《数学分析》试题库：数学分析试题（二年级第一学期）

(三十二)数学分析试题(二年级第一学期) 一叙述题(每小题10分,共30分) 1叙述含参变量反常积分f(x,y)x一致收敛的Cahy收敛原理 2叙述 Green公式的内容及意义 3叙述n重积分的概念 二计算题(每小题10分,共50分) 1.计算积分I cdy-ydx ,其中C为椭圆2x2+3y2=1,沿逆时针方向 2.已知二=f(x,-y),其中f(u,v)存在着关于两个变元的二阶连续偏导数,求 关于x,y的二阶偏导数 3.求椭球体++二=1的体积。 4.若l为右半单位圆周,求yds 5.计算含参变量积分(a)=h-2cosx+a2)k(0,存在与y无关的正数A,使得对于任意的AA>A0, f(x,y)k<s,y∈c,]成立。 2 Green公式:设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如 果函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续偏导数,那么 ∫P+b=(22-①M小

1 （三十二）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 叙述含参变量反常积分  + a f (x, y)dx 一致收敛的 Cauchy 收敛原理。 2 叙述 Green 公式的内容及意义。 3 叙述 n 重积分的概念。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1．计算积分  + − = C x y xdy ydx I 2 2 3 4 ，其中 C 为椭圆 2 3 1 2 2 x + y = ，沿逆时针方向。 2．已知 z = f (xz,z − y), 其中 f (u,v) 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求 z 关于 x, y 的二阶偏导数。 3．求椭球体 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x 的体积。 4．若 l 为右半单位圆周，求 l | y | ds 。 5．计算含参变量积分  = − +  0 2 I(a) ln(1 2acos x a )dx ( a 1 )的值。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。 试讨论积分  + + = 0 2 2 1 a x adx I 在每一个固定的 a 处的一致收敛性。 2 讨论函数 dx x y yf x F y  + = 1 0 2 2 ( ) ( ) 的连续性，其中 f (x) 在 [0,1] 上是正的连续函数。 数学分析试题（二年级第一学期）答案 1 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 含参变量反常积分  + a f (x, y)dx 关于 y 在 [c,d] 上一致收敛的充要条件为：对于任意 给定的   0， 存在与 y 无关的正数 A0 ， 使得对于任意的 0 A , A  A ， f (x, y)dx , y [c,d] A A      成立。 2 Green 公式：设 D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如 果函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上具有连续偏导数，那么      −   + = D D dxdy x P x Q Pdx Qdy ( )

其中∂D取正向,即诱导正向。 Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系 3.设9为R”上的零边界区域,函数u=f(x)在9上有界。将g用曲面网分成n个 小区域△21 △2,(称为Ω的一个分划),记△V为△g2的体积,并记所有的 小区域△2的最大直径为λ。在每个△2上任取一点x,若λ趋于零时,和式 =∑f(x△ 的极限存在且与区域的分法和点x的取法无关,则称f(x)在9上可积,并称此极限为 f(x)在有界闭区域9上的n重积分,记为 I=lfdi f(P)Al 二计算题(每小题10分,共50分) 1解令l:x=cost,y=sint,则 xd-yx_√3 √3 (cos t+sinn)dt= 2解令l=x,v=二-y,则 az ay az au az a: aau, af(au, aav 2: afau af(au af. Oy Ou Oy Ou( ay) Ov a a= a au af axay Ou axay Ou( ax/ ay)av axoy ax人ay

