第十二章数项级数 §1级数的收敛性 要求: 1掌握级数的基本概念,敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论, 2掌握理解级数的基本性质 要点:1)级数的收敛性,2)级数的基本性质 1数项级数的概念、记号:将数列n的各项用加号连接起来,即 l1+l2+…+ln+ 或∑un 称为数值级数,简称级数。其中第n项"称为通项。 2021/2/24
2021/2/24 1 第十二章 数项级数 §1 级数的收敛性 要求： 1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论， 2 掌握理解级数的基本性质 要点：1）级数的收敛性，2）级数的基本性质 1 数项级数的概念、记号： 将数列{ }n u 的各项用加号连接起来，即 u1 + u2 + + un + 或 n=1 n u 称为数值级数，简称级数。其中第 n 项 n u 称为通项
级数的敛散性与和 2介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和:.Sn=l1+2+…+ln 3以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以 及求和等概念 级数的收敛性:若mSn=S存在,称级数∑n收敛称为级数的和 余和:称n=S-Sn=∑u为级数∑n的余和 若部分和数列{S}发散,则称级数∑un发散,发散级数没有和。 这就是说,级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。 2021/2/24
2021/2/24 2 级数的敛散性与和 : . 2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n S = u + u + + u 1 2 3 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以 及求和等概念 级数的收敛性：若 S S n n = → lim 存在，称级数 n=1 n u 收敛，S 称为级数的和； 余和：称 = = − = k n n n k r S S u 为级数 n=1 n u 的余和 若部分和数列{ }n S 发散，则称级数 n=1 n u 发散，发散级数没有和。 这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断
例1讨论几何级数∑amn,a≠0的敛散性。 按照级数收敛性的定义,其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。 由等比数列前n项和的计算公式,r≠1时, =a+ar+∴+a 1)当|r|1时,lmSn=∞,此时几何级数发散,和不存在; n→0 3)当|r=1时,显然S} 发散; 结论:几何级数∑ur",a≠0,当rk<1时,收敛,其和为, 2021/2/24
2021/2/24 3 例 1 讨论几何级数 , 0 1 1 = − ar a n n 的敛散性。 按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。 由等比数列前 n 项和的计算公式，r 1 时， n n n n r r a r a r a ar S a ar ar − − − = − − = + + + = − 1 1 1 1 1） 当 | r | 1 时， r a Sn n − = → 1 lim ，几何级数收敛，其和为 r a 1− ； 2） 当 | r | 1 时， = → n n lim S ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 | r |= 1 时，显然 { }n S 发散； 结论：几何级数 , 0 1 1 = − ar a n n ，当 | r | 1 时，收敛，其和为 r a 1− ；
例2讨论级数 的敛散性. n(n+1) 解利用 求出部分和 n(n+1)nn+1 例3讨论级数∑n的敛散性 k 解设 n→ n+1 2021/2/24
2021/2/24 4 例 2 讨论级数 =1 ( +1) 1 n n n 的敛散性. 解 利用 1 1 1 ( 1) 1 + = − n n + n n 求出部分和 Sn , 例 3 讨论级数 n=1 2 n n 的敛散性. 解 设 = − + − = = + + + + n k n k n n k n n S 1 2 3 1 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 , Sn = 2 1 2 3 4 1 2 2 1 2 3 2 2 2 1 + + − + + + + n n n n , 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = − = + + + + − n n n n n n S S S = 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 − 1 → − − = n+ n n , ( n → )
Sn→2,(n→>∞) 因此,该级数收敛 例4讨论级数∑57=3的敛散性 2n 2n 解 →) >n (n→>∞).级数发散 n 二收敛级数的性质 因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性,由数列收敛的柯西准则,级 数收敛的充分必要条件为: 定理1,(柯西准则)级数∑tn收敛VE>0,3N,Vn>N,Vp∈N有 n=1 Smin-s,<a 2021/2/24 5
