26维随机向量及分布
2.6 n维随机向量及分布
在本节中,我们重点讨论二维随机变量,三 维或更多维的随机变量的许多概念和结论是二维 随机变量的推广
在本节中，我们重点讨论二维随机变量，三 维或更多维的随机变量的许多概念和结论是二维 随机变量的推广
定义:设E为一随机试验,Ω为其样本空间,X()和Y(O) 是定义在样本空间Ω上的随机变量,由它们构成的 向量(κ,y)称为二维随机向量或二维随机变量。 说明:对应于试验的某一结果,XY取得数值x,y时,二维 随机变量(X,Y)就取得平面上的个点(x,y).随着 试验结果的不同,(,Y)在平面上随机变化,故也可 将(X,Y)看成二维随机点
向量 称为二维随机向量或二 维随机变量。 是定义在样本空间 上的随机变量，由它们 构成的 定义：设 为一随机试验， 为其样本空间， 和 ( , ) ( ) ( ) X Y E X Y 说明：对应于试验的某 一结果，X,Y取得数值x, y时，二维 随机变量(X,Y)就取得平面上的一个点 (x, y). 随着 将(X,Y)看成二维随机点。 试验结果的不同，(X,Y)在平面上随机变化，故 也可
、二维随机变量的联合分布函数 定义32设(Y,Y)为二维随机变量,对于任何实数x,y,称 二元函数 F(x,y)=P{X≤x,y≤y},-∞<x<+,-∞<y<+∞(3.1) 为(X,)的联合分布函数,也简称为(X,)的分布函数 F(xy)的几何意义: 联合分布函数F(x,y)表示事件{X≤x}和事件{Y≤y)同 时发生的概率。F(x,y)在(x,y) 处的函数值F(x02y0)表示二维随 机变量(X,X)落在点(x02y。)左下 方的无穷矩形区域内的概率
一、二维随机变量的联合分布函数 二元函数 定义3.2 设(X,Y)为二维随机变量，对于 任何实数x, y，称 F(x, y) = P{X x,Y y},− x +, − y + (3.1) 为(X,Y)的联合分布函数，也简 称为(X,Y)的分布函数。 O y 0 y ( , ) 0 0 x y 0 x x F(x,y)的几何意义： 方的无穷矩形区域内的 概率。 机变量 落在点 左下 处的函数值 表示二维随 时发生的概率。 在 联合分布函数 表示事件 和事件 同 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) { } { } 0 0 0 0 0 0 X Y x y F x y F x y x y F x y X x Y y
根据F(x,y)的几何解释,不难得出二维随机变量(X,Y) 落在任·矩形区域 x1a2y>b}≠1-P{X≤a,Y≤b}
如图： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) { , } 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y − + = − 内的概率为： 落在任一矩形区域 根据 的几何解释，不难得出 二维随机变量 1 2 1 2 , ( , ) ( , ) x X x y Y y F x y X Y O 1 x 2 x y 1 y ( , ) 2 2 x y x 2 y ( , ) 2 1 x y ( , ) 1 1 x y ( , ) 1 2 x y P{X a,Y b} 1− P{X a,Y b}. 说明：
联合分布函数F(xy)具有以下基本性质 (1)对切x,y,有0≤F(x,y)≤1 (2)对于固定的x,F(x,-∞)=1imF(x,y)=0, 对于固定的yF(-∞,y)=limF(x,y)=0, x→)-00 F(-∞,-∞)=limF(x,y)=0, x→)-0 y->-0 F(+∞,+∞)=limF(x,y)= x→)+00 (3)F(x,y)分别对x和是单调不减的函数,即对于任意 固定的y,当x1<x2时F(x1,y)≤F(x2,y),对于任意 固定的x,当y1<y2时F(x,y1)≤F(x,y2)
联合分布函数F(x,y)具有以下基本性质： (−,−) = lim ( , ) = 0, →− →− F F x y y x (2) , ( ,−) = lim ( , ) = 0, →− x F x F x y y 对于固定的 , (−, ) = lim ( , ) = 0, →− y F y F x y x 对于固定的 (1) 对一切x, y，有0 F(x, y) 1. (+,+) = lim ( , ) =1. →+ →+ F F x y y x ( , ) ( , ). ( , ) ( , ) (3) ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x y y F x y F x y y x x F x y F x y F x y x y 固定的 ，当 时 固定的 ，当 时 ，对于任意 分别对 和 是单调不减的函数，即 对于任意
(4)F(x,y)分别是x和y的右连续函数,即F(x+0,y)=F(x,y) F(,y+0)=F(,y) (5)对于任意的x1<x2,y1<y2,都有 F(x2,y2)-F(x12y2)-F(x2,y)+F(x12y1)≥0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. (5) , 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 − − + F x y F x y F x y F x y 对于任意的x x y y ，都有 ( , 0) ( , ). (4) ( , ) ( 0, ) ( , ), F x y F x y F x y x y F x y F x y + = 分别是 和 的右连续函数，即 + =
、二维离散型随机变量 定义3.3若二维随机变量(x,的所有取值为有 限个或可列个,则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 易见(X,Y为二维离散型随机变量的充分必要条 件是XY分别为一维离散型随机变量。 与一维随机变量类似,我们用分布律来描述二 维离散型随机变量的概率分布
二、二维离散型随机变量 定义3.3 若二维随机变量(X,Y)的所有取值为有 限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。 易见(X,Y)为二维离散型随机变量的充分必要条 件是X,Y分别为一维离散型随机变量。 与一维随机变量类似，我们用分布律来描述二 维离散型随机变量的概率分布
定义34设(X,Y)是二维离散型随机变量,其所有可能 取值为(x,y)2j=12…称 P(x,y=(xi,yi))=PiX=xi, r=yi)=Pi 矿,,=1,2 (32) 为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律,也简称为(X,) 的分布律,或称为(X,)的概率分布
的分布律，或称为 的概率分布。 为二维离散型随机变量 的联合分布律，也简称 为 取值为 称 定义 设 是二维离散型随机变量 ，其所有可能 ( , ) ( , ) ( , ) {( , ) ( , )} { , } , , 1,2, (3.2) ( , ), , 1,2, . 3.4 ( , ) X Y X Y X Y P x y x y P X x Y y P i j x y i j X Y i j i j ij i j = = = = = = =
联合分布函数的性质: 1)0≤Pn≤1,=12,… (3.3) (2)∑∑n=1 (X,Y)的联合分布律也可用表格表示: Y y2 P P P: pil P
联合分布函数的性质： = = = 1 1 (2) 1. (3.4) i j pij (1) 0 p 1,i, j =1,2,. (3.3) ij (X,Y)的联合分布律也可用表格表示： xi pi1 pi1 … pij … x2 p21 p22 … p2j … x1 p11 p12 … p1j … y1 y2 … yj … Y X