平衡与稳定性模型
平衡与稳定性模型
稳定性模型 对象仍是动态过程,而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势—平衡状 态是否稳定。 不求解微分方程,而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性
稳定性模型 • 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性
稳定性模型 1捕鱼业的持续收获 2军备竞赛 3种群的相互竞争 4种群的相互依存 5种群的弱肉强食
稳定性模型 1 捕鱼业的持续收获 2 军备竞赛 3 种群的相互竞争 4 种群的相互依存 5 种群的弱肉强食
1捕鱼业的持续收获 背景·再生资源(渔业、林业等)与 非再生资源(矿业等) 再生资源应适度开发在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题·在捕捞量稳定的条件下,如何控 及制捕捞使产量最大或效益最佳。 ·如果使捕捞量等于自然増长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定
1 捕鱼业的持续收获 • 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） 背景 • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题 及 分析 • 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定
产量模型x(~渔场鱼量 假设·无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic律 x(t)=f(x)=rx(1-) r固有增长率,N最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex,E~捕捞强度 建模 记F(x)=f(x)-h(x) 渔场鱼量满足(1)=F(x)=x(1-x 捕捞情况下 )-Ex 不需要求解x(),只需知道x()稳定的条件
产量模型 x(t) ~ 渔场鱼量 ( ) ( ) (1 ) Nx x t = f x = rx − 假设 • 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度 建模 记 F(x) = f (x) − h(x) Ex N x 捕捞情况下 x(t) = F ( x) = rx (1 − ) − 渔场鱼量满足 • 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
阶微分方程的平衡点及其稳定性 x=F(x)(1)一阶非线性(自治)方程 F(x)=0的根x微分方程的平衡点元=0→x=S 设x(是方程的解,若从x某邻域的任一初值出发, 都有limx(t)=x,称x是方程1)的稳定平衡点 00 不求x(,判断x稳定性的方法直接法 (1)的近似线性方程=F(x)(x-x)(2) F(x)0→x不稳定(对(2):(1)
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x = F ( x ) ( 1 ) 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 0 0 0 x x x x =x = ⇒ ≡ 设x ( t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发， 都有 lim ( ) , 0 x t x t = → ∞ 称x 0是方程(1) 的稳定平衡点 不求x ( t), 判断x 0稳定性的方法——直接法 ( )( ) ( 2 ) 0 0 (1)的近似线性方程 x = F′ x x − x ( ) 0 ( ( 2), ( 1)) F′ x 0 ⇒ x 0不稳定 对
产量模型(1)=F(x)=rx(1-x)-Ex E F(x)=0 =N(1--),x1=0 平衡点 稳定性判断F(x0)=E-,F(x)=r-E E0x稳定,x不稳定 E>r→F(x)>0,F(x)<0日x不稳定,x稳定 E~捕捞强度 固有增长率 x稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯
Ex N x 产量模型 x(t) = F ( x) = rx (1 − ) − (1 ), 0 0 = − x1 = r E F(x) = 0 x N 平衡点 稳定性判断 F′(x0 ) = E − r, F′(x1) = r − E E 0 x0稳定, x1不稳定 ( ) 0, ( ) 0 E > r ⇒ F′ x0 > F′ x1 < x0不稳定, x1稳定 E~捕捞强度 r~固有增长率 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型在捕捞量稳定的条件下, 图解法 控制捕捞强度使产量最大 -C y=Ex XX f(x)=rx(1-) =h(x=Ex h(x)= ex ff(r) F(x)=0日f与交点P E<r→x稳定 xo=Nn o nX P的横坐标x~平衡点 P的纵坐标h~产量 产量最大P(xn=N/2,hn=rN/4)E=hn1x=r/2 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
产量模型 在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大 图解法 F(x) = f (x) − h(x) ( ) (1 ) Nx f x = rx − h(x) = Ex F(x) =0 P的横坐标 x0~平衡点 / / 2 *0 * E h x r = m = y=rx h ⋅P x0 y 0 y=h(x)=Ex N x y=f(x) P的纵坐标 h~产量 ( / 2, / 4) *0 * 产量最大 P x = N hm = rN f 与h交点P E < r ⇒ x0稳定 hm x0 * =N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞 强度使效益最大 假设·鱼销售价格p·单位捕捞强度费用c 收入T=ph(x)=pEx支出S=CE 单位时间利润R=T-S=pEx-cE 稳定平衡点x=N(1-E/r)L R(E)=T(E-S(E)=pNE(& )-CE 求E使RE最大口E )<E* 2 N 2 渔场 E 鱼量 ×、C PN2
效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大. 假设 • 鱼销售价格p • 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 单位时间利润 R = T − S = pEx − cE cE r E R(E) = T (E) − S (E) = pNE (1 − ) − (1 ) 4 2 2 2 p N rN c hR = − (1 / ) 0 稳定平衡点 x = N − E r 求E使R(E)最大 (1 ) 2 pN r c E R = − p N c 2 2 (1 ) = + rE x N R 渔场 R = − 鱼量 2 * r < E =
捕捞·封闭式捕捞追求利润R(E最大E=5(-C 过度·开放式捕捞只求利润RE)>0 R(E)=T(E)-S(B)=pMB(、E、cE=02.==m) C R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)E、=2ER 临界强度下的渔场鱼量 xs=N(E C Se 个 E.↑x.y T(E ERE 捕捞过度 E
(1 ) 2 pN r c 捕捞 E R = − 过度 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0 (1 ) pNc E r s = − 令 cE =0 rE R(E) = T(E) − S(E) = pNE(1− ) − R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 Es S(E) T(E) 0 r E (1 ) r E x N s s = − p c = ER E* p ↑,c ↓ Es ↑, xs ↓ 捕捞过度