§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 三、应用 1作图版一作二阶曲线上的点 作切线 2.证明题证明共线点,共点线问题
三、应用 1. 作图题 作二阶曲线上的点 作切线 § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 2. 证明题 证明共线点, 共点线问题
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 例3.如图,设 ABCDEF是一条二次曲线的 内接六点形,且 ABXCD=P, CDXEF=Q DE×AF=L,AF×BC=M,BC×DE=N, EFXAB=R求证:PL,MQ,RN共点 证明考察简单六点形 ABCDEF,利用 Pascal定理,再利用 Desargues定理即得结论 例4.若两个三点形ABC和ABC的对应顶 点连线交于一点S(如图),且其中一个三点形 的边与另一个三点形的非对应边交于 D,E,FG,H六个点,证明此六点在同一条 二次曲线上 证明应用 Desargues定理于ABC和A'BC", 再考察简单六点形 DEFGH,利用 Pascal定 理的逆定理,即得结论
例3. 如图, 设ABCDEF是一条二次曲线的 内接六点形, 且 AB×CD=P, CD×EF=Q, DE ×AF=L, AF×BC=M, BC×DE=N, EF×AB=R.求证: PL,MQ,RN共点. 证明. 考察简单六点形ABCDEF, 利用 Pascal定理, 再利用Desargues定理即得结论. 例4. 若两个三点形ABC和A'B'C'的对应顶 点连线交于一点S(如图), 且其中一个三点形 的边与另一个三点形的非对应边交于 D,E,F,G,H,I六个点，证明此六点在同一条 二次曲线上. 证明. 应用Desargues定理于ABC和A'B'C', 再考察简单六点形DEFGHI, 利用Pascal定 理的逆定理, 即得结论. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 例5.如图,三点形ABC内接于二阶曲线T, 其每一顶点处的切线构成另一个三点形 ABC.求证:AA',B’,CC共点 证明.由利用 Pascal定理的极限情况定理 4.12知,三点形ABC与B℃的对应边交点c 共线,据 Desargues透视定理得结论 例6.如上题图及条件 求证:A(BCAC)=B(AC,BA)=C(CACB)=-1. 提示:利用上例结论以及完全四点形的调和性(思考) 例7.(P116,EX6)设ABC,D为二阶曲线厂 上四个定点,P,Q为上的动点. PAXDC=X, PBXOD=Y求证X过定点 做不出!必定题目有问题! 改正:将 PAXDC=X改为PA×QC= 考察六点形 APBCOD,由 Pascal定理,Y经过定点AD×BC
例5. 如图, 三点形ABC内接于二阶曲线, 其每一顶点处的切线构成另一个三点形 A'B'C'. 求证：AA', BB', CC'共点. 证明. 由利用Pascal定理的极限情况定理 4.12知, 三点形ABC与A'B'C'的对应边交点 共线, 据Desargues透视定理得结论. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 例6. 如上题图及条件. 求证：A(BC,A'C') = B(AC,B'A') = C(CA,C'B') = -1. 提示：利用上例结论以及完全四点形的调和性(思考). 例7. (P.116, Ex.6)设A,B,C,D为二阶曲线 上四个定点, P,Q为上的动点. PA×DC=X, PB×QD=Y. 求证XY过定点. 做不出！必定题目有问题！ 改正： 将PA×DC=X 改为 PA×QC=X. 考察六点形APBCQD, 由Pascal定理, XY经过定点AD×BC
§4.3配极变换 在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均 与配极有关.只讨论二阶曲线,总假定:非退化 设 S≡∑axx=0a1=a1an≠0 i,j=1 极点与极线1.引入 定义46两点P,Q关于共轭(如图) Q 定理4.13点P关于的共轭点的轨迹为 条直线Sn=0 P 证明设P(p)Qq则PQ与:S0的交点M(p+4q)满足 S.x2+2S.2+S=0 pp 设其两根为1,2则交点为M(P+21q1),G=1,2)于是(PQ,M1M2) 1分A142-1A1+2=0分 2四=0分S四 将q改为流动坐标x,得P关于r的共轭点的轨迹为直线S2=0
§ 4.3 配极变换 一、极点与极线 在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均 与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化. 设 : 0 ,| | 0. (1) 3 , 1 = = = i j j i i j i j S ai jxi xj a a a 1. 引入 定义4.6 两点P, Q关于共轭. (如图) 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一 条直线Sp=0. 证明 设P(pi ), Q(qi ). 则PQ与 : S=0的交点M(pi+qi )满足 2 0. 2 Sqq + Spq + Spp = 设其两根为1 , 2 . 则交点为Mj ( pi+ jqi ), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2 )=– 1 1 / 2 =–1 1+ 2=0 − 2 = 0 = 0. pq qq pq S S S 将qi改为流动坐标xi , 得P关于的共轭点的轨迹为直线Sp=0
§4.3配极变换 极点与极线 1.引入 定理4.13点P关于T的共轭点的轨迹为一条直线S=0 推论45两点PQ关于共轭兮Sm=0.即 12 13 (n3P2,P3)a12a2a23q 13 3八q3 注1.验证两点PQ关于共轭,只要验证上式 注2.P在r上,则Sn=0,由推论45,规定:T上的点关于r自共轭 2.极点与极线 定义47对于点P,若 PEr P∈I 则称P关于T的 共轭点轨迹p 切线p 为P关于r的极线,方程为S=0.反之,称P为直线p关于的极点 注.由定义4.7及推论45,有 定义46∵:相互在对方极线上的两点称为关于的共轭点
§ 4.3 配极变换 一、极点与极线 1. 引入 定理4.13 点P关于的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 推论4.5 两点P, Q关于共轭Spq=0. 即 注2. P在上, 则Spp=0, 由推论4.5, 规定：上的点关于自共轭. 注1. 验证两点P, Q关于共轭, 只要验证上式. ( , , ) 0. 3 2 1 13 23 33 12 22 23 11 12 13 1 2 3 = q q q a a a a a a a a a p p p 2. 极点与极线 定义4.7 对于点P, 若 P 则称P关于的 共轭点轨迹p P 切线p 为P关于的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于的极点. 注. 由定义4.7及推论4.5, 有 定义4.6': 相互在对方极线上的两点称为关于的共轭点