2 其中 D 取正向，即诱导正向。 Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。 3．设  为 n R 上的零边界区域，函数 u = f (x) 在  上有界。将  用曲面网分成 n 个 小区域   n , ,..., 1 2 （称为  的一个分划），记 Vi 为 i 的体积，并记所有的 小区域 i 的最大直径为  。在每个 i 上任取一点 i x ，若  趋于零时，和式 i n i I =  f xi V =1 ( ) 的极限存在且与区域的分法和点 i x 的取法无关，则称 f (x) 在  上可积，并称此极限为 f (x) 在有界闭区域  上的 n 重积分，记为 i n i I = fdV =  f Pi V   = → 1 0 lim ( )  。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1 解 令 sin , 2 1 cos , 3 3 l : x = t y = t 则   3 3 (cos sin ) 6 3 3 4 3 4 2 2 2 0 2 2 2 2 = + = + − = + − =    t t dt x y xdy ydx x y xdy ydx I C l . 2 解 令 u = xz, v = z − y, 则 , x z z x x u   = +   , x z x v   =   , y z x y u   =   −1.   =   y z y v x v v f x u u f x z     +     =   ， y v v f y u u f y z     +     =   . 故 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2           +      +          +     =   x v v f x v v f x u u f x u u f x z , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2             +     +             +     =   y v v f y v v f y u u f y u u f y z , 2 2 2 2 2 2 2                     +      +                    +      =    y v x v v f x y v v f y u x u u f x y u u f x y z 即

a:au a ar(au) af a2v a2 av 0x2 0v2(ax ③822( af a1 ay) av Oy av(Oy 321+0(x9) au2 z af af(ouYou, af av, af(orov axon au dxdy au2(oax人ay) Ov axon av2(ax人ay ax八ay axa a2 f a=a= 3解由于对称性,只需求出椭球在第一卦限的体积,然后再乘以8即可, 作广义极坐标变换 x= arcos 6,y= brsm 6(a>0.,b>0,0<r<∞,0≤b≤2r 这时椭球面化为 =c,-(c9sm)1=c1= 又 =abr D(r,6) ye bsin e bros 8 于是 V=l=(x, y)do drde D(r,6) d abrar 1-r2dr d(1-r2) 所以椭球体积

3 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2           +             +        +   +          +     =           +      +          +     =   x z v f x z v f x z z x u f x z x x z u f x v v f x v v f x u u f x u u f x z 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         −     +     +             +            =             +     +             +     =   y z v f y z v f y z x u f y z x u f y v v f y v v f y u u f y u u f y z                     +      +                    +      =    y v x v v f x y v v f y u x u u f x y u u f x y z 2 2 2 2 2 2 2 1 . 2 2 2 2 2 2         −       +      +                   +   +           +     = y z x z v f x y z v f y z x x z z x u f x y z x y z u f 3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以 8 即可。 作广义极坐标变换 x = ar cos, y = brsin  （ a  0, b  0, 0  r  , 0    2 ）。 这时椭球面化为 2 2 2 2 2 ] 1 ( cos ) ( sin ) 1 [ c r b br a ar z = c − + = −   。 又 abr b br a ar y y x x D r D x y r r = − = =        sin cos cos sin ( , ) ( , ) ， 于是       drd D r D x y V z x y d z r xy xy  xy  = = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 8 1 d c r abrdr abc r r dr    = −  = − 1 0 2 1 0 2 2 0 1 2 1     = − − − 1 0 2 2 1 ) (1 ) 2 1 ( 2 abc r d r  abc r abc 6 (1 ) ] 3 2 [ 2 2 1 1 0 2 3  2  = −  − = 。 所以椭球体积

4 V=-tabe 4解l的方程为:x2+y2=1,x≥0。由y= d ±√1+y -dx=± 符号的选取应保证d≥0,在圆弧段AC上,由于ax>0,故 dx 而在圆弧段CB上,由于0 故h(1-2 a cos x+a2)为连续函数且具有连续导数,从而可在积分号下求导 -2 coSx+ 2a (a) 1-2a x+a I cOS X d x a(1+a2) COS x 1g =0 2

