203年《数学建模》试卷分析 这一套题目设计为开卷考试,阅卷依据“假设的合理 性,结果的正确性,建模的创新性,表述的清晰性”判分, 对完成较好的解答酌情加分. 、总得分情况 1.各试题分数分配 四五六七八 15 12 151212 10 10 2.分段得分情况 班级不及及格中良优「平均成 格 绩 21111010 2 13 76.27 21111020 74 13 8 76.69 21112010 3 13 0 69.6 21112020 2 8 2 73.4 共计(人数)83238338 119 「百分比6.7%26.9%31.9%27.7%6.7% 分析:①分数的分布呈正态分布试题难易程度适中; ②21112010成绩有较大差异,优良率偏低,一定程度反 映该班到课情况较差(后面各试题分析进一步说明) 二、各试题情况分析 1.设有一个容积为1500升的圆柱型的桶,桶内盛有900 升水。如果将它水平地放置在地,问水面有多高?请你用自 己的方法给出问题的近似解答
2003 年《数学建模》试卷分析 这一套题目设计为开卷考试，阅卷依据“假设的合理 性，结果的正确性，建模的创新性，表述的清晰性”判分， 对完成较好的解答酌情加分. 一、总得分情况 1．各试题分数分配 一 二 三 四 五 六 七 八 15 12 15 12 12 15 10 10 2. 分段得分情况 班级 不及 格 及格 中 良 优 平均成 绩 21111010 2 7 5 13 3 76.27 21111020 1 4 13 8 3 76.69 21112010 3 13 9 5 0 69.6 21112020 2 8 11 7 2 73.4 共计(人数) 8 32 38 33 8 119 百分比 6.7% 26.9% 31.9% 27.7% 6.7% 分析: ① 分数的分布呈正态分布,试题难易程度适中; ② 21112010 成绩有较大差异,优良率偏低,一定程度反 映该班到课情况较差(后面各试题分析进一步说明). 二、各试题情况分析 1． 设有一个容积为 1500 升的圆柱型的桶，桶内盛有 900 升水。如果将它水平地放置在地，问水面有多高？请你用自 己的方法给出问题的近似解答
解答设圆桶的高度为L,底半径为R,水面高度H 解法一(近似求根法) 因1500/2<900,故桶内未装水的部分的容积为 因 Rx-R sinx)L=600 或 R-L(x-sin x)=600, 2 1500 并且TR2L=1500RL ,得函数方程 x-sinx 另 H=R(1+ cOS), (2) 用牛顿切线法可求出方程(1)的近似根为x≈28248, 代入(2)式得 H=R(1+cos1.4124)=1.1577R 解法二(以直代曲法) 因2RML≈150, 故 150150R2R h 2RL2R150020 从而
解答 设圆桶的高度为 L，底半径为 R，水面高度 H. 解法一 （近似求根法） 因 1500/ 2 900 ，故桶内未装水的部分的容积为 并且 , 1500 1500, 2 2 R L = R L = 得函数方程 0, (1) 5 4 x − sin x − = 另 ), (2) 2 (1 cos x H = R + 用牛顿切线法可求出方程（1）的近似根为 x 2.8248 ， 代入（2）式得 H = R(1 + cos1.4124) = 1.1577R. 解法二 （以直代曲法） H R x 因 sin ) 600 2 1 2 1 ( 2 2 R x − R x L = ， 或 ( sin ) 600 2 1 2 R L x − x = ， 因 2RhL≈150， 故 = = 2 1500 20 150 2 150 2 R R RL R h , 从而
