利用mx1以及x,x2计算 中利用x 6’2 1(x)=x z/4×+_z/6 丌/4 丌/4-兀/6 內插通常优于外推。选择 f2(5:) sins, 6’3 要计算的x所在的区间的 端点,插值效果较好。 sin50°=0.7660444 外推/ extrapolation+的差≈-0.01001 中利用x=,x2=回sin509≈0)8,0.0638(5)<0.0060 内插/ interpolation*的实际误差≈0.00596
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS §1 Lagrange Polynomial 解： 0 x x1 x2 18 5 500 = n = 1 分别利用x0 , x1 以及 x1 , x2 计算 4 , 6 0 1 利用 x = x = 2 1 / 4 / 6 / 6 2 1 / 6 / 4 / 4 ( ) 1 − − + − − = x x L x 这里 ) 3 , 6 ( ) sin , ( ) sin , ( (2) f x = x f x = − x x 而 ) 4 )( 6 ( 2 ! ( ) , ( ) 2 3 sin 2 1 (2) 1 = x − x − f R x x x ) 0.00762 18 5 0.01319 ( − 1 − R sin 50 = 0.7660444… ) 18 5 sin 50 (1 0 L 0.77614 外推 /* extrapolation */ 的实际误差 −0.01001 3 , 4 1 2 利用 x = x = sin 50 0.76008, 0.00660 18 ~ 5 0.00538 1 R 内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596 内插通常优于外推。选择 要计算的 x 所在的区间的 端点，插值效果较好