4 V abc 3 4 = 。 4 解 l 的方程为： 1, 0 2 2 x + y = x  。由 y x y  = − ， y dx dx y x y ds y dx =  + =  + =  2 2 2 2 1 符号的选取应保证 ds  0 ，在圆弧段 AC 上，由于 dx  0 ，故 y dx ds = 而在圆弧段 CB 上，由于 dx  0 ，故 y dx ds = − 所以 dx y y y dx I yds y l AC CB         = =  +  −    1 2 0 1 1 0 = − =   dx dx 。 5 解  = − +  0 2 I(a) ln(1 2acos x a )dx 。当 a 1 时，由于 − +  − + = 2 2 1 2acos x a 1 2a a 2 (1− a )  0， 故 ln(1 2 cos ) 2 − a x + a 为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。  − + − +  =  0 2 1 2 cos 2cos 2 ( ) dx a x a x a I a          − + − = +  0 2 2 1 2 cos 1 1 1 dx a x a a a  + − − = −   0 2 2 (1 ) 2 cos 1 a a x dx a a a        + − + + − = −   0 2 2 2 cos 1 2 1 (1 ) 1 x a a dx a a a a   0 1 2 2 1       − + = − x tg a a arctg a a 0 2 2 = −  =   a a

于是,当园0。取δ>0,使a0-6>0。下面证明 积分l在(a-o,a0+)内一致收敛。事实上,当a∈(a0-δ,a+)时,由于 6 +a x +(a0-8) 且积分 -dx 1+(an-6 收敛,故由 Weierstrass判别法知积分 rx 在(a0-5,a0+o)内一致收敛,从而在ao点一致收敛。由a0的任意性知积分I在每一 个a≠0处一致收敛 下面说明积分/在a=0非一致收敛。事实上,对原点的任何邻域(-,δ)有 VA>0,有 -dx (a>0) 由于 故取00,使有 卜>E 1+ 因此,积分在a=0点的任何邻域(-6,δ)内非一致收敛,从而积分/在a=0时非 致收敛 2.解当y≠0时,被积函数是连续的。因此,F(y)为连续函数。 当y=0时,显然有F(0)=0。 当y>0时,设m为f(x)在[O,1上的最小值,则m>0。由于

5 于是，当 a 1 时， I(a) = C （常数）。但是， I(0) = 0 ，故 C = 0 ，从而 I(a) = 0 。 三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分） 1 解 设 0 a 为任一不为零的数，不妨设 a0  0 。取   0 ，使 a0 −  0 。下面证明 积分 I 在 ( , ) a0 − a0 + 内一致收敛。事实上，当 a( , ) a0 − a0 + 时，由于 2 2 1 0 a x a +  2 2 0 0 1 (a ) x a   + − +  ， 且积分 dx a x a  + + − + 0 2 2 0 0 1 (  )  收敛，故由 Weierstrass 判别法知积分 dx a x a  + 0 + 2 2 1 在 ( , ) a0 − a0 + 内一致收敛，从而在 0 a 点一致收敛。由 0 a 的任意性知积分 I 在每一 个 a  0 处一致收敛。 下面说明积分 I 在 a = 0 非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域 (− , ) 有： A  0 ，有 ( 0) 1 1 2 0 2 2  + = +   + + a t dt dx a x a aA 。 由于   + + →+ = + = + 0 2 2 0 1 1 2 lim  t dt t dt a aA ， 故取 2 0     ，在 (− , ) 中必存在某一个 a0  0 ，使有   +  + | 1 | 2 aA t dt ， 即   +  + | 1 | 2 2 0 0 A a x a dx 因此，积分 I 在 a = 0 点的任何邻域 (− , ) 内非一致收敛，从而积分 I 在 a = 0 时非一 致收敛。 2．解 当 y  0 时，被积函数是连续的。因此， F( y) 为连续函数。 当 y = 0 时，显然有 F(0) = 0 。 当 y  0 时，设 m 为 f (x) 在 [0,1] 上的最小值，则 m  0 。由于

