第0章几何变换概论 、对应与变换 、正交变换 注:以几何变换的观点看待欧氏几何.欧氏几何就是研究在正 交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质,即所有与距 离有关的几何量和几何性质
一、对应与变换 第0章 几何变换概论 二、正交变换 注：以几何变换的观点看待欧氏几何. 欧氏几何就是研究在正 交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质, 即所有与距 离有关的几何量和几何性质
第0章几何变换概论 、仿射变换 1.透视仿射变换 定义0.14.对于空间中两平面 兀,x,给定一个与两平面不平行的投 射方向,则确定了π到x的一个透视 仿射对应(平行投影) 上任一点P在x上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与的 交点P 注1:透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射 透视仿射对应使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线; 透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两 平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变 注2:两平面交线称为透视仿射的轴.若/z则没有轴
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 1. 透视仿射变换 定义0.14. 对于空间中两平面 π,π', 给定一个与两平面不平行的投 射方向, 则确定了π到π'的一个透视 仿射对应(平行投影). π上任一点P在π'上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与π'的 交点P'. 注2：两平面交线称为透视仿射的轴. 若π//π'则没有轴. 注1：透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射. 透视仿射对应使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两 平行线段的比值不变, 但是不能保持距离不变
第0章几何变换概论 、仿射变换 1.透视仿射变换 定义0.14.对于空间中两平面 兀,x,如果一个双射使得对应点的连 线相互平行,则称之为到的一个 B 透视仿射对应(平行投影) 定义0.15.在平面兀上,使得对应 点的连线相互平行的点对应称为兀 上的一个透视仿射变换 注1:透视仿射变换是平面上的一个双射 透视仿射变换使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线; 透视仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两 平行线段的比值不变,但是不能保持距离不变 注2:平面上两个透视仿射变换的积未必还是透视仿射变换
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 1. 透视仿射变换 定义0.14'. 对于空间中两平面 π,π', 如果一个双射使得对应点的连 线相互平行, 则称之为π到π'的一个 透视仿射对应(平行投影). 注1：透视仿射变换是平面上的一个双射. 透视仿射变换使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两 平行线段的比值不变, 但是不能保持距离不变. 定义0.15. 在平面π上, 使得对应 点的连线相互平行的点对应称为π 上的一个透视仿射变换. 注2：平面上两个透视仿射变换的积未必还是透视仿射变换
第0章几何变换概论 、仿射变换 2.仿射变换 定义0.16.对于空间中一组平面兀,兀1,丌2,…,n2,设以下对应 均为透视仿射对应: 0:丌→>丌1,q1:丌1-)兀2 qn:丌n-丌 则称这n个透视仿射的积p为到的一个仿射对应若x′=x,则称 为平面x上的一个仿射变换 注:仿射变换是平面上的一个双射 仿射变换使共线点变为共线点,不共线点变为不共线点,平行 直线变为平行直线; 仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变,从而保持两平行 线段的比值不变,但是不能保持距离不变 定理0.14(i)平面上两个仿射变换的积是一个仿射变换 (i).平面上的恒同变换是一个仿射变换; (i).任一个仿射变换的逆变换是一个仿射变换
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 2. 仿射变换 定义0.16. 对于空间中一组平面π, π1 , π2 , …, π n , π' , 设以下对应 均为透视仿射对应： : , : , ..., : ' 0 →1 1 1 → 2 n n → 则称这n个透视仿射的积φ为π到π'的一个仿射对应. 若π' =π, 则称φ 为平面π上的一个仿射变换. 注：仿射变换是平面上的一个双射. 仿射变换使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行 直线变为平行直线； 仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两平行 线段的比值不变, 但是不能保持距离不变. 定理0.14 (i). 平面上两个仿射变换的积是一个仿射变换； (ii). 平面上的恒同变换是一个仿射变换； (iii). 任一个仿射变换的逆变换是一个仿射变换
第0章几何变换概论 、仿射变换 2.仿射变换 定义0.17.设P1,P2,P为平面上共线三点,记(P1P2P)表示这三点 构成的一个简单比(单比,仿射比,定义为 PP (PPP) (0.6) PP 注:(P1P2P)表示一个数,是有向线段P1P与P2P的比值,与解几 中的定比分点反号 定理0.15仿射变换保持共线三点的简单比不变 定义0.17.设为平面x上的一个双射,满足 (i).@使得平行直线变为平行直线 (i).g保持共线三点的简单比不变 则称o为平面上的一个仿射变换
