1 试卷号:GJ.0311 南京师范大学考试试卷 《高等几何》,2003级期末考试,2006年1月9日 参考标准答案 题号 二三四五六七总分 得分2051616121516100 一、多种选择题(把代表正确答案的字母圈起来,每小题4分,共20分 1.对于三角形ABC,下述概念中何者为仿射不变的? A.重心;B.外心;C.中位线;D.垂心 (④BD) 2.下列条件中,何者可唯一决定一条非退化二阶曲线r: A.两个成射影对应的线束; B.平面上任意五点(其中无四点共线); C.平面上任意四点(其中无三点共线)及其中一点处的切线; 3 D.∑=0(ai=aji)且ai≠0. (ABOD) =1 3.判别一条非退化二阶曲线是否为有心曲线的依据是. A.A33是否非零; B.与l是否不相切; C.r是否具有渐近线; D.r的任一直径是否存在共轭直径 (4B0D) 4.判别非退化二阶曲线的两条直径l,为共轭直径的依据是 A.一条直径上的无穷远点是另一直径的极点; B.在笛氏直角坐标系下,设l,l的斜率分别为kk,如果满足kk=-1 C.设t,t为r的两条渐近线,如果(,tt)=-1 D.,V为以r的中心为束心的线束中某一对合下的一对对应直线. (B) 5.下列点对 A.(1,0,0)与(1,1,-2) B.(0,1,0)与(4,5,7) C.(1,1,1)与(0,0,1) D.(1,0,1)与(1,2,3) 是关于二阶曲线r:x2+x2+x3-6x1x2+2x1x32x23=0的共轭点.(ABCD)
1 ✂✁☎✄✝✆ GJ.0311 ✞✟✠✡☛☞✌✍✍✎ ✏✒✑✂✓✝✔✂✕✂✖✂✗ 2003 ✘✂✙✂✚✂✛✂✜✗ 2006 ✢ 1 ✣ 9 ✤ ✥✂✦✂✧☎★✝✩✂✪ ✫ ✄ ✬ ✭ ✮ ✯ ✰ ✱ ✲ ✳✝✴ ✵✂✴ 20 5 16 16 12 15 16 100 ✶✂✷✹✸✂✺✂✻✂✼✂✽ (✾✂✿✂❀✂❁✂❂✂❃✂❄✂❅✂❆✂❇❉❈✝❊●❋✗✹❍●■✽ 4 ❏✗✹❑ 20 ❏). 1. ▲✂▼ ✮✝◆✂❖ ABC ✗◗P✝❘✂❙✂❚❱❯❳❲✂❨✂❩✂❬●❭●❪☎❫●❴❉❵ A. ❛✝❜✂❝ B. ❞✂❜✂❝ C. ❯❳❡☎❢ ❝ D. ❣✂❜✂❤ ( A B C D ) 2. P✝✐✂❥✂❦❱❯❳✗✹❲✂❨☎❧✂♠ ✬✝♥●♦☎✬❥❉♣✝q●r ✭✂s❉t ❢ Γ : A. ✉✝✈✂✇❭✂① ▲✂② ❴✂❢✝③❝ B. ④☎⑤✝⑥✂⑦☎⑧✰☎⑨ (⑩ ❯❳❶ ✯✂⑨✝❷ ❢ ) ❝ C. ④☎⑤✝⑥✂⑦☎⑧ ✯✂⑨ (⑩ ❯❳❶ ✮✂⑨✝❷ ❢ ) ❸✂⑩ ❯ ✬✂⑨✝❹ ❴✝❺☎❢ ❝ D. P 3 i,j=1 aijxixj = 0 (aij = aji) ❻ |aij | 6= 0. ( A B C D ) 3. ❼✂❽ ✬❥☎♣✝q✂r ✭✂s☎t ❢❿❾●➀✂❩●➁❜ t ❢✂❴❿➂✂➃●❾❤ A. A33 ❾✂➀☎♣✝➄❝ B. Γ ➅ l∞ ❾✂➀✂❪✂➆✂❺❝ C. Γ ❾✂➀✂➇✂➁✂➈✂➉☎❢ ❝ D. Γ ❴⑦ ✬✝➊✂➋❾✂➀✂➌✂➍❷●➎●➊✂➋ ❤ ( A B C D ) 4. ❼✂❽ ♣✝q✂r ✭✂s☎t ❢ Γ ❴ ✉❥➊✂➋ l, l 0 ❩ ❷✂➎✂➊✂➋ ❴✝➂✂➃✂❾❤ A. ✬❥➊✂➋⑥ ❴✝❶✂➏✂➐ ⑨ ❾✂➑ ✬❿➊✂➋ ❴❿➒ ⑨ ❝ B. ➍✂➓❱➔➊✂◆✂→✧☎➣ P✝✗✹↔ l, l 0 ❴✝↕✂➙✴ ❽ ❩ k, k 0 , ➛✂➜✂➝✂➞ kk 0 = −1; C. ↔ t,t 0 ❩ Γ ❴ ✉❥✂➈✂➉☎❢✝✗ ➛✂➜ (ll 0 ,tt0 ) = −1; D. l, l 0 ❩❱➟ Γ ❴☎❯ ❜ ❩✂③❜ ❴✂❢✝③❱❯❳➠ ✬▲✂➡ P●❴ ✬▲✂▲●② ➊ ❢ ❤ ( A B C D ) 5. P✝✐ ⑨ ▲ A. (1, 0, 0) ➅ (1, 1, −2); C. (1, 1, 1) ➅ (0, 0, 1); B. (0, 1, 0) ➅ (4, 5, 7); D. (1, 0, 1) ➅ (1, 2, 3). ❾☎➢▼ ✭✂s☎t ❢ Γ : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 6x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 0 ❴❷✂➎☎⑨ ❤ ( A B C D )
二、判断题(正确的打“√”,错误的打“ⅹ”,每小题1分,共5分) 1.任一条二阶曲线必有无数多个自极三点形 2.非退化二阶曲线I1关于非退化二阶曲线r的配极象是一条非退化二级曲 线I2 3.“两个三角形的面积比”是仿射几何的讨论内容 4.平面上的任何二维射影变换至少存在一个不变点和一条不变直线,(√) 5.对于二阶曲线I:S≡∑a1=0(=a1),A3为仿射不变量.(x) 基本题(每小题8分,共16分) 1.对于二阶曲线I:S≡ 121=0=0n(y)21简要回答下列问题 (1).叙述二阶曲线的奇异点的概念 (2).判别r有、无奇异点的依据是什么? (3).在什么条件下,r有惟一奇异点,有无穷多的奇异点? (4).如果r有奇异点PP关于r的极线是否惟一存在?为什么? 答:(1).在射影平面上,若点P(n,n四的坐标是方程组∑叫=0(a= n,=1,2,3)的非零解,则称点B为二阶曲线r:S=∑吗1=0a ay,秩(a)≥1的一个奇异点 (2).判别I是否有奇异点的依据是这条二阶曲线是否退化;或者当秩(a1)=3 时,I无奇异点,当秩(an)≤3时,r有奇异点 (3).当秩(a)=2时,有惟一奇异点;当秩(a1)=1时有无穷多的奇异点 (4).不惟一存在,因为平面上任何点、P的极线都经过P,从而任何两点的连 线都是P的极线,故P有无穷多的极线. 注:每答对1小题得2分