2021/2/24 5 n S → 2 , ( n → ) . 因此, 该级数收敛. 例 4 讨论级数 =1 5 − 3 2 n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5 2 5 2 5 3 2 = − S n n n n n n →+ , ( n → ) . 级数发散. 二 收敛级数的性质 因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级 数收敛的充分必要条件为： 定理 1，（柯西准则）级数 n=1 n u 收敛 0, N, n N, p N 有 − + | | n p n S S
根据定理1,取p=1,有|Sn1-Sn}=ln<E,于是有下面结论 推论1,级数∑l1n收敛的必要条件为Imn=0 本推论可以方便的用来判断级数发散。注意这只是级数收敛的必要条件, 不是充分条件 例5讨论调和级数1+ 的敛散性 调和级数显然满足推论1,mwn=0,但,若取P=m llm1+ln+…+l 2m 2m 由柯西准则,调和级数发散。 例6证明级数 收敛 2021/2/24 6
2021/2/24 6 根据定理 1，取 p = 1，有 − = n+ n n | S S | u 1 ，于是有下面结论： 推论 1， 级数 n=1 n u 收敛的必要条件为 lim = 0 → n n u 本推论可以方便的用来判断级数发散。 注意这只是级数收敛的必要条件， 不是充分条件。 例 5 讨论调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 的敛散性。 调和级数显然满足推论 1，lim = 0 → n n u ，但，若取 p = m 2 1 | 2 1 2 1 2 1 | | | +1 + +2 + + 2 + + + = m m m u u u m m m 由柯西准则，调和级数发散。 例 6 证明级数 =1 2 1 n n 收敛
证显然满足收敛的必要条件.令 ,则当n≥2时有 l+…+l +k)2 (n+k-1)n+k) P 由定理1,级数收敛与否,仅与充分远的项有关,与前面项的大小无关,因 此级数有如下性质: 推论2去掉、增加或改变级数∑un的有限项,不影响级数的敛散性。 定理2(线性性质)若级数∑un和∑vn收敛,其和分别为 则级 数∑(an+B,)也收敛,其和为S+BS 2021/2/24 7
2021/2/24 7 证 显然满足收敛的必要条件. 令 2 1 n un = , 则当 n 2 时有 = + + + + + + + = p k n n n p n k u u u 1 1 2 2 ( ) 1 | | , 1 1 1 ( 1)( ) 1 1 n k n k n n p n p k + = − + − + = 由定理 1，级数收敛与否，仅与充分远的项有关，与前面项的大小无关，因 此级数有如下性质： 推论 2 去掉、增加或改变级数 n=1 n u 的有限项，不影响级数的敛散性。 定理 2（线性性质）若级数 n=1 un 和 n=1 n v 收敛，其和分别为 1 2 S , S ，则级 数 ( ) 1 n n n u + v = 也收敛，其和为 1 2 S + S
定理3若级数收敛,其和为,则可对该级数任意加括号,不改变其收敛 性,也不改变其和。 注意发散级数,加括号不可以随意加括号,否则会改变其敛散性 例:级数∑(-1)发散,但加括号后:(1-1)+(1-1)+ 例7判断级数∑nsi的敛散性 验证un0.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 1)级数与数列的关系: 对应部分和数列 收敛e{S}收敛 2021/2/24 8
2021/2/24 8 定理 3 若级数收敛，其和为S ，则可对该级数任意加括号，不改变其收敛 性，也不改变其和。 注意发散级数，加括号不可以随意加括号，否则会改变其敛散性。 例：级数 = − 0 ( 1) n n 发散，但加括号后: (1−1) + (1−1) + → 0 例 7 判断级数 =1 1 sin n n n 的敛散性. ( 验证 un → 0 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 ) 1） 级数与数列的关系 : un 对应部分和数列Sn , un 收敛 Sn 收敛;
对每个数列{x1},对应级数x+∑(xn-xn),对该级数,有S=x于是, 数列{xn}收敛台级数x+∑(xn-xn)收敛 可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式 2021/2/24 9
2021/2/24 9 对每个数列{ }n x , 对应级数 = + − − 2 1 1 ( ) n n n x x x , 对该级数, 有 n n S x = .于是, 数列{ n x }收敛 级数 = + − − 2 1 1 ( ) n n n x x x 收敛. 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式
§2正项级数 要求:掌握正项级数敛散性判断方法 重点:比较判别法,比值判别法,根式判别法 正项级数收敛性的一般判别原则 显然正项级数的部分和数列是单调递增的,由单调有界定理,正项级数收敛 的充分必要条件是 定理5正项级数∑n收敛它的部分和数列S有上界 例 2021/2/24 10
2021/2/24 10 § 2 正项级数 要求: 掌握正项级数敛散性判断方法 重点：比较判别法, 比值判别法, 根式判别法 一 正项级数收敛性的一般判别原则 显然正项级数的部分和数列是单调递增的，由单调有界定理，正项级数收敛 的充分必要条件是： 定理 5 正项级数 n=1 n u 收敛 它的部分和数列{ }n S 有上界。 例 =1 ! 1 n n