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 2. 仿射变换 定义0.17. 设P1 , P2 , P为平面上共线三点, 记(P1P2P)表示这三点 构成的一个简单比(单比, 仿射比), 定义为 ( ) . (0.6) 2 1 1 2 P P PP PP P = 注： (P1P2P)表示一个数, 是有向线段P1P与P2P的比值, 与解几 中的定比分点反号. 定理0.15 仿射变换保持共线三点的简单比不变. 定义0.17'. 设φ为平面π上的一个双射, 满足 (i). φ使得平行直线变为平行直线; (ii). φ保持共线三点的简单比不变 则称φ为平面上π的一个仿射变换
第0章几何变换概论 、仿射变换 3.仿射坐标系 定义0.18.设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关 向量ex2p则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架),记 作O-∈平面上任一点P的仿射坐标(x,y)由下式惟一确定, OP =(PE,O) OP=xex t yey (0.7 OE OP (0.7) OE(PE, O P(x, y) 反之,对任意给定的有序实数组(x,y),由 07式可惟一确定仿射平面上的一个点具 有坐标(x,y)建立了仿射坐标系的平面称 为仿射平面,e,e,称为基向量 注:若e3e为单位正交向量(即为标准正交基),则Oee1成为 笛卡儿直角坐标系
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 3. 仿射坐标系 定义0.18. 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关 向量ex , ey , 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记 作O-exey . 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式惟一确定, . (0.7) OP xe ye = + x y 反之, 对任意给定的有序实数组(x, y), 由 (0.7)式可惟一确定仿射平面上的一个点具 有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面称 为仿射平面, ex , ey称为基向量. 注：若ex , ey为单位正交向量(即为标准正交基), 则O-exey成为 笛卡儿直角坐标系. ( ) (0.7') ( ) x x x x y y y y OP x P E O OE OP y P E O OE = = = =
第0章几何变换概论 、仿射变换 3.仿射坐标系 定理016.设在平面上取定了一个仿射坐标系Oe1e29为平面 上的一个仿射变换兮p有表达式 x=a1x+a12y+a,3 X 或 2 ly'=a2I*+a22y+a23 孓\x 13 (0.8 y 其中(x,y)与(x,y为任一对对应点P,P的坐标矩阵(41a2 满足A10,称为仿射变换的矩阵 22 注:由定理0.14,平面上的全体仿射变换构成一个群A,称为平 面上的仿射变换群 平面仿射几何就是研究在仿射变换群4的作用下保持不变的几 何性质与几何量由定义0.17,这些不变的性质和数量必定只与平 行性、共线三点的简单比有关
第0章 几何变换概论 三、仿射变换 3. 仿射坐标系 定理0.16. 设在平面上取定了一个仿射坐标系O-exey , φ为平面 上的一个仿射变换φ有表达式 注：由定理0.14, 平面上的全体仿射变换构成一个群A, 称为平 面上的仿射变换群. 11 12 13 13 11 12 21 22 23 23 21 22 ' . (0.8) ' ' x a x a y a a x' x a a y a x a y a a y y a a = + + = + = + + 或 其中(x, y)与(x', y')为任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵 11 12 21 22 a a A a a = 满足|A|≠0, 称为仿射变换φ的矩阵. 平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的几 何性质与几何量. 由定义0.17', 这些不变的性质和数量必定只与平 行性、共线三点的简单比有关
第0章几何变换概论 四、体会归纳 1.关系、对应、双射、变换 2.基本的几何变换实例 正交变换 相似变换 仿射变换 3.上述几何变换的三种定义方法
第0章 几何变换概论 四、体会归纳 1. 关系、对应、双射、变换 2. 基本的几何变换实例 正交变换 相似变换 仿射变换 3. 上述几何变换的三种定义方法
第0章几何变换概论 四、体会归纳 3.上述几何变换的三种定义方法 正交变换 (1).直观的定义 平面上有限次平移、旋转、轴反射的乘积 (2).利用几何特征性质的定义 平面上保持两点间距离不变的点变换 (3)代数(解析)的定义 在平面上取定直角坐标系,如下点变换为正交变换 X 2为正交矩阵 2 22
第0章 几何变换概论 四、体会归纳 3. 上述几何变换的三种定义方法 正交变换 (1). 直观的定义 平面上有限次平移、旋转、轴反射的乘积. (2). 利用几何特征性质的定义 平面上保持两点间距离不变的点变换. (3). 代数(解析)的定义 在平面上取定直角坐标系, 如下点变换为正交变换 11 12 11 12 13 21 22 21 22 23 ' . ' x x a a a a a y y a a a a a = + ， 为正交矩阵
第0章几何变换概论 四、体会归纳 3.上述几何变换的三种定义方法 相似变换 (1).直观的定义 平面上的位似变换与正交变换的乘积 (2).利用几何特征性质的定义 平面上保持两线段的比值不变的点变换 (3)代数(解析)的定义 在平面上取定直角坐标系,如下点变换为相似变换 (/kan1a12(x/a,k=0(a1a2为正交矩阵
第0章 几何变换概论 四、体会归纳 3. 上述几何变换的三种定义方法 相似变换 (1). 直观的定义 平面上的位似变换与正交变换的乘积. (2). 利用几何特征性质的定义 平面上保持两线段的比值不变的点变换. (3). 代数(解析)的定义 在平面上取定直角坐标系, 如下点变换为相似变换 11 12 11 12 13 21 22 21 22 23 ' 0, . ' x x a a a a a k k y y a a a a a = + ， 为正交矩阵