第三章函数极限 数学要求 1理解函数极限的“E-6”,“E-M定义 及单侧极限概念; 2掌握函数极限的基本性质及两个重 要极限; 3理解广义极限、无穷大量及无穷小 量等概念
教学要求 1 理解函数极限的“ε-δ”，“ε-M”定义 及单侧极限概念； 2 掌握函数极限的基本性质及两个重 要极限； 3 理解广义极限、无穷大量及无穷小 量等概念。 第三章 函数极限
§1函数极限概念 x趋于∞时函数的极限 设函数∫定义在[+∞)上,类似于数列情形,我们研究当自变量x趋于+∞时, 对应的函数值能否无限地接近于某个定数A。例如,对于函数f(x) 我们用 Matlab画出它的图像 x=5:50;y=1./x;plot(x,y,’r), axis([5,55,0,0.22]) 当x无限增大时,函数值无 限地接近于0;
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 §1 函数极限概念 一 x 趋于时函数的极限 设函数 f 定义在a,+ )上，类似于数列情形，我们研究当自变量 x 趋于+ 时， 对应的函数值能否无限地接近于某个定数 A。例如，对于函数 ( ) x f x 1 = 我们用 Matlab 画出它的图像 x=5:50; y=1./x;plot(x,y,'r'), axis([5,55,0,0.22]) 当 x 无限增大时，函数值无 限地接近于 0；
而对于函数g(x)= arctan x,则当x趋于+∞时函数值无限地接近于。我们 称这两个函数当x→+∞时有极限
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 而对于函数 g(x) = arctan x ，则当 x 趋于+ 时函数值无限地接近于 2 。我们 称这两个函数当 x → +时有极限
般地,当x趋于+∞时函数极限的精确定义如下: 定义1设厂定义在[+∞)上的函数,A为定数。若对任给的>0,存在正 数M2a),使得当x>M时有(x)-4<E,则称函数f当x趋于+0时以A为极 限,记作mnf(x)=A或f()→A(x→+∞o)。 x→+00 在定义1中正数M的作用与数列极限定义中N的相类似,表明x充分大的程 度;但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而不仅仅是正整数n。因此,当x趋 于+时函数f以A为极限意味着:A的任意小邻域内必含有∫在+∞的某邻域内 的全部函数值
一般地，当 x 趋于+ 时函数极限的精确定义如下： 定义 1 设 f 定义在a,+ )上的函数， A为定数。若对任给的 0，存在正 数 M ( a)，使得当 x M 时有 f (x) − A ，则称函数 f 当 x 趋于+ 时以 A为极 限，记作 f (x) A x = →+ lim 或 f (x) → A (x → + )。 在定义 1 中正数 M 的作用与数列极限定义中 N 的相类似，表明 x 充分大的程 度；但这里所考虑的是比 M 大的所有实数 x ，而不仅仅是正整数n 。因此，当 x 趋 于+ 时函数 f 以 A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有 f 在+ 的某邻域内 的全部函数值
定义1的几何意义如下图所示, 对任给的E>0,在坐标平面上平行于x轴的两条直线y=A+E与y=A-E,围 成以直线y=A为中心线、宽为2E的带形区域;定义中的“当x>M时有 J()4<"表示:在直线x=M的右方,曲线y=/(x)全部落在这个带形区 域之内。如果正数￡给的小一点,即当带形区域更窄一点,那么直线
M 定义 1 的几何意义如下图所示， 对任给的 0，在坐标平面上平行于 x 轴的两条直线 y = A + 与 y = A − ，围 成以直线 y = A为中心线、宽为 2 的带形区域；定义中的“当 x M 时有 f (x)− A ”表示：在直 线 x = M 的右方，曲线 y = f (x)全部落在这个带形区 域之内。如果正数 给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线
x=M—般要往右平移;但无论带形区域如何窄,总存在这样的正数M,使 得曲线y=()在直线x=M的右边部分全部落在这更窄的带形区域内 现设∫为定义在U(∞)或U()上的函数,当x→>-0或x→>时,若函数值 (x)能无限地接近某定数A,则称f当x→-∞或x→时以A为极限,分别记作 imfx)=4或f(x)→4(x→-∞) imf(x)=A或f(x)→A(x→ 这两种函数极限的精确定义与定义1相仿,只须把定义1中的“x>M”分别改为 “xM”即可。 显然若f为定义在U(∞)上的函数,则