F(y)≥m ydx= m.arctg g 故有 所以,F()当y=0时不连续。 (三十三)数学分析试题(二年级第一学期 叙述题(每小题10分,共30分) 1叙述二重积分的概念 2叙述 Gauss公式的内容。 3叙述 Riemann引理。 二计算题(每小题10分,共50分) 1.求球面x2+y2+2=50与锥面x2+y2=22所截出的曲线的点(34,5)处的切线 与法平面方程。 2.求平面z=0,圆柱面x2+y2=2x,锥面z=√x2+y2所围成的曲顶柱体的体积 3.计算三重积分 ∫ (x+y+a)dxdydz 其中V:0≤x≤1,0≤y≤10≤z≤1。 4利用含参变量积分的方法计算下列积分 d x 5计算x2+yd+=dd其中M为上半椭球面 +,+-,=1,z≥0(a,b,c>0) 定向取上侧. 三证明题(每小题10分,共20分) 1.若n≥1及x≥0,y≥0,证明不等式

6 y dx m arctg x y y F y m 1 ( ) 1 0 2 2 =  +   及 2 1 lim 0  = →+ y arctg y ， 故有 0 2 lim ( ) 0   →+ m F y y 。 所以， F( y) 当 y = 0 时不连续。 （三十三）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1 叙述二重积分的概念。 2 叙述 Gauss 公式的内容。 3 叙述 Riemann 引理。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1．求球面 50 2 2 2 x + y + z = 与锥面 2 2 2 x + y = z 所截出的曲线的点 (3, 4, 5) 处的切线 与法平面方程。 2．求平面 z = 0 ，圆柱面 x y 2x 2 2 + = ，锥面 2 2 z = x + y 所围成的曲顶柱体的体积。 3．计算三重积分  = + + V I (x y z)dxdydz。 其中 V : 0  x  1, 0  y  1,0  z  1。 4 利用含参变量积分的方法计算下列积分 e dx x  + − − 2 。 5 计算  + + M x dydz y dzdx z dxdy, 3 3 3 其中 M 为上半椭球面 1, 0( , , 0), 2 2 2 2 2 2 + + = z  a b c  c z b y a x 定向取上侧. 三 证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1．若 n 1 及 x  0, y  0, 证明不等式 . 2 2 n n n x y x y       +  +

2.证明∫”关于y在a6(0<a<b<+)上一致收敛,但在(0+)上 非一致收敛 数学分析试题(二年级第一学期)答案 叙述题(每小题10分,共30分) 1.设Ω2为R2上的零边界区域,函数z=f(x,y)在Ω上有界。将Ω用曲线网分成n个 小区域△C21,△2,△n(称为9的一个分划),记△G1为△9的面积,并记所有的 小区域△2的最大直径为。在每个△g上任取一点(5,),若趋于零时,和式 =∑∫(5,n 的极限存在且与区域的分法和点(51,n2)的取法无关,则称f(x)在9上可积,并称此极 限为f(x,y)在有界闭区域上的二重积分,记为 =j(xy)o=m∑/(5,m)M 2.设Ω是R3中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域,函数 P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,x)在Ω上具有连续偏导数。则成立等式 ay a kady==[ Pdyd=+Od=dx+Rdxdy 这里O的定向为外侧 3.设函数v(x)在[a,b]可积且绝对可积,则成立 lim v(x)sin pxdx= lim v(x)cos pxdx=0 二计算题(每小题10分,共50分) 1求球面x2+y2+z2=50与锥面x2+y2=2所截出的曲线的点(3,45)处的切 线与法平面方程。 解设F(x,y,2)=x2+y2+2-50,G(x,y,=)=x2+y2-2。它们在(3,4,5)处的偏导 数和雅可比行列式之值为 aF aF

