ut ed 第六节 极限存在准则与两个重要极限 极限存在的两个准则 两个重要极限 三小结与思考判断题
第六节 极限存在准则与两个重要极限 一 极限存在的两个准则 二 两个重要极限 三 小结与思考判断题
极限存在准则 1.夹逼准则(两边夹定理) 定理如果数列xn,y及zn满足下列条件 (1)yn≤xn≤zn(n=1,2,3…) (2)lim yn =a, lim zn =a n→0 n→0 那未数列xn的极限存在,且 limx=a. 证因为n→>a,zn→a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得 上一页下一页回
1.夹逼准则(两边夹定理） 定理Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, 因为 n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得 一 极限存在准则
当n>N时恒有yn-aN2时恒有zn-aN时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E, <E成立, limx = a n→ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 上一页下一页返回
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, 当n N时, 恒有 a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则|′如果当x∈U2(x)(或x>M)时,有 (1)g(x)≤∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A, x→x0 C-x (x->00) (x→>0) 那末limf(x)存在,且等于 (x→>) 准则Ⅰ和准则厂称为夹逼准则 注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn, 并且yn与z的极限是容易求的 上一页下一页返回
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A . 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 I 和准则 称为夹逼准则. ' I
例1求lm( 十∴十 n→√n2+1√n2+2 √n+n 解 十∴ < n+nn+1 √n2+n√n2+1 又lm =lim n→√n-+n n→0 lim m 由夹逼准则得 n→0 n2+1 n→ 十 um 十 ∴十 )=1. n→√n2+1√n2+2 √n+n 上一页下一页返回
例1 ). 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 n n n n + n + + + + → + 求 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + + + + + + n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → + → 又 = 1, 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → + → = 1, 由夹逼准则得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim( 2 2 2 = + + + + + n→ n + n n n
2.单调有界准则 如果数列x满足条件 x1Sx2…≤x≤xn1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn1≥…,单调减少 准则1单调有界数列必有极限 几何解释: , x.x nn+ AMx 上一页下一页返回
x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列xn满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M
例2证明数列x=、3+、3+√…+√3(m重根 式)的极限存在 证显然xn1>xn,∴{x,}是单调递增的; 又∵x1=√3<3,假定x<3,xk=、3+xk<√3+3<3, x,}是有界的;imxn存在 n→ xm4= 3+xu,x +1=3+xn, limx +1 = lim(3+xn), n→∝ A2=3+A,解得 1+、13 1-、13 2(舍去) 1+√13 m d 2 上一页下一页现回
证 , 显然 xn+1 xn 是单调递增的 ; x n 3 3, 又 x1 = 3, 假定 xk xk+1 = 3 + xk 3 + 3 3, 是有界的; x n lim 存在. n n x → 3 , n 1 n x = + x + 3 , 2 xn+1 = + xn lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x → + → 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去) . 2 1 13 lim + = → n n x ) . 例2 (n 式 的极限存在 证明数列 xn = 3 + 3 + + 3 重根
两个重要极限 B sIn m →0y 设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x<) 作单位圆的切线得△ACO 扇形OAB的圆心角为x,△O4B的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC, 上一页下一页返回
A C 二、两个重要极限 1、 1 sin lim 0 = → x x x x o B D ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x 于是有sin x = BD, x = 弧 AB, tan x = AC, 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD
snd sinx0x 上一页下一页返回
sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x lim(1 cos ) 0, 0 − = → x x limcos 1, 0 = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1 0 = → x x x sin lim
sInx 的图象 利用变量代换可导出压述极限的一般形式 lim Sina(r) =1; a(x)>0a(x) 上一页下一页现回
2 4 6 8 10 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 -8 -6 -4 -2 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 的图象 x sin x 利用变量代换可导出上述极限的一般形式： 1; ( ) sin ( ) lim ( ) 0 = → x x x