x = M 一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数 M ，使 得曲线 y = f (x)在直线 x = M 的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。 现设 f 为定义在U (− )或U ()上的函数，当 x → − 或 x → 时，若函数值 f (x)能无限地接近某定数 A，则称 f 当 x → − 或 x → 时以 A为极限，分别记作 f (x) A x = →− lim 或 f (x) → A (x → − ) f (x) A x = → lim 或 f (x) → A (x → ) 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，只须把定义 1 中的“ x M ”分别改为 “ x −M ”或“ x M ”即可。 显然,若 f 为定义在U ()上的函数，则
limf(x)=Ae lim f(x)=limf(x) x→)+00 例1证明Im-=0。 证任给E>0,取M=-,则 当>M时有 M 所以m 0 x→x 例2证明:1) lim arctan x= 2) lim arctan x x-)+00
f (x) A f (x) f (x) A x x x = = = → →+ →− lim lim lim （1） 例1 证明 0 1 lim = x→ x 。 证 任给 0，取 1 M = ，则 当 x M 时有 − = = x x M 1 1 0 1 所以 0 1 lim = x→ x 。 例 2 证明：1） 2 lim arctan = − →− x x ； 2） 2 lim arctan = →+ x x
证任给E>0,由于 丌 arctan x ∞时 arctan x不存在极限
证 任给 0，由于 − − 2 arctan x （2） 等价于 2 arctan 2 − − x − ，而此不等式的左半部分对任何 x 都成立，所以只 要考察其右半部分 x 的变化范围。为此，先限制 2 ，则有 = − − − 2 tan 2 x tan 故对任给的正数 2 ，只须取 = − 2 M tan ，则当 x −M 时便有（2）式 成立。这就证明了 1）。类似地可证 2）。 注 由结论（1）可知，当 x → 时arctan x 不存在极限
x趋于x0时函数的极限 设∫为定义在x0某个空心邻域U(x0)内的函数。现在讨论当x趋于x0(x≠x 时,对应的函数值能否趋于某个定数A。这类函数极限的精确定义如下 定义2(函数极限的-6定义)设函数f在x某个空心邻域U(1,)内有定 义,A为定数。若对任给的>0,存在正数6(δ),使得当0<k-x<δ时有 (x)-4<E,则称函数厂当x趋于x时以A为极限,记作mf(x)=A或 x→X f(x)→A(x→x) 下面我们举例说明如何应用ε-δ定义来验证这种类型的函数极限。请读者特 别注意以下各例中δ的值是怎样确定的
二 x 趋于 0 x 时函数的极限 设 f 为定义在 0 x 某个空心邻域 ( ) 0 0 U x 内的函数。现在讨论当 x 趋于 0 x ( ) 0 x x 时，对应的函数值能否趋于某个定数 A。这类函数极限的精确定义如下： 定义 2（函数极限的 − 定义）设函数 f 在 0 x 某个空心邻域 ( ) / 0 0 U x , 内有定 义， A为定数。若对任给的 0，存在正数 ( ) / ，使得当 − 0 0 x x 时有 f (x) − A ，则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以 A为极限，记作 f (x ) A x x = → 0 lim 或 ( ) ( ) 0 f x → A x → x 。 下面我们举例说明如何应用 − 定义来验证这种类型的函数极限。请读者特 别注意以下各例中 的值是怎样确定的
例3设/(x)=x-4,证明lmf(x)=4 x→)2 证由于当x≠2时,|/(x)-4= 4 x-2 x+2-4=x 故对给定的E>0,只要取δ=,则当0x x→ 证先建立一个不等式:当0<x<时有 sin x<x< tan x (3) 事实上,在如图3-2的单位圆内,当0<x<竺时,显然有
例 3 设 ( ) 2 4 2 − − = x x f x ，证明 lim ( ) 4 2 = → f x x 。 证 由于当 x 2 时， ( ) 4 2 4 2 2 4 4 2 − = + − = − − − − = x x x x f x ， 故对给定的 0，只要取 = ，则当0 x − 2 时有 f (x) − 4 。这就证明 了lim ( ) 4 2 = → f x x 。 例4 证明：1） 0 lim sin sin 0 x x x x = → ； 2） 0 lim cos cos 0 x x x x = → 证 先建立一个不等式：当 2 0 x 时有 sin x x tan x （3） 事实上，在如图 3-2 的单位圆内，当 2 0 x 时，显然有