2 ➤ ✷✹➥✂➦✂✽ (❁✂❂✂❅✂➧➩➨ √ ➫ ✗✹➭✂➯❅✂➧➩➨ × ➫ ✗✹❍✂■✽ 1 ❏✗✹❑ 5 ❏). 1. ⑦ ✬❥ ✭✂s☎t ❢✝➲✂➁✂❶✂➳●➵ ✈➺➸ ➒ ✮●⑨❿❖❤ (×) 2. ♣✝q✂r ✭✂s☎t ❢ Γ1 ➢▼ ♣✝q✂r ✭✂s☎t ❢ Γ ❴✝➻✂➒✂➼✂❾ ✬❥☎♣✝q✂r ✭❿➽➾t ❢ Γ2. ( √ ) 3. ➨➚✉✝✈✮✝◆✂❖ ❴ ⑤✝➪☎➶➫ ❾●❬✂❭●➹●❲☎❴❿➘●➴❱➷➮➬❤ ( √ ) 4. ④☎⑤✝⑥ ❴⑦❲ ✭✝➱❭✂①☎❫❿✃❉❐✝❒●➌✂➍ ✬✈❪❉❫ ⑨❿❮❉✬❥●❪❉❫ ➊ ❢ ❤ ( √ ) 5. ▲✂▼ ✭✂s☎t ❢ Γ : S ≡ P 3 i,j=1 aijxixj = 0 (aij = aji), A33 ❩✂❬✂❭✂❪☎❫✝❰❤ (×) Ï✷✹Ð✂Ñ✂✽ (❍✂■✽ 8 ❏✗✹❑ 16 ❏). 1. ▲Ò▼ ✭ÒsÓt ❢ Γ : S ≡ P 3 i,j=1 aijxixj = 0, aij = aji ,(aij ) ≥ 1, ÔÒÕÓÖ ✩P×✐❉Ø ✫ ❤ (1). Ù❘ ✭✂s☎t ❢✂❴✝Ú✂Û ⑨ ❴✝❙●❚❤ (2). ❼✂❽ Γ ➁✷ ❶✂Ú✂Û ⑨ ❴✝➂✂➃✂❾●Ü❉Ý☎❵ (3). ➍✂Ü☎Ý✝❥✂❦☎P✝✗ Γ ➁✂Þ ✬Ú✂Û ⑨ ✗✹➁✂❶●➏✂➵❉❴✝Ú●Û ⑨ ❵ (4). ➛✂➜ Γ ➁✂Ú✂Û ⑨ P0, P0 ➢▼ Γ ❴✝➒☎❢✝❾✂➀✂Þ ✬➌✂➍❱❵➮❩✂Ü❉Ý☎❵ ß✆ (1). à●á●â●ã❉ä❿å✗✹æ●ç P0(p 0 1 , p 0 2 , p 0 3 ) è❿é●ê●ë●ì●í●î P 3 j=1 aijxj = 0(aij = aji ,i = 1, 2, 3) èðïòñðó✗◗ôòõðç P0 öò÷ðøúùòû Γ : S ≡ P 3 i,j=1 aijxixj = 0, aij = aji ,ü(aij ) ≥ 1 è✝ý✂þ✂ÿ✁ç ❤ (2). ✂☎✄ Γ ë☎✆☎✝Òÿ☎ç è✟✞☎✠Òë✁✡☞☛ ÷✂øÓù✝ûë✁✆☎✌✁✍✂❝✏✎✁✑☞✒❱ü(aij ) = 3 ✓✗ Γ ✔✂ÿ✁ç✂✗ ✒ ü(aij ) ≤ 3 ✓✗ Γ ✝✂ÿ✁ç ❤ (3). ✒ ü(aij ) = 2 ✓✗ ✝✁✕✂ý✂ÿ✁ç ❝✖✒ ü(aij ) = 1 ✓ ✝✁✔✘✗✁✙✂è✝ÿ✁ç ❤ (4). ✚✛✕✂ý✁✜✂à✂❤✖✢ ö ã❉ä❿å✁✣✕●ç P è✛✤û✁✥✁✦✁✧ P0, ★✁✩✁✣✕✘✪✝ç è✛✫ û✁✥ë P0 è✛✤û ✗✭✬ P0 ✝✁✔✘✗✁✙✂è✛✤û❤ ✮✆✭✯✁✰✁✱ 1 ✲✛✳✁✴ 2 ✵✂❤
