ut ed 第八节函数的连续性与间断点 函数的连续性 函数的间断点类型 小结与思考判断题
第八节函数的连续性与间断点 二 函数的间断点类型 一 函数的连续性 三 小结与思考判断题
函数的连续性 1.函数的增量 设函数f(x)在U(x0肭内有定义,Vx∈U(x0), △x=x-x0,称为自变量在点x的增量 y=∫(x)-∫(x),称为函数f(x)相应于△x的增量 y=f(x) y=f(x) △ △ △r △ xn+△xx0 x0+△xx 上一页下一页返回
1.函数的增量 称为自变量在点 的增量. 设函数 在 内有定义, 0 0 0 0 , ( ) ( ) ( ), x x x x f x U x x U x = − y = f (x) − f (x ),称为函数 f (x)相应于x的增量. 0 x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x) 一、函数的连续性
2.连续的定义 定义1设函数f(x)在U2(x)内有定义,如 果当自变量的增量Δ趋向于零时,对应的函 数的增量Δy也趋向于零,即im△y=0或 △→0 imf(x0+△x)-f(x0)=0,那末就称函数 △x→>0 ∫(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 设x=x+△x, 4y=∫(x)-f(x Ax→>0就是x→x0,Ay→0就是f(x)→f(xn) 上一页下一页返回
2.连续的定义 定义 1 设函数 f ( x)在 ( ) U x0 内有定义,如 果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函 数的增量y也趋向于零,即 lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点x0 连续,x0 称为 f (x)的连续点. , 设 x = x0 + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义2设函数f(x)在U(x)内有定义,如果 函数∫(x)当x→x时的极限存在,且等于它在 点x处的函数值f(x),即limf(x)=f(x) 那末就称函数f(x)在点x连续 "E-8"定义 VE>0,3δ>0,使当x-xn<δ时, 恒有f(x)-f(x)<G 上一页下一页返回
定 义 2 设函数 f ( x)在 ( ) 0 U x 内有定义,如 果 函 数 f ( x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点 0 x 处的函数值 ( ) x0 f ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f ( x)在点x0 连续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时
例1试证函数f(x) xsin-,x≠0, 在x=0 0, 处连续 证∵ lim x sin-=0 x→0 又∫(0)=0,lim∫(x)=∫(0 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续 上一页下一页返回
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = = = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →
3单侧连续 定义3若函数f(x)在(a,x内有定义,且f(x-0)=f(x0) 则称f(x)在点x处左连续; 定义4若函数f(x)在x02,b)内有定义,且f(x0+0)=f(x0), 则称f(x)在点x处右连续 定理函数f(x)在x处连续兮是函数f(x)在x 处既左连续又右连续 上一页下一页返回
3.单侧连续 定理 . ( ) ( ) 0 0 处既左连续又右连续 函 数 f x 在 x 处连续 是函数 f x 在 x ( ) ; ( ) ( , ] , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义 且 f x x 定义3 f x a x f x − = f x ( ) . ( ) [ , ) , ( 0) ( ), 0 0 0 0 则称 在点 处右连续 若函数 在 内有定义 且 f x x 定义4 f x x b f x + = f x
「x+2,x≥0 例2讨论函数f(x) 在x=0处的 x-2,x<0 连续性 #f limf (x)=lim(x+2)=2=f(0), limf(x)=lim(x-2)=-2*f(0) x→0 0 右连续但不左连续, 故函数f(x)在点x=0处不连续 上一页下一页返回
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处 的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间a,b内连续,并且在左端点 x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称 函数f(x)在闭区间a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如有理函数在区间(-∞,+∞)内是连续的 上一页下一页返回
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理函数在区间(−,+)内是连续的
例3证明函数y=sinx在区间(-∞o,+∞)内连续 证任取x∈(-0,+∞), △ Ay=sin(x+ Ax)-sin x=2 sin. cos(x+) 2 2)≤1, cos(x+a) ,则Ay52imA 2 对任意的a,当α≠0时,有sima<a, 故Ay≤2sin<Ax,∴当△x→Q时,4y→0 2 即函数y=six对任意x∈(-∞,+0)都是连续的 上一页下一页返回
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的
、函数的间断点及其类型 定义5函数f(x)在点x处连续必须满足的三个条件: (1)f(x)在点x0处有定义; (2)limf(x)存在; x→x 0 (3 )lim f(x)=f(xo). x→x 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称 函数∫(x)在点x处不连续(或间断),并称点x为 f(x)的不连续点(或间断点 上一页下一页返回
二、函数的间断点及其类型 (1) ( ) ; f x 在点x0处有定义 (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 x→x (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = → 的不连续点(或间断点). 函数 在点 处不连续(或间断), 并称点 为 如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称 ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ( ) : 定义5 函 数 f x 在 点x0处连续必须满足的三个条 件