7 2．证明 dx x xy  + 0 sin 关于 y 在 [a, b](0  a  b  +) 上一致收敛，但在 (0, + ) 上 非一致收敛. 数学分析试题（二年级第一学期）答案 一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分） 1．设  为 2 R 上的零边界区域，函数 z = f (x, y) 在  上有界。将  用曲线网分成 n 个 小区域   n , ,..., 1 2 （称为  的一个分划），记  i 为 i 的面积，并记所有的 小区域 i 的最大直径为  。在每个 i 上任取一点 ( , )  i i ，若  趋于零时，和式 i n i i i I =  f    =1 ( , ) 的极限存在且与区域的分法和点 ( , )  i i 的取法无关，则称 f (x) 在  上可积，并称此极 限为 f (x, y) 在有界闭区域  上的二重积分，记为 i n i i i I f x y d f     = =     = → 1 0 ( , ) lim ( , ) 。 2．设  是 3 R 中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数 P(x, y,z) ，Q(x, y,z) 和 R(x, y,z) 在  上具有连续偏导数。则成立等式     = + +           +   +   dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ， 这里  的定向为外侧。 3．设函数 (x) 在 [a,b] 可积且绝对可积，则成立  = →+ b p a lim (x)sin pxdx lim ( ) cos = 0  →+ b p a  x pxdx 。 二 计算题（每小题 10 分，共 50 分） 1 求球面 50 2 2 2 x + y + z = 与锥面 2 2 2 x + y = z 所截出的曲线的点 (3, 4, 5) 处的切 线与法平面方程。 解 设 ( , , ) 50 2 2 2 F x y z = x + y + z − ， 2 2 2 G(x, y,z) = x + y − z 。它们在 (3, 4, 5) 处的偏导 数和雅可比行列式之值为： = 6,   x F = 8,   y F =10,   z F

和 a(FO=-160,(FG a(F,G) a0,3) a(=,x) 所以曲线在(3,4,5)处的切线方程为 3(x-3)+4(y-4)=0, :5 法平面方程为 4(x-3)+3(y-4)+0(=-5)=0 2求平面z=0,圆柱面x2+y2=2x,锥面z=√x2+y2所围成的曲顶柱体的体积 解其体积=yx2+ya,其中Dx2+y2s2x,设x=r0s9,y=rsmp Dr≤2cosq,-≤q≤。故 coso x+y ddv=2 do dr =32 cos adop 3J2(-sin2p)d sin g ∫gy+d=db(x+y+:)h=C x+ v)2+ 4解:首先,令/=e”,则l=2「e-d,在积分厂e”中,再令 x=m,其中为任意正数,即得/=2c=”ed再对上式两端乘以 e-dhu,然后对从0到+∞积分,得

8 = 6,   x G = 8,   y G = −10,   z G 和 160 ( , ) ( , ) = −   y z F G ， 120 ( , ) ( , ) = −   z x F G ， 0 ( , ) ( , ) =   x y F G 。 所以曲线在 (3, 4, 5) 处的切线方程为： 0 5 120 4 160 3 − = − = − x − y z ， 即    = − + − = 5. 3( 3) 4( 4) 0, z x y 法平面方程为 − 4(x − 3) + 3(y − 4) + 0(z − 5) = 0， 即 4x − 3y = 0。 2 求平面 z = 0 ，圆柱面 x y 2x 2 2 + = ，锥面 2 2 z = x + y 所围成的曲顶柱体的体积。 解 其体积  = + D V x y dxdy 2 2 ，其中 D: x y 2x 2 2 +  。 设 x = r cos, y = rsin 。 2 2 : 2cos ,    D r   −   。故 . 9 32 (1 sin ) sin 3 8 cos 3 8 2 2 2 2 2 3 2 cos 0 2 2 2 2 2 = − = = = + =      − − −             d d V x y dxdy d r d r D 3 解           = + + = + + = + = + + = + + = + + 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 . 2 3 ]| (1 ) 2 ) 2 1 ) [( 2 1 ( ]| 2 ( ) ( ) [( ) dx x dx y dx x y dy x y dy z x y z dxdydz dx dy x y z dz dx x y z V 4 解： 首先，令 I e dx x  + − − = 2 ，则 I e dx x  + − = 0 2 2 ，在积分 e dx x  + − 0 2 中，再令 x = ut ，其中 u 为任意正数，即得 2 . 0 0 2 2 2 I e dx u e dx x u t   + − + − = = 再对上式两端乘以 e du u 2 − ，然后对 u 从 0 到 + 积分，得