2.已知二阶曲线r:S≡x2+n2-2x1x2+2x1x3+2x2x3=0 (1).求直线1[1,-1,0关于r的极点坐标 (2).求点P(1,1,1)关于r的极线方程 解显然r为非退代二阶曲线,所以本题可解 可得1[1,-1,0关于的极点坐标为(1,-1,0) (2).点、P(1,1,1)关于r的极线方程为Sn=0,即 (1,1,1)-111 110 求出极线方程为x1+r2+2x3=0. 注:每1小题4分,可以不列方程直接给出答案,关于非退化验证也可以不 作要求 四、证明题(16分).如图,过不在非退化二阶曲线r上一点T的两直线1分 别与I交于X,Y;A,B,BX×AY=C;AX×BY=D,CD交I于E,F;交l于S.又 R为r上任一点,RF1=P;REl=Q.求证 (1).三点形CDT为r的一个自极三点形 (2).TE,TF分别与相切于E,F (3).在r上有(EF,XY)=-1 (4).S,T;P,Q是点列1上以X,Y为不变点的对合的两对对应点 证明(1).由题意知,AXYB 为r的一个内接完全四点形,而 三点形CDT为其对边三点形,所 以是I的一个自极三点形 (2).由(1),E,F为T关于r的 极线CD与r的交点,所以直线 TE,TF必为T的切线且与r切于 (3).由(1)有(ST,XY)=-1,所以F(ST,XY)=-1,由(2),F(ST,XY)=F(EF,XY), 所以F(EF,XY)=-1,从而在『上有(EF,XY)=-1 (4).由(3)有,(ST,XY)=-1,且在上有(EF,XY)=-1.于是R(EF,XY)=-1 从而(PQ,XY)=-1,所以S,T;PQ是点列l上以X,Y为不变点的对合的两对对应 注:每小题4分
3 2. ✶✸✷ ✭✂s☎t ❢ Γ : S ≡ x 2 1 + x 2 2 − 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 0, (1). ✹➊ ❢ l[1, −1, 0] ➢▼ Γ ❴✝➒ ⑨✝→✧ ❤ (2). ✹ ⑨ P(1, 1, 1) ➢▼ Γ ❴✝➒☎❢✛✺✁✻❤ ✼ ✽✛✾ Γ ö ï✛✌✁✍÷✂ø☎ù✝û✗✭✿❁❀❃❂✳❅❄✂ó●❤ (1). ❆ 1 −1 1 −1 1 1 1 1 0 x1 x2 x3 = 1 −1 0 ❄✁✴ l[1, −1, 0] ❇✛❈ Γ è✛✤çé✂êö (1, −1, 0). (2). ç P(1, 1, 1) ❇✛❈ Γ è✛✤ûì✂í ö Sp = 0, ❉ (1, 1, 1) 1 −1 1 −1 1 1 1 1 0 x1 x2 x3 = 0 ❊●❋ ✤ûì✂í ö x1 + x2 + 2x3 = 0. ✮✆❍✯ 1 ✲✟✳ 4 ✵✗ ❄ ❀ ✚✛■✂ì✂í❅❏✁❑❅▲ ❋ ✰✁▼✗ ❇✛❈❉ï✛✌❅✍✁◆✁❖❅P✁❄ ❀ ✚ ◗✁❘❊ ❤ ❙✷❯❚☞❱×✽ (16 ❏). ➛❳❲ ✗❯❨Ò❪Ò➍Ó♣✝q✂r ✭✂s☎t ❢ Γ ⑥ ✬Ò⑨ T ❴ ✉➊ ❢ l, l 0 ✴ ❽☎➅ Γ ❩✂▼ X, Y ; A, B, BX × AY = C; AX × BY = D, CD ❩ Γ ▼ E, F; ❩ l ▼ S. ❬ R ❩ Γ ⑥✂⑦ ✬✂⑨ ✗ RF × l = P; RE × l = Q. ✹✛❭✆ (1). ✮✂⑨✝❖ CDT ❩ Γ ❴ ✬✈➺➸ ➒ ✮✂⑨✝❖❤ (2). TE, TF ✴ ❽☎➅ Γ ➆✂❺▼ E, F. (3). ➍ Γ ⑥ ➁ (EF, XY ) = −1. (4). S, T; P, Q ❾ ⑨ ✐ l ⑥ ➟ X, Y ❩✂❪☎❫ ⑨ ❴▲✂➡ ❴ ✉✝▲●▲✂② ⑨ ❤ ❪☎❫ (1). ❆✟✳☎❴☎❵✗ AXY B ö Γ è❿ý●þ❁❛❃❑❁❜✭❝❡❞ç✖❢◗✗ ✩ ❣ç☎❢ CDT ö✟❤✱☎✐❣ç❅❢✂✗❥✿ ❀ë Γ è✝ý✂þ●❦✸✤❣ç✁❢❤ (2). ❆ (1), E, F ö T ❇✟❈ Γ è ✤û CD ❧ Γ è❃♠ç●✗✭✿❁❀❏û TE, TF ♥ ö Γ è✛♦û✁♣ ❧ Γ ♦✁❈ E, F. (3). ❆ (1) ✝ (ST, XY ) = −1, ✿q❀ F(ST, XY ) = −1, ❆ (2), F(ST, XY ) = F(EF, XY ), ✿✘❀ F(EF, XY ) = −1, ★✁✩✂à Γ å✁✝ (EF, XY ) = −1. (4). ❆ (3) ✝✗ (ST, XY ) = −1, ♣à Γ år✝ (EF, XY ) = −1. ❈ë R(EF, XY ) = −1, ★☎✩ (PQ, XY ) = −1, ✿☞❀ S, T; P, Q ëç ■ l å ❀ X, Y ö ✚☎sç è✱✁t è ✪✱✁✱✁✉ ç ❤ ✮✆✭✯ ✲✛✳ 4 ✵✂❤
五、证明题(2分)设A,B为关于二阶曲线的共轭点过A任作故割线交 I于Q,R而BQ,BR别交I于S,P.求证A,S,P注点共线 于为的接定四点形B为关 于r的一对共轭点(4分)于是A,A均在B 关于r的极线上"即A,4′同为B关于I的 极线与QR的交点(⑤5分),从而A=A(1分) 作图题(15分).已知非退化二阶曲线r上相异每点A,B,C,D(其中柔注点 共线)以及r在A处的切线a"又直线p过点A且不同于a(如图.求作p与 I的另故个交点E.(要求作图并给出作法和证明.) 解作法.(1).连CD交a于N (2).连BC交p于M (3).连MN,AB交于L. (4).连DL交p于E为所求, 穸证明考察简单六点形 ABC DEA,由作 i ABxDE=L, BCxEA=M, CDxa=N, 而,M,N三点共线据 Pascal定理的逆定 理即简单六点形中有两个相邻顶点重合 的极限形式的定理4.9的逆定理·有 A,B,C,D,E五点在同一条非退化二阶曲线上即在由已知B,C,D及A处的切 线a所癞定的二阶曲线上.注意到E在已知直线p=EA上"故E为所求的点 作法、画图各6分;证明3分