§4.3配极变换 极点与极线 2.极点与极线 推论46平面上任一点P关于r的极线存在唯一,方程为S=0.反 之,平面上任一直线p关于r的极点存在唯 证明只要证后半.设直线u:1x+2x2+43x3=0,求l关于的极点 设P(p)为其一个极点,由于P(P)的极线唯一存在为S=0,从而n与 =0为同一直线,即 aS aS aS 2(≠0 aS P1p≠0,=1,2,3
§ 4.3 配极变换 一、极点与极线 推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反 之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于的极点. 设P(pi )为其一个极点, 由于P(pi )的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与 Sp=0为同一直线, 即 2. 极点与极线 ( 0) 3 3 2 2 1 1 = = = u x S u x S u x S p p p 即 = 0, =1,2,3. u i x S i i p
§4.3配极变换 极点与极线 2.极点与极线 推论46平面上任一点P关于r的极线存在唯一,方程为S=0.反 之,平面上任一直线p关于r的极点存在唯 展开上式,得 u1 11 12 u. 2 22 (4.17) 23 p 因为0,故(4.17对于(p1P23)有唯一解,即n的板点P唯一存在 (417)表示直线u与它的极点P之间的关系,称为极点方程组
§ 4.3 配极变换 一、极点与极线 推论4.6 平面上任一点P关于的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反 之, 平面上任一直线p关于的极点存在唯一. 展开上式, 得 . (4.17) 3 2 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 2 1 = p p p a a a a a a a a a u u u 因为|aij|≠0, 故(4.17)对于(p1 ,p2 ,p3 )有唯一解, 即u的极点P唯一存在. (4.17)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组. 2. 极点与极线
§4.3配极变换 、极点与极线 根据推论4.5,可以对偶地给出下列定义 定义48相互通过对方极点的直线称为关于的共轭直线 注利用 Maclaurin定理及对偶原则,有:两直线ppl,qq关于 I:S=0共轭兮T=0分 2 (P1,P2P3)42A2A2q2|=0 (4.19) 33 3.极点与极线的计算 (1).已知P(p),求极线,直接求S2=0 (2).已知4l求极点,将[v代入(4.7,解出(p)(注:在实际 计算时,可取p=1,见教材,例411) 注:(4.17)是一个非奇异线性变换,是由r:S-0通过关于它的 极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射
§ 4.3 配极变换 一、极点与极线 3. 极点与极线的计算 (1). 已知P(pi ), 求极线, 直接求Sp=0. (2). 已知u[ui ], 求极点, 将[ui ]代入(4.17), 解出(pi ). (注：在实际 计算时, 可取=1, 见教材, 例4.11) 注：(4.17)是一个非奇异线性变换, 是由 : S=0通过关于它的 极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射. 定义4.8 相互通过对方极点的直线称为关于的共轭直线. 注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线p[pi ], q[qi ]关于 : S=0共轭Tpq=0 ( , , ) 0. (4.19) 3 2 1 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 2 3 = q q q A A A A A A A A A p p p 根据推论4.5, 可以对偶地给出下列定义
§4.3配极变换 二、配极变换 1.配极变换 定义4.9称由 ∑ i=1,2,3,an1=an2|an≠0 (4.18) 决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线r:S=0 的配极变换 注1.(4.18表示点x与直线u是关于r:S=0的极点极线关系.另 种写法为 1=a1x1+a12x2+a13x3 P2=a12x1+a2x2+a23x3|an≠0,p≠0(418 2=a13x1+a23x2+a3x3 注2.任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换 注3.配极变换是异素变换,是一个双射
§ 4.3 配极变换 二、配极变换 1. 配极变换 定义4.9 称由 1,2,3, ,| | 0. (4.18) 3 1 = = = = i j j i i j j ui ai jxj i a a a 决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 : S=0 的配极变换. 注2. 任一非退化二阶曲线都决定了平面上的一个配极变换. 注3. 配极变换是异素变换, 是一个双射. | | 0, 0 (4.18) 3 1 3 1 2 3 2 3 3 3 2 1 2 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 = + + = + + = + + ai j u a x a x a x u a x a x a x u a x a x a x 注1. (4.18)表示点x与直线u是关于 : S=0的极点极线关系. 另 一种写法为
§4.3配极变换 二、配极变换 1.配极变换 定理44配极原则点P关于r定理44配极原则)直线p关 的极线p通过点Q兮点Q关于r的于r的极点P在直线q上兮直线q 极线q通过点P 关于T的极点Q在直线p上 注.本定理给出了配极变换的最基本的几何性质 证明(左边)设r:S-0,P(p),Q(q)则P的极线S=0过点Q =0分Sm=0分Q的极线S过点P 对偶地,可得右边
§ 4.3 配极变换 二、配极变换 1. 配极变换 注. 本定理给出了配极变换的最基本的几何性质. 定理4.14(配极原则)点P关于 的极线p通过点Q点Q关于的 极线q通过点P. 定理4.14'(配极原则) 直线p关 于的极点P在直线q上直线q 关于的极点Q在直线p上. 证明. (左边)设 : S=0, P(pi ), Q(qi ). 则P的极线Sp= 0 过点Q Spq= 0 Sqp= 0 Q的极线Sq过点P. 对偶地, 可得右边