Pyre 第十一章反常积分 白数学目标 掌握反常积分敛散性的定义,奇点; 掌握一些重要的反常积分收敛和发散 的例子; 理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念, 并能用反常积分的 Cauchy收敛原理、 非负函数反常积分的比较判别法、 Cauchy判别法,以及一般函数反常积 分的Abel、 Dirichlet判别法判别基本的 反常积分
掌握反常积分敛散性的定义，奇点; 掌握一些重要的反常积分收敛和发散 的例子; 理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念， 并能用反常积分的Cauchy收敛原理、 非负函数反常积分的比较判别法、 Cauchy判别法，以及一般函数反常积 分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的 反常积分。 第十一章 反常积分 教学目标：
第十一章反常积分 §1反常积分概念 问题的提出 例1(第二宇宙速度问题) 在地球表面初值发射火箭,要是火箭克服地球引力,无限远离地球,问初速 度至少多大?
第十一章 反常积分 §1 反常积分概念 一 问题的提出 例 1（第二宇宙速度问题） 在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速 度至少多大？
解。设地球半径为R,火箭质量为m地面重力加速度为g,有万有引力定理, 在距地心x处火箭受到的引理为 F(x=mgR 于是火箭上升到距地心r处需要做到功为 mgn-dx=mgR( R R 当r→>∞时,其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 mgR R dx=lim -)dx= mgR r→)∞ 再由能量守恒定律,可求得处速度v至少应使 m2=mgR→v=√2 gR≈112km/s)
下一页 上一页 解 设地球半径为R ，火箭质量为m 地面重力加速度为g ，有万有引力定理， 在距地心x 处火箭受到的引理为 2 2 ( ) mgR F x x = 于是火箭上升到距地心r 处需要做到功为 2 2 2 1 1 ( ) r R mgR dx mgR x R r = − 当r → 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 2 2 2 2 lim r r R R mgR mgR dx dx mgR x x → = = 再由能量守恒定律，可求得处速度 0 v 至少应使 2 0 0 1 2 11.2( / ) 2 mv mgR v gR km s = =
例2从盛满水开始打开小孔,问需多 长时间才能把桶里水全部放完? 解由物理学知识知道,(在不计摩擦情 况下),桶里水位高度为h-x时,水从小 孔里流出的速度为 √2g(h 设在很短一段时间Δt内,桶里水面降低的 高度为△x,则有下面关系: 兀R2△x=pnn2Mt 由此得t= x∈[0,h g(h -x) 所以流完一桶水所需的时间应为 R dx (2g(h-x)
O xO h 例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？ 解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情 况下），桶里水位高度为h x − 时，水从小 孔里流出的速度为 v g h x = − 2 ( ) 设在很短一段时间t 内，桶里水面降低的 高度为x ，则有下面关系： 2 2 R x v r t = 由此得 2 2 , [0, ] 2 ( ) R t x x h r g h x = − 所以流完一桶水所需的时间应为 2 2 0 (2 ( ) h f R t dx r g h x = −
但是,被积函数在(O上是无界函数,所一我们取 R t,=lim t→>h r2(2g(h-x) th r i=(h-h-l)= h 相对于以前学习的定积分(正常积分),我们把这里的积分叫做反常积分
但是，被积函数在(0, ] h 上是无界函数，，所一我们取 2 2 0 2 2 2 2 lim (2 ( ) 2 2 lim ( ) u f u h u h R t dx r g h x R h R h h u g r g r − − → → = − = − − = 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分
无穷限反常积分的定义 f=F(+∞)-F(a) 无穷限反常积分几何意义 例1(1)讨论积分fa +∞O dx 的敛散性 1+ 计算积分 x十
a 无穷限反常积分的定义 = A a F( A) ， + = + − a f F( ) F(a) . 无穷限反常积分几何意义 例 1 ⑴ 讨论积分 + + 0 2 1 x dx , − + 0 2 1 x dx , + − + 2 1 x dx 的敛散性 . ⑵ 计算积分 + + + 0 2 x 2x 5 dx
例2~讨论以下积分的敛散性: dx dx Ho 例3讨论积分∫cosx敛散性 二.瑕积分:(先介绍函数的瑕点) 瑕积分的定义:以点b为瑕点给出定义.然后就点a为瑕点、点c∈(a,b) 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明 例9判断积分∫ dx 的敛散性 例10讨论瑕积分∫2(q>0)的敛散性,并讨论积分∫的敛散性
例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ + 1 p x dx ; ⑵ + 2 (ln ) p x x dx . 例 3 讨论积分 + a cos xdx的敛散性 . 二. 瑕积分: （先介绍函数的瑕点） 1. 瑕积分的定义: 以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点c (a,b) 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. 例 9 判断积分 − 1 0 2 1 x dx 的敛散性 . 例 10 讨论瑕积分 1 0 ( q 0 ) x dx q 的敛散性 , 并讨论积分 + 0 p x dx 的敛散性
2.瑕积分与无穷积分的关系 设函数f(x)连续,b为瑕点.有 +∞ f(x)dx 3.把瑕积分化成了无穷积分; 设a>0,有」8(x= 把无穷积分化成了瑕积分. 可见,瑕积分与无穷积分可以互化.因此,它们有平行的理论和结果
2 .瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 f (x) 连续 , b 为瑕点. 有 + − − = ===== − b a b a b x t dt t t f x dx f b 1 2 1 1 1 ( ) , 3 . 把瑕积分化成了无穷积分; 设a 0 , 有 + = = ==== − a a a x t t dt t g t dt t g x dx g 0 1 1 0 2 2 1 1 1 ( ) ， 把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果
例1证明瑕积分∫sm当a<2时收敛 sin t 证明 dt,由例6,该积分当a<2时收敛 §2无穷积分的性质与收敛判别 无穷积分的性质 (1)f(x)在区间[a,+∞)上可积,k— Const,则函数kf(x)在区 a,+∞)上可积,且J6(x)d=k∫f(xM (2)f(x)和g(x)在区间[a,+∞)上可积,→f(x)±g(x)在区间[a,+∞) 上可积,且(f±g) 了/±]g (3)无穷积分收敛的 Cauchy淮则:
例 11 证明瑕积分 1 0 1 sin 1 dx x x 当 2 时收敛. 证明 + − = ==== 1 2 1 1 0 sin dt t t t x , 由例 6 , 该积分当 2 时收敛. §2 无穷积分的性质与收敛判别 一 无穷积分的性质: ⑴ f (x) 在区间 [ a , + ) 上可积 , k — Const , 则函数k f (x) 在区 [ a , + ) 上可积 , 且 + = a k f(x)dx k + a f (x)dx . ⑵ f (x) 和 g (x) 在区间 [ a , + ) 上可积 , f (x) g (x) 在区间 [ a , + ) 上可积 , 且 + = a ( f g) + a f + a g . ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则:
h积分「(x)收敛 v>0,34,4,>A=|x)k<a (4)绝对收敛与条件收敛:定义概念. 绝对收敛→收敛,(证)但反之不确.绝对型积分与非绝对型积 分 3.无穷积分判敛法 负函数无穷积分判敛法:对非负函数,有F(A)^.非负函数无穷积 分敛散性记法. (1)比较判敛法:设在区间[a,+∞)上函数f(x)和g(x)非负且
Th 积分 + a f (x)dx 收敛 A A 0 , A, A , A A, f (x)dx . ⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积 分 . 3. 无穷积分判敛法: 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 F(A) ↗. 非负函数无穷积 分敛散性记法. ⑴ 比较判敛法: 设在区间 [ a , + ) 上函数 f (x)和 g(x) 非负且