4 ✈✷✇❚☞❱×✽ (12 ❏). ↔ A, B ❩Ó➢▼ ✭Òs❉t ❢ Γ ❴❷Ò➎Ó⑨ ✗✇❨ A ⑦☎① ✬☎② ❢❩ Γ ▼ Q, R ✗✖③ BQ, BR ✴ ❽✁❩ Γ ▼ S, P. ✹✛❭✆ A, S, P ✮✂⑨✝❷ ❢ ❤ ❪☎❫ ④☞⑤ ✗⑦⑥ PS × QR = A0 (2 ✵), ô ❆ ❈ PQRS ö Γ è☎❛✟❑☞❜✟❝☎❞ç✁❢✂✗ B, A 0 ö ❇ ❈ Γ è❿ý✱❅⑧❅⑨ç (4 ✵). ❈●ë A, A0 ⑩ à B ❇❃❈ Γ è❃✤ûå✗ ❉ A, A0 ❶ ö B ❇❃❈ Γ è ✤û ❧ QR è✛♠ç (5 ✵), ★✁✩ A = A0 (1 ✵). ❷✷⑦❸☞❹×✽ (15 ❏). ✶❺✷ ♣×qÒr ✭●s☎t ❢ Γ ⑥➆ÒÛ ✯Ò⑨ A, B, C, D(⑩ ❯ ❶ ✮Ò⑨ ❷ ❢ ) ✗ ➟ ❸ Γ ➍ A ❹ ❴✝❺☎❢ a ✗ ❬ ➊ ❢ p ❨ ⑨ A ❻ ❪✘❻ ▼ a(➛●❲). ✹✛①✆ p ➅ Γ ❴✝➑ ✬✈✁❩ ⑨ E. (Õ✘✹✆ ①●❲✸❼✁❽✘❾✛①❁❿❮ ❭❁➀✝❤ ) ✼ ◗✁➁❤ (1). ✫ CD ♠ a ❈ N. (2). ✫ BC ♠ p ❈ M. (3). ✫ MN, AB ♠✁❈ L. (4). ✫ DL ♠ p ❈ E ö ✿❊ ❤ ❖q➂ ❤ ✛r➃q➄✇➅r➆ç☎❢ ABCDEA, ❆◗ ➁✗ AB×DE = L, BC×EA = M, CD×a = N, ✩ L, M, N ❣ç⑧ û ✗ ✠ Pascal ➇☎➈Óè✟➉☎➇ ➈✗ ❉☎➄✟➅☎➆ç✁❢✘➊ ✝ ✪þ❅➋✁➌❅➍ç✁➎t è✛✤✁➏❢✘➐ è✛➇✁➈ 4.9 è✛➉✁➇✁➈✗ ✝ A, B, C, D, E ➑çà ❶ ý✘☛✂ï✛✌✁✍÷●ø❉ù❿ûå✗ ❉❿à❁❆❁➒➓❵ A, B, C, D ➔ A →☎è✛♦ û a ✿✁➣➇☎è÷✂ø☎ù✝ûå✂❤ ✮ ❴✁↔ E à●➒✸❵✁❏û p = EA å✗❃✬ E ö ✿❊ èç ❤ ✮✆✭◗✁➁✷✖↕ ⑤✛➙ 6 ✵✂❝✭❖✘➂ 3 ✵✂❤
七、计算题(16分).已知二阶曲线r:x+2n3+4x1x2+x1x3=0 (1).证明r是一条双曲线 (2).求r的中心坐标和渐近线方程; (3).求仿射坐标变换式,将I的方程化为仿射标准方程 解(1).T的矩阵为 0 其行列式为-8≠0,所以r为非退化二阶曲线 又因为A33=-4<0,所以为双曲线 (2).中心坐标为(A31,A32,A3)即(0,1,-4).现在来求渐近线方程 法一.以r的中心为束心的线束中,I的直径与共轭直径的对合方程为 (k+k)+1=0 即 0 其不变元素方程为 由上式可得r的两渐近方向的参数分别为k1=∞,k2=-4 因为 2x1+4x2+x3, 将k1,k2依次代入,得到两条渐近线方程分别为 0. 法二.中心的非齐次坐标为(0.-2)而过原点且平行于的渐近方向的两直 线的非齐次方程为 a11x2+2a12xy+a2y2=0. 即 ry=0 是,I的两渐近线的非齐次方程为 x2+4r(y+-)=0, l1
