§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性 定理21完全四点形的一对定理2.完全四线形的 对边被过此二边交点的对边三对对顶被在此二对顶连线上的 点形的两边调和分离 对顶三线形的二顶点调和分离 如图经过三个对边点XY2Z如图在三条对顶线x,y,z上 各有一个调和直线组,比如各有一个调和点组,比如x ss.tt (SS,TT")=-1 此二定理说明:上述两图中各有三个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 定理2.11 完全四点形的一对 对边被过此二边交点的对边三 点形的两边调和分离. 定理2.11' 完全四线形的一 对对顶被在此二对顶连线上的 对顶三线形的二顶点调和分离. 如图, 经过三个对边点X,Y,Z 各有一个调和直线组, 比如X (ss' ,tt') = −1. 如图, 在三条对顶线x, y, z上 各有一个调和点组, 比如x (SS' ,TT') = −1. 此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组
§22完全四点形与完全四线形的调和性 、调和性 证明定理2.用综合法只要证明 (Ss,tr)=-1 以直线AB截此四直线,得 X(sS, tt)=(AB, PZ) 要证明(AB,PZ1.再以直线CD截此四直线,得 (AB, PZ=(DC, 07) 以点Y分别与上述等式两边的四点相连,据定理2.6可得 (AB, PZ)=(DC, OZ)=(BA, PZ) 也就是(AB,PZ)=(BA,PZ)= (AB, PZ →(AB,PZ)2=1 注意到A,B,PZ四点互异,必有(AB,PZ=1.证毕
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 证明定理2.11 用综合法. 只要证明 (ss' ,tt') = −1. 以直线AB截此四直线，得 X (ss' ,tt') = (AB,PZ). 只要证明(AB, PZ)=–1. (AB,PZ) = (DC,QZ). 以点Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理2.6可得 (AB,PZ) = (DC,QZ ) = (BA,PZ). 也就是 ( , ) 1 ( , ) ( , ) AB PZ AB PZ = BA PZ = ( , ) 1. 2 AB PZ = 注意到A, B, P, Z四点互异，必有(AB, PZ)=–1. 证毕. 再以直线CD截此四直线，得
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性 推论2.8在完全四点形的对推论28通过完全四线形的 边三点形的每条边上,有一个对顶三线形的每个顶点有一个 调和点组,其中一对为对边点,调和直线组,其中一对为对顶 另一对为该边与第三组对边的线,另一对为该顶点与第三对 交点 对顶的连线 比如在边t上,有 比如经过顶点T,有 (XY,PQ)=-1 (xy, pq 此二推论说明:上述两图中又各有三个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 推论2.8 在完全四点形的对 边三点形的每条边上, 有一个 调和点组, 其中一对为对边点, 另一对为该边与第三组对边的 交点. 推论2.8' 通过完全四线形的 对顶三线形的每个顶点有一个 调和直线组, 其中一对为对顶 线，另一对为该顶点与第三对 对顶的连线. (XY,PQ) = −1. 比如经过顶点T, 有 (xy, pq) = −1. 此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组 比如在边t上, 有
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性 推论29在完全四点形的每推论9通过完全四线形的 条边上有一个调和点组,其中每个顶点有一个调和直线组, 对为顶点,另一对中一个为其中一对为边,另一对中, 对边点,一个为该边与对边三条为对顶线,一条为该顶点与 点形的边的交点 对顶三线形顶点的连线 入 比如在边AB上,有 比如经过顶点a×b,有 (AB3PZ)=-1 (ab,pz)=-1 此二推论说明:上述两图中又各有六个调和元素组
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 推论2.9 在完全四点形的每 条边上有一个调和点组, 其中 一对为顶点, 另一对中一个为 对边点, 一个为该边与对边三 点形的边的交点. 推论2.9' 通过完全四线形的 每个顶点有一个调和直线组, 其中一对为边，另一对中, 一 条为对顶线, 一条为该顶点与 对顶三线形顶点的连线. (AB, PZ) = −1. 比如经过顶点a×b, 有 (ab, pz) = −1. 此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组 比如在边AB上, 有
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性二、应用 1、第四调和元素的作图 例1已知直线让上相异三点P1P2P3求作第四调和点P2 分析:利用推论2.8,构造一个完全四点 形,以为其对边三点形的一边,P1,P2是对边 使第三对对边中,一条过P3,则另一条与 的交点即为P4 解作法:(1).在1外任取一点A,连AP1AP2 (2).过P3作直线分别交AP1,AP2于B,D (3)连P1D,P2B交于C (4)连AC交P为所求 证明:(略)据推论2.8(或2.9) 注1述实际上也是利用推论29作图 注2本例引申
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1 , P2 , P3 . 求作第四调和点P4 . 分析：利用推论2.8, 构造一个完全四点 形, 以l为其对边三点形的一边, P1 , P2是对边 点, 使第三对对边中, 一条过P3 , 则另一条与l 的交点即为P4 . 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1 , AP2 . (2). 过P3作直线分别交AP1 , AP2于B, D. (3). 连P1D, P2B交于C. (4). 连AC交l于P4为所求. 证明: (略)据推论2.8(或2.9). 注1 上述实际上也是利用推论2.9作图. 注2 本例引申
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性二、应用 1、第四调和元素的作图 例1已知直线让上相异三点P1P2P3,求作第四调和点P2 注2本例引申 1、给定三点如图,如何作图? 2、给定共点三直线如图,求 作第四调和直线 3、给定共点三直线如图,求 Ip2 P3 作第四调和直线 3P2 注3由上述作图,(P2P2PP1分存在一个完全四点形 以P1,P2为两个对边点,并使P,P4在另一对对边上 注4注3的对偶命题 由上述注3,4,你想到了什么?
