EⅡ吉米多维奇 数学分析习题集题解 (五) 费定晖周学圣编演 郭大钩邵品琮主审 山东科学技术出版社 九八一年·济南
出版说明 吉米多维奇(E.XM团八OBⅥ)著《数学分析习題集》 书的中译本,自五十年代初在我国翻译出版以来,引起了 全国各大专院校广大师生的巨大反响。凡从事数学分析教学 的师生,常以试解该习題集中的习题,作为检验掌握数学分 祈基本知识和基本技能的一项重要手段。二十多年来,对我 国数学分析的教学工作是甚为有益的。 该书四千多道习题,数量多,内容肀審,由浅入深,邯 分題日难度大。涉及的内容有函教与极限,单变量函數的微 分学,不定积分,定积分,级数,多变量函数的微分学,带参 变量积分以及重积分与曲线积分、曲面积分等等,概抬了数 学分析的全部主题。当前,我国广大读者,特别是背于刻苦 自学的广大数学爱好者,在为四个现代化而勤奋学习的热潮 中,迫切需要对一些疑难习题有一个较明确的回答。有鉴于 此,我们特约作者,将全书4462题的所有解答汇輯成书,共 分六册出版。本书可以作为高等院校的教学参考用书,同时 也可作为广大读者在自学微积分过程中的参考用书。 众所周知,原习题集,题多难度大,其中不少习题如果认 真习作的话既可以深刻地巩固我们所学到的基本概念,又可 以有效地提高我们的运算能力,特别是有些难題还可以逼使 我们学会综合分析的慼维方法。正由亍这样,我们殷切期望 初学数学分析的青年读者,一定要刻苦钻研,千万不要轻易
查抄本书的解答,因为任何削弱独立恐索的作法,都是违背 我们出版此书的本意。何况所作解答并非一定标准,仅作参 考而已。如有某些误解、差错也在所难免,一经发觉,恳请 指正,不胜感谢。 本书蒙潘承泂教授对部分难題进行了审校。特请郭大钓 教授、邵品琮副教授对全书作了重要仔綱的审校。其中相当 数量的难度大的題,邮是郭大钩、邵品亲自作的解答。 参加本册审校工作的还有张效先、徐沅同志。 参加编演工作的还有黄春朝同志。 本书在编审过程中,还得到山东大学、山东工学院、山 东师范学院和曲阜师范学院的领导和同志们的大力支持,持 在此一并致谢。 1979年4月
目录 第六章多变量函数的微分法 §1.多变量函数的极限.连续性… 2.偏导函数多变量函数的微分 39 §3.隐函数的微分法 -5 4.变量代换 230 5.几何上的应用… 337 §6.台劳公式 87 7.多变量函数的极值… 415 第七带参数的积分 525 1.带参数的常义积分 525 52.带参数的广义积分,积分的一致收性…567 53.广义积分中的变量代换,广义积分号下 微分法及积分法 618 4.尤拉积分 09 5.福里叶积分公式… 752
第六章多变量函数的微分法 8.多变量函数的极跟连续性 1°多变量函数的极限设函数f(P)=f(x1,x2,…, xn)在以P。为聚点的集合E上有定义,若对于任何的e>0 存在有8=0(e,P)>0,使得只要P∈E及0≤p(P,P)←8 〔其中p(P,P)为P和P二点间的距离〕,则 lJ(P)A|<ε, 我们就说 limf(P)=A。 P→I 2°连续性若 Iim f(P)=f(Po) 则称函数∫(P)于P点是连续的 若函数∫(P)于已知域内的每一点连续,则称函数f(P) 于些城内是连续的 3°一致连续性若对于每一个e0都存在有仅与e有 关的-0,使得对于域G中的任何点P',Pn,只要是 p(P,P")8, 便有不等式 t(Pr)-f(P#) 成立,则称函数f(P)于域G内是一致连续的
于有界闭域内的连续函数于此域内是一致连续的 确定并绘出下列函数存在的域 3136.4=x+y 解存在域为半平面, y=0 如图6·1阴影部分所示,包括整个Ox轴在内。 图6·1 3137.u=√1-x2 解存在域为满足不 等式 的点集,如图6·2阴 影部分所示,包括边 界(粗实线)在内 3138.u=√1-x2-y2 解存在域为圆 图6·2
十y2≤1 如图6·3阴影部分所 示,包括圆周在内 3139,g= x+y 解存在域为满足不 等式 y21 的点集,即圈x2+y2 图6·3 1的外面,如图6 4所示,不包括圆周 (虚线)在内 3140.a= √(x2+y2-1)(4-x2-y2 解存在域为满足不 等式 1≤x2+y2≤4 图6·4 的点集,如图6·5所示 的环,包括边界在内 3141。a= 2x 解存在域为满足不 等式 x≤x2+y2<2x 的点集。由x2+y2 图6-5
≥x符出 由x2+y2=2x得 出 x-1)2+y2≈1, 两者组成一月形, 如图6·6阴影部分 图68 所示 3142.“=√1-(x2+y)2 解存在域为满足 不等式 1≤x2+y≤1 的点集,如图6·7 阴影部分所示,包 括边界在内 图G7 3143,4=la(-x-y)。 解存在域为半平 +y mo 面 x+y<0 如图6·8阴影部分 所示,不包括直线 x+y=0在内。 3144. u=are sin 解存在域为满足 图6·8
不等式 ≤1 X+y=0x-y=0 或|y|≤|x|(x≠0) 的点集,这是一对对 顶的直角,如图69 阴影部分所示,不包 括原点在内 3145. u=arccos x-+y 图 解存在域为满足不等式 y 的点集.由x|得1215x+y(x≠-=y), 即x2≤x2+2xy+y2或y(y+ 也即 y≤0 或 2x s-2x 但x,y不能同时为 零,这是由直线:y=y+2x=0 0和y=-2x所围成 的一对对顶的角,如 图6·10阴影部分所 示,包括边界在内 但不包括公共顶点O (0,0)在内 图6·10
3146,u=arc sin-42+ arc sin( 1-y). 解存在域为满足不等式 ≤1及11-y≤1(y≠0) 的点集,即 x 和 0<y≤2 x 0<y≤2 这是由抛物线 图6·11 和宜线y=2所 围成的曲边三角 形,如图6·11阴 影部分所示,不 包括原点在内 147=√sin(x2+y2) 解存在域为满 足不等式 n(x2+y2)≥0 或2k兀≤x2+y2 ≤(2k+1)丌〔 图6·12 =0,12,…)的点集,如图6·12所示的同心环族