5 ➛✷✭➜✁➝✂✽ (16 ❏). ✶✸✷ ✭✂s☎t ❢ Γ : x 2 1 + 2x 2 3 + 4x1x2 + x1x3 = 0. (1). ❭✘➀ Γ ❾ ✬❥✁➞ t ❢ ❝ (2). ✹ Γ ❴☎❯ ❜ →✧❮ ➈✂➉☎❢✛✺✁✻❝ (3). ✹❬✂❭→✧ ❫✝✃✘➟✝✗✭➠ Γ ❴✛✺✁✻✂r✂❩✂❬✂❭✧☎★✺❅✻❤ ✼ (1). Γ è✛➡✘➢ ö 1 2 1 2 2 0 0 1 2 0 2 , ❤✁➤■ ➐ ö −8 6= 0, ✿✘❀ Γ ö ï✛✌✁✍÷✂ø☎ù✝û❤ ➥ ✢ ö A33 = −4 < 0, ✿✘❀ Γ ö✛➦☎ù✝û❤ (2). ➊✛➧é✂êö (A31, A32, A33) ❉ (0, 1, −4). ➨✂à✁➩❊✁➫✁➭ûì✂í✂❤ ➁ ý✂❤ ❀ Γ è ➊✛➧ ö✛➯➧ èû✁➯ ➊✝✗ Γ è✛❏✁➲✘❧ ⑧✁⑨❏✁➲☎è✱❅tì●í ö 2(k + k 0 ) + 1 = 0, ❉ 2( 1 k + 1 k 0 ) + 1 kk 0 = 0, ❤ ✚✁s✛➳✁➵✂ì✂í ö 1 k 2 + 4 1 k = 0. ❆✝å ➐❄✁✴ Γ è ✪➫✁➭ì✘➸✂è✛➺✁➻✁✵✁✄ ö k1 = ∞, k2 = − 1 4 . ✢ ö ∂S ∂x1 = 2x1 + 4x2 + x3, ∂S ∂x2 = 4x1. ➼ k1, k2 ✞✁➽✁➾✁➚✗ ✴✁↔ ✪ ☛➫❅➭ûì●í❅✵✁✄ ö l1 : x1 = 0, l2 : x1 + 4x2 + x3 = 0. ➁ ÷❤ ➊✛➧ è✂ï✛➪❅➽✂é●êö (0, − 1 4 ), ✩✧✁➶ ç♣ã➤❈ Γ è➫✁➭ì✘➸✂è ✪❏ û è✂ï✛➪✁➽✂ì✂í ö a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 = 0. ❉ x 2 + 4xy = 0. ❈✂ë✗ Γ è ✪➫✁➭û è✂ï✛➪✁➽✂ì●í ö x 2 + 4x(y + 1 4 ) = 0, ❉ l1 : x = 0, l2 : x + 4y + 1 = 0
法三.因为I的渐近线方程为 S+Mx3=0,中入=-a1/4 由(1)可知A=-=-2,代入上式得两渐近线方程 0,l2 (3).(注:不宜选取n1=0上的无远点(0,1,0)作为新的仿射坐标三点线的 顶点、41或A2,因为x1=0是渐近线,为自共轭的分径) 取中心(0,1,-4)为3,因为无远点、(1,0.0)￠I,选取.为41,求出A的极线 方程为2x1+4x2+x3=0,选取.旦无远点(2,-1,0)为A2,并取E'(3,0,-4)为新 的单点,建立仿射坐标,于是仿射坐标。换的。式为 (20 r1 代入I的方程并化简,得I在新的仿射坐标下的方程为 r12-4x 再作一次仅改。单点的仿射坐标。换 I的方程化为 0 两边同除以-1并交换与的置,得到的仿射标准方程为 这是一条双曲线 注:第(1)小题4分,第2,3小题各6分;,中2,中心2分;渐近线4分,求渐 近线的思想占3分;3,新坐标三点线3分,第一。换式1分,第一步化出1分 最终结果1 坐标 平若中心算错,扣中坐2分;以渐近线和标准方程错并不再一错 各扣最一结果1分.若面再错,则无分 第3小题若坐标取错,如以(0,1,0)作为A2,或4,4不在无远分线 仅得