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1 , P2 , P3 . 求作第四调和点P4 . 注2 本例引申 1、给定三点如图，如何作图? 2、给定共点三直线如图，求 作第四调和直线. 3、给定共点三直线如图，求 作第四调和直线. 注3 由上述作图，(P1P2 , P3P4 )=–1 存在一个完全四点形, 以P1 , P2为两个对边点, 并使P3 , P4在另一对对边上. 注4 注3的对偶命题. 由上述注3, 4，你想到了什么？
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性二、应用 1、第四调和元素的作图2、几何证明题 例2证明:梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分 上下底 证明:如图,ABCD为梯形,ADBC,E,F 分别为两腰和对角线的交点.EF交AD,BC于 PQ.只要证明P,Q分别是AD,BC的中点 由推1推3∠个一 为BC的中点 据推论2.9,(4D,PG)1,所以P为AD的中点 本例引申 →两个作图题: 1、已知一线段的中点,求作该线段的任一平行线 2、已知一线段及其一条平行线,求作该线段的中点
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例2 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分 上下底. 2、几何证明题 证明：如图, ABCD为梯形, AD//BC, E, F 分别为两腰和对角线的交点. EF交AD, BC于 P,Q. 只要证明P, Q分别是AD, BC的中点. 考察完全四点形EAFD. 设AD×BC=G∞. 由推论2.8, 有(BC, QG∞)=–1, 再据推论2.3, Q 为BC的中点. 据推论2.9, (AD, PG∞)=–1, 所以P为AD的中点. 本例引申 两个作图题： 1、已知一线段的中点, 求作该线段的任一平行线. 2、已知一线段及其一条平行线, 求作该线段的中点
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性二、应用 1、第四调和元素的作图2、几何证明题 例3(P59,EX.3)设A,B,C为完全四线形的三个共线的顶点,点 偶A,B与MC调和共轭.求证:通过A,B的对顶线的交点在M与C 的对顶点的连线上 证明:如图,设C的对顶为D,通过A,B于的 对顶线的交点为P,DP交AB于M用同一法证 MA 明M=M. 由假设据推论29有,(AB,MO)= 由题设有,(AB,MC)1 D 所以,M=M,即P在MD上
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例3 (P.59, Ex. 3)设A, B, C为完全四线形的三个共线的顶点, 点 偶A, B与M, C调和共轭. 求证：通过A, B的对顶线的交点在M与C 的对顶点的连线上. 2、几何证明题 证明：如图,设C的对顶为D, 通过A, B于的 对顶线的交点为P, DP交AB于M'. 用同一法证 明M=M'. 由假设据推论2.9'有, (AB, M'C)=–1. 由题设有, (AB, MC)=–1. 所以, M=M' , 即P在MD上
§2.3一维基本形的射影对应 透视对应(中心射影) 透视中心 定义以下三种对应称为一维基本形的透视对应 1).点列←→线束对应元素是关联的 s(A,B,C,)S(a,b,c2…) 2)点列→点列对应点连线共点 s(A,B.,C,)(Ss(A,B,C",,) (3)线束→线束对应直线交点共线 S(a, b, c,.. S(a', b, c,.) 透视轴 注 1)透视对应是两个一维基本形之间的一个双射,保持任意 四对对应元素的交比不变 (2)连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应 课件作者:南京师大数科院周兴和
§ 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 定义 以下三种对应称为一维基本形的透视对应 (1). 点列↔线束. 对应元素是关联的 s(A, B,C,...) S(a,b,c,...) (2). 点列↔点列. 对应点连线共点 s(A, B,C,...) s'(A' , B' ,C',...) (3). 线束↔线束. 对应直线交点共线 S(a,b,c,...) S'(a' ,b' ,c',...) (s) 透视中心 透视轴 注 (1). 透视对应是两个一维基本形之间的一个双射, 保持任意 四对对应元素的交比不变. (2). 连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应 . (S) 课件作者：南京师大数科院周兴和
§2.3一维基本形的射影对应 透视对应(中心射影) 维射影对应的综合法定义 1. Poncelet定义 设[],[]为两个一维基本形.若存在n个一维基本形[x (=1,2,,n),使得 n]天[x1]x…x[zn][z 则称由此决定的[x到[]的对应为一个射影对应,记作[x]x[z 注1.显然入所以透视对应是射影对应的特例 注2.为一个保交比的双射 注3.有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应 2. Steiner定义 如果两个一维基本形之间的一个对应:[z]→[]满足 (1)g为一个双射 (2)g使得任意四对对应元素的交比相等, 则称为[z到的一个射影对应记作z]x[]
§ 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 1. Poncelet定义 设[π], [π']为两个一维基本形. 若存在n个一维基本形[πi ] (i=1,2,…,n), 使得 [ ] [ ] 1 … [ ] n [ '] 则称由此决定的[π]到[π']的对应为一个射影对应, 记作 [ ] [ ']. 注1. 显然 注2. 为一个保交比的双射. 注3. 有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应. 2. Steiner定义 如果两个一维基本形之间的一个对应 :[ ]→[ '] 满足 (1). φ为一个双射； (2). φ使得任意四对对应元素的交比相等, 则称φ为[π]到[π']的一个射影对应, 记作 [ ] [ ']. 所以透视对应是射影对应的特例