电子科技大学2001至2002学年第二学期 《数学建模》课程试题(150分钟)(开卷) 考试时间2002年6月 系别 班次 学号 姓名 (1)在一个密度为ρ的流质表面下深h处的压强P=pgh(g是重力加速 度),试检验此公式的量纲是否正确? (2)在弹簧一质量一阻力系统中,质量为m的物体在外力F(t)的作用下 在t时刻的位置xt满足以下方程: d'x+r=+kx=F(O) 其中r是阻尼系数,k是弹簧的弹性系数。试确定r,k的量纲。 二.一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快,目前器皿中有100个细菌, 每隔5分钟细菌个数就会加倍,请仔细分析实际情况,建立一个函数表示出t 时刻的细菌数量。 三.许多人有过这样的经历,进行一次医疗检查,结果呈阳性提示此人患病, 但实际上却虚惊一场,究其原因往往是检査的技术水平等因素造成错误所致。对 1000人进行调查得到以下数据结果矩阵 有病 360120 正确诊断的人数 40480」错误诊断的人数 请你为一名诊断有病的人分析一下,他确实患病的可能性有多大? 四.某天晚上23:00时,在一个住宅内发现一具受害者尸体,法医于23:35 分赶到现场,立即测得死者体温是30.8°c,一小时以后再次测量体温为29.1°c 法医还注意到当时室温是28°c,请建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时 间 五.一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系统,需要对现有系统进 行分析。现有系统中有5个服务点,当顾客走进银行,他们可能选择5个服务点 中任一个。在繁忙期间,两位顾客到达的平均间隔时间是3分钟,为一位顾客服 务的平均时间为25分钟 请你为建立模拟模型做以下准备工作: (1)考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间
电子科技大学 2001 至 2002 学年第二学期 《数学建模》课程试题（150 分钟）（开卷） 考试时间 2002 年 6 月 系别 班次 学号 姓名 一．（1）在一个密度为 的流质表面下深 h 处的压强 P= gh（g 是重力加速 度），试检验此公式的量纲是否正确？ （2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为 m 的物体在外力 F(t)的作用下， 在 t 时刻的位置 x(t)满足以下方程： ( ) 2 2 kx F t dt dx r dt d x m + + = ， 其中 r 是阻尼系数，k 是弹簧的弹性系数。试确定 r, k 的量纲。 二．一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有 100 个细菌， 每隔 5 分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t 时刻的细菌数量。 三．许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病， 但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对 1000 人进行调查得到以下数据结果矩阵： 有病 无病 T= 40 480 360 120 请你为一名诊断有病的人分析一下，他确实患病的可能性有多大？ 四．某天晚上 23:00 时，在一个住宅内发现一具受害者尸体，法医于 23:35 分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8○ c，一小时以后再次测量体温为 29.1○ c ， 法医还注意到当时室温是 28○ c，请建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时 间。 五．一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系统，需要对现有系统进 行分析。现有系统中有 5 个服务点，当顾客走进银行，他们可能选择 5 个服务点 中任一个。在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是 3 分钟，为一位顾客服 务的平均时间为 2.5 分钟。 请你为建立模拟模型做以下准备工作： （1） 考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间； 正确诊断的人数 错误诊断的人数
(2)如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式 (3)你认为应怎样模拟顾客们的来到? 并且根据你的方法给出相应算法。 六.(狐狸与野兔问题)在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔,设t时 刻它们的数量分别为y(t)和x(t),已知满足以下微分方程组 dy 0.001xy-0.9 =4x-0.02xy (1)建立上微分方程的轨线方程 (2)在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态? (3)建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果? 对狐狸进行捕猎又会产生什么后果? 七.以下是几个一元经验回归模型的标准残差图: 请你考察分析以上各个残差图,说明经验回归方程对数据的拟合优度,并阐述其 理由 八.下面是六十年代世界人口的增长数据(单位:亿): 年份「19601961|1%62196319641965196619671968 人口29.72306131.5132.13323432853356342034.83
（2） 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式； （3） 你认为应怎样模拟顾客们的来到？ 并且根据你的方法给出相应算法。 六．（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设 t 时 刻它们的数量分别为 y(t)和 x(t)，已知满足以下微分方程组 = − = − 4 0.02 . 0.001 0.9 , x xy dt dx xy y dt dy （1） 建立上微分方程的轨线方程； （2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？ （3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？ 对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？ 七．以下是几个一元经验回归模型的标准残差图： 请你考察分析以上各个残差图，说明经验回归方程对数据的拟合优度，并阐述其 理由。 八．下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）： 年份 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 (a) (b) (c) (d) 2 0 -2 2 0 -2 2 0 -2 2 0 -2
(1)请你仔细分析数据,绘出数据散布图并选择合适的函数形式对数据进行 拟合 (2)用你的经验回归模型试计算:以1960年为基准,人口增长一倍需要多少 年?世界人口何时将达到100亿? (3)用你的模型估计2002年的世界人口数,请分析它与现在的实际人口数的 差别的成因。 九.飞行管理问题 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机 作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞 行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后,要立即计算 并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包 括新进入的)飞机飞行方向角,以避免碰撞。现假定条件如下: 1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里; 2)对飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度 3)所有飞机飞行速度均为每小时800公里 4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里 以上 5)最多需考虑6架飞机 6)不必考虑飞机离开此区域后的状况 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对 以下数据进行计算(方向角误差不超过001度)。要求飞机飞行方向角调整的幅 度尽量小 请仔细阅读题目,并 (1)将题目中的关键词列出: (2)用关键词联想法形成对问题及问题的解决初步理解和把握; (3)用问题分解法给出问题的初态、目标态及过程
（1）请你仔细分析数据，绘出数据散布图并选择合适的函数形式对数据进行 拟合； （2）用你的经验回归模型试计算：以 1960 年为基准，人口增长一倍需要多少 年？世界人口何时将达到 100 亿？ （3）用你的模型估计 2002 年的世界人口数，请分析它与现在的实际人口数的 差别的成因。 九． 飞行管理问题 在约 10，000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内，经常有若干架飞机 作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞 行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘，记录其数据后，要立即计算 并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包 括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下： 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里； 2）对飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时 800 公里； 4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60 公里 以上； 5）最多需考虑 6 架飞机； 6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对 以下数据进行计算（方向角误差不超过 0.01 度）。要求飞机飞行方向角调整的幅 度尽量小。 请仔细阅读题目，并 （1） 将题目中的关键词列出： （2） 用关键词联想法形成对问题及问题的解决初步理解和把握； （3） 用问题分解法给出问题的初态、目标态及过程