6 ➁❣ ❤✖✢ ö Γ è➫✁➭ûì✂í ö S + λx2 3 = 0, ❤ ➊ λ = −|aij |/A33. ❆ (1) ❄✁❵ λ = − 8 4 = −2, ➾✁➚✂å ➐✴ ✪➫✁➭ûì●í ö x 2 1 + 4x1x2 + x1x3 = 0, ❉ l1 : x1 = 0, l2 : x1 + 4x2 + x3 = 0. (3). (✮✆ ✚❅➹✛➘✁➴ x1 = 0 å☎è✛✔✘✗✛➷ç (0, 1, 0) ◗ ö✛➬ è✛➮✂á◗é●ê❣ ç❅❢ è ➍ç A0 1 ✎ A0 2 , ✢ ö x1 = 0 ë➫✁➭û ✗ ö ❦ ⑧✁⑨ è❃❏✁➲). ➴➊✟➧ (0, 1, −4) ö A0 3 , ✢ ö✔☞✗✟➷ç (1, 0, 0) 6∈ Γ, ➘☎➴❤Óö A0 1 , ❊❳❋ A0 1 è✟✤û ì✂í ö 2x1 + 4x2 + x3 = 0, ➘✁➴❤å✁✔✘✗✭➷ç (2, −1, 0) ö A0 2 , ➱✛➴ E0 (3, 0, −4) ö✛➬ è✛➅✁✃ç✂✗✭❐✁❒➮✂á✂é●ê❰❮ ✗ ❈●ë✁➮●á●é✂ê❁s✛Ï❉è❃➉➐ ö ρ x1 x2 x3 = 1 2 0 0 −1 1 0 0 −4 x 0 1 x 0 2 x 0 3 . ➾✁➚ Γ è✝ì✂í✘➱✛✍✘➄ ✗ ✴ Γ à➬ è✛➮✂á✂é✂ê●❮✸Ð☎è✝ì●í ö x 02 1 − 4x 02 2 + 32x 02 3 = 0. Ñ✁◗ý✁➽✁Ò✁Ó✘s✛➅✁✃ç è✛➮●á✂é●ê❁s✛Ï ρx0 1 = x 00 1 , ρx0 2 = 1 2 x 00 2 , ρx0 3 = 1 4 √ 2 x 00 3 Γ è✝ì✂í✁✍ö x 002 1 − x 002 2 + x 002 3 = 0, ✪✐ ❶✛Ô ❀ −1 ➱✛♠✁Ï x 00 1 ❧ x 00 2 è✛✃✁Õ✗ ✴✁↔ Γ è✛➮✂á✂ê✘Ö✝ì✂í ö x 002 1 − x 002 2 − x 002 3 = 0. ✡✂ë✂ý✘☛➦☎ù✝û❤ ✮✆❥× (1) ✲✟✳ 4 ✵✗ × 2,3 ✲✟✳➙ 6 ✵Ò❝ ❤ ➊ 2, ➊✟➧ 2 ✵Ò❝ ➫☎➭ û 4 ✵✗ ❊☎➫ ➭ û è✟Ø☎Ù✘Ú 3 ✵Ò❝ 3, ➬éÒê❣ç✁❢ 3 ✵✗ × ý☞s✛Ï ➐ 1 ✵✗ × ý☞Û✛✍ ❋ 1 ✵✗ Ü✁Ý✁Þ✁ß 1 ✵✂❤ æ☞➊✟➧☎à☎á☎â❅ã✂✗✸ä✘➊❃➧ 2 ✵Ò❝ ❀✟å ➫☎➭ û✁æê❁Ö✝ì✂í✁çâ✁è➱✁✚ Ñ✁é✁êâ ã✂✗ ➙äÜå Þ✁ß 1 ✵✂❤ æ✁å ä Ñâ✂✗◗ô✔❅✵✂❤ × 3 ✲❃✳æ é●ê❰❮⑦➴â◗✗ìë④ ❀ (0, 1, 0) ◗ ö A0 2 , ✎ A0 1 , A0 2 ✚✹à❅✔❁✗❃➷❅❏û å✗◗ôÒ✁✴ 2 ✵✂❤