人民邮电出版社：高等学校21世纪教材《离散数学》电子教案（PPT课件）第四章 关系

2世纪教材 第四章关系 4.1二元关系 4.2关秀运算 4.3关系类型 PT PRESS 人民邮电出版社 退出

第四章 关 系 4.1 二元关系 4.2 关系运算 4.3 关系类型 退出

学校2纪教材 41二元关系 二元关系,这里是指集合中两个元素之间 的关系。 1.基本概念 定义4.1.1给定任意集合A和B,若RAxB 则称从A硝二元关系,特别在在硎时,称R 为A上的二元关系。 PT PRESS 人民邮电出版社

4.1 二元关系 二元关系，这里是指集合中两个元素之间 的关系。 1．基本概念 定义4.1.1 给定任意集合A和B，若RAB， 则称R为从A到B的二元关系，特别在A=B时，称R 为A上的二元关系

2世纪教材 可见,R是有序对的集合。若<xy∈R,则 也表为xy,即<x,y∈R→xB 若R⑦,则称倒到B空关系;若RAxB, 称乃为A到B上全域关系。特别当在耐时,称必为A 上空关系,称RA为A上的全域关系。称 R{x,xx∈丹为A上的恒等关系,记为Io PT PRESS 人民邮电出版社

可见，R是有序对的集合。若R，则 也表为xRy，即RxRy。 若R=，则称R为A到B上空关系；若R=AB， 称R为A到B上全域关系。特别当A=B时，称为A 上空关系，称R=AA为A上的全域关系。称 R={|xA}为A上的恒等关系，记为IA

2世纪教材 12 类似地可定义m元关系。若Ssx1,则称S 为1上的n元关系。特别A1=A2=……=A时,称 S为A上的n元关系。 PT PRESS 人民邮电出版社

类似地可定义n元关系。若S  Ai，则称S 为 Ai上的n元关系。特别A1=A2=···=An时，称 S为A上的n元关系

2世纪教材 定义4.1.2令 RcAxB,且 D(R=rEvery) R(R)={|(x)(xRy)} F(R=D(R+R(R) 则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R 的定义域、值域和域。 显然D(R)c4,R(RcB PT PRESS 人民邮电出版社

定义4.1.2 令RAB，且 D(R)={x|(y)(xRy)} R(R)={y|(x)(xRy)} F(R)=D(R)+R(R) 则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R 的定义域、值域和域。 显然D(R)A，R(R)B

2世纪教材 由于关系是有序对的集合,对它可进 行集合运算,其结果也是有序对的集合, 即也是某一种二元关系。令所S是两个 元关系,则RUS,R∩S,RS,RS和R 都分别定义了某一种二元关系,并且可表 成 x(烈USK> xRyxSy x(P∩SK台→ rRyAXSy x(RS, yexRyAXSy x(ROS)yexRy0xSy xy→xBy PT PRESS 人民邮电出版社

由于关系是有序对的集合，对它可进 行集合运算，其结果也是有序对的集合， 即也是某一种二元关系。令R和S是两个二 元关系，则R∪S，R∩S，R-S，RS和R’ 都分别定义了某一种二元关系，并且可表 成： x(R∪S)yxRyxSy x(R∩S)yxRyxSy x(R-S)yxRyxSy x(RS)yxRyxSy xR ’yxRy

2世纪教材 2.关系矩阵与关系图 表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时 ,矩阵和有向图都是得力的工具。 定义41.3给集合A={ m}和 B={b1,b2,…bn},且R4xB,若 1 a: Rb 0否则 则称矩阵M=(ri)mxn为R的关系矩阵 PT PRESS 人民邮电出版社

2．关系矩阵与关系图 表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时 ，矩阵和有向图都是得力的工具。 定义4.1.3 给集合A={a1 ,a2 ,···,am}和 B={b1 ,b2 ,···,bn }，且RAB，若 1 aiRbj rij= 0 否则 则称矩阵MR=(rij)mn为R的关系矩阵。 

学校2纪教材 当给定关系R,可求出关系矩阵MR;反之, 若给出关系矩阵MR,也能求出关系R 集合A上的二元关系R也可用有向图表示。 具体方法是:用小圆圈“o”表示A中的元素 小圆圈称为图的结点。把对应于元素a和a的结 点,分别标记和若2>∈R,则用弧 线段或直线段把a和a连接起来,并在弧线或直 线上设置一箭头,使之由G指向a;若∈R,则在结点a上画一条带箭示的自封闭曲 线或有向环,称这样的弧线或封闭曲线为弧或 有向环。这样得到的有向图叫做关系R的 图示,简称关系图,记为GF。 PT PRESS 人民邮电出版社

当给定关系R，可求出关系矩阵MR；反之， 若给出关系矩阵MR，也能求出关系R。 集合A上的二元关系R也可用有向图表示。 具体方法是：用小圆圈“”表示A中的元素， 小圆圈称为图的结点。把对应于元素ai和aj的结 点，分别标记ai和aj。。若R，则用弧 线段或直线段把ai和aj连接起来，并在弧线或直 线上设置一箭头 ，使之由 ai指 向aj； 若 R，则在结点ai上画一条带箭示的自封闭曲 线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或 有向环。这样得到的有向图叫做关系R的 图示，简称关系图，记为GR

学校2世纪教材 3.关系的性质 关系的性质是指集合中二元关系的性质 这些性质扮演着重要角色,下面将定义这些性 质,并给出它的关系矩阵和关系图的特点。 定义4.1.4令Rc4xA,若对A中每个x,都 有xRx,则称R是自反的,即 A上关系R是自反的分<Vx)(x∈A-xRx) 该定义表明了,在自反的关系R中,除其 他有序对外,必须包括有全部由每个x∈A所组 成的元素相同的有序对。 PT PRESS 人民邮电出版社

3．关系的性质 关系的性质是指集合中二元关系的性质， 这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性 质，并给出它的关系矩阵和关系图的特点。 定义4.1.4 令RAA，若对A中每个x，都 有xRx，则称R是自反的，即 A上关系R是自反的<x)(xA→xRx) 该定义表明了，在自反的关系R中，除其 他有序对外，必须包括有全部由每个xA所组 成的元素相同的有序对

2世纪教材 在全集U中所有子集的集合中,包含关系c 是自反的,相等关系=也是自反的;但是,真包 含关系c不是自反的。整数集合Z中,关系≤是 自反的,而关系<不是自反的。 PT PRESS 人民邮电出版社

在全集U中所有子集的集合中，包含关系 是自反的，相等关系=也是自反的；但是，真包 含关系不是自反的。整数集合Z中，关系≤是 自反的，而关系<不是自反的