注意到积分次序可换,即得 1=4 e-dn 由于1>0.故I=√z 5利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为 x= asin cose,y= bsin cos0,:=cos0≤0≤2x、0≤≤z 易得 a(y,=) bcsin cos a(q,6) ac sin a(q,6) =basin cos a(,6) 因此 x'dyd= +y dex+=dxdy do(abcsincos0bacsin'sin0+cabsin p cos )de 2 rabcla+b+c 三证明题(每小题10分,共20分) 1.证明考虑函数z 在条件x+y=a(a>0,x≥0,y≥0)下的极值问题, F(x,y)=-(x"+y”)+A(x+y-a) 解方程组

9   + − + − = 0 0 2 4 . 2 2 2 I e du ue dt u u t 注意到积分次序可换，即得 . 1 2 4 4 0 2 0 0 (1 ) 0 0 2 2 2 2 2 2 =  + = = =      + + + − + + − + − t dt dt e udu I e du ue dt t u u u t 由于 I  0, 故 I =  . 5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为 . 2 sin cos , sin cos , cos ,0 2 ,0  x = a   y = b   z = c         易得 sin cos , ( , ) ( , ) 2     bc y z =   sin sin , ( , ) ( , ) 2     ac z x =   sin cos , ( , ) ( , ) 2     ba x y =   因此 ( ). 5 2 ( sin cos sin sin sin cos ) 2 2 2 3 5 4 3 / 2 0 2 0 3 5 4 3 3 3 abc a b c d a bc b ac c ab d x dydz y dzdx z dxdy M = + + = + + + +               三 证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1．证明 考虑函数 2 n n x y z + = 在条件 x + y = a (a  0, x  0, y  0) 下的极值问题， 设 ( ) ( ). 2 1 F(x, y) x y x y a n n = + +  + − 解方程组

+A=0 aF n =2y1+=0 :0 a2 可得x=y=.从而 如果x=y=0时,则结论显然成立 2.证明首先证 Sin x) x在a,b]上一致收敛.由于 sm1=1-cos(A1)≤2≤2,A≥0,y∈lanb y a 因而一致有界,而1/x是x的单调减少函数且lm=0,由于1/x与y无关,因此这个极 限关于y是一致的,于是由 Dirichlet判别法知广smx在y∈[a,b上一致收敛 再证「b在(0+∞)上非一致收敛对于正整数n,取y=1/n,这时 3/2nz sin 3/2nr sin x/n 3/2nr dx 3 只要取“03x则对于任意A0,总存在正整数n满足n丌>A,取y=1/n,这时成立 372nr sIn xy dx>-=a 由 Cauchy收敛原理知「 oo sin x dx在(0,+∞)上非一致收敛

10          = + − =   = + =   = + =   − − 0 0 2 0 2 1 1 x y a F y n y F x n x F n n    可得 . 2 a x = y = 从而 . 2 2 2 n n n n x y a x y       +  =       + 如果 x = y = 0 时，则结论显然成立. 2．证明 首先证 dx x xy  + 0 sin 在 [a, b] 上一致收敛. 由于 , 0, [ , ], 1 cos( ) 2 2 sin 0 A y a b y y a Ay xydx A     − =  因而一致有界，而 1/ x 是 x 的单调减少函数且 0, 1 lim = x→+ x 由于 1/ x 与 y 无关，因此这个极 限关于 y 是一致的，于是由 Dirichlet 判别法知 dx x xy  + 0 sin 在 y [a, b] 上一致收敛. 再证 dx x xy  + 0 sin 在 (0, + ) 上非一致收敛. 对于正整数 n ，取 y = 1/ n ，这时 . 3 2 sin 3 sin / 2 sin 3 / 2 3 / 2 3 / 2         =  =    n n n n n n dx n x n dx x x n dx x x y 只要取 , 3 2 0   = 则对于任意 , A0 总存在正整数 n 满足 , n  A0 取 y = 1/ n ，这时成立 . 3 sin 2 0 3 / 2      =  n n dx x xy 由 Chauchy 收敛原理知 dx x xy  + 0 sin 在 (0, + ) 上非一致收敛