分析:此题的及格率过低,主要原因如下: ①较多学生审题时未注意到关键语句“给出问题的近似解 答”,因此采用复杂的积分运算实际却无法求出问题的精确 解 ②此题可以利用课堂上介绍的“以直代曲法”或“微元法” 以及“泰勒近似”等方法做近似计算,反映部分学生习惯于 精确计算的固定思维,未能掌握一定的工程计算思想 2.请阐述如何理解随机数概念,说明模拟模型的本质作用. 分析:该题是基本概念题,要求在理解的基础上,用自己 的语言表述清楚,但有部分学生照抄教案,或语言表述含混 3.某地区的人口众多,可将人口数N(t)视为一个连续 变量,仅考虑该地区个体的出生与死亡的条件下建立微分方 程模型如下:
分析: 此题的及格率过低,主要原因如下: ① 较多学生审题时未注意到关键语句“给出问题的近似解 答” , 因此采用复杂的积分运算,实际却无法求出问题的精确 解. ② 此题可以利用课堂上介绍的“以直代曲法”或“微元法” 以及“泰勒近似”等方法做近似计算，反映部分学生习惯于 精确计算的固定思维，未能掌握一定的工程计算思想. 2. 请阐述如何理解随机数概念，说明模拟模型的本质作用. 分析：该题是基本概念题，要求在理解的基础上，用自己 的语言表述清楚，但有部分学生照抄教案，或语言表述含混. 3．某地区的人口众多，可将人口数Ｎ(t) 视为一个连续 变量，仅考虑该地区个体的出生与死亡的条件下建立微分方 程模型如下：
N(t+△)-N(t) In b-d △ M→0 (1)请写出参数b,d的实际意义,并对此模型进行量 纲一致性检验; (2)更进一步,考虑该地区人口的迁入和迁出情况建立 个数学模型,并分析人口的变化情况 分析:①优良率超过不及格率, ②多数学生能正确理解并描述参数的实际意义,建 立平衡式基本模型,从而正确建立微分方程,更进一步 分析出人口的变化情况 ③部分学生未理解题目,出现抄书现象 半期考试情况; 1.实际意义 a—出生率,单位时间内的平均出生人数; b死亡率,单位时间内的平均死亡人数 2量纲分析 1)常数是否有量纲? 2)量纲和单位的概念差别? 3)DimN(t)=1,即N(t)是否是纯量?是否有单位和量纲? 4.某地区内有12个气象观察站,有10年各观察站的年降 水量数据.为了节省开支要适当减少气象站,同时使得到的 降水量的信息量仍然足够大.请你用问题分解法给出问题的 整体把握,(注意:不必给出解决问题的思路与方法)
b d t N t t N t N t t − + − = → ( ) ( ) ( ) 1 0 lim ， （1）请写出参数 b，d 的实际意义，并对此模型进行量 纲一致性检验； （2）更进一步，考虑该地区人口的迁入和迁出情况建立一 个数学模型，并分析人口的变化情况. 分析：①优良率超过不及格率， ② 多数学生能正确理解并描述参数的实际意义，建 立平衡式基本模型，从而正确建立微分方程，更进一步 分析出人口的变化情况. ③ 部分学生未理解题目,出现抄书现象. 半期考试情况； 1. 实际意义 a—出生率，单位时间内的平均出生人数； b—死亡率，单位时间内的平均死亡人数. 2.量纲分析 1） 常数是否有量纲？ 2） 量纲和单位的概念差别？ 3） DimN(t)=1,即 N(t)是否是纯量？是否有单位和量纲？ 4. 某地区内有 12 个气象观察站,有 10 年各观察站的年降 水量数据. 为了节省开支要适当减少气象站，同时使得到的 降水量的信息量仍然足够大. 请你用问题分解法给出问题的 整体把握，(注意：不必给出解决问题的思路与方法)
分析:此题考察学生分析问题并能整体把握问题的能力 曾作为集体作业完成,题目中特别写明注意:不必给出解决问 题的思路与方法,仍有学生抄作业 正确审题的学生基本上能用问题分解法给出正确把握 5.一个收银台为顾客计算货款的时间与顾客所购商品件 数成正比(大约每件费2秒钟)假设顾客购买的商品件数是 按以下频率表分布: ≤89~20~2930~40~≥50 件数相率 19 39 相对频|0.120.100.180280.200.12 请考虑如何模拟为顾客计算货款的时间 分析:此题考核学生从实际数据出发,提取分布的有关 信息,利用概率论知识给出随机变量的模拟原理及相应的算 法的能力 ①反映部分学生仅能机械套用讲义中离散型随机变量 的模拟方法,却不能灵活应用概率论中的直方图概念, 确定出所模拟随机变量应服从正态分布. ②部分学生仅给出模拟算法或仅给出算法原理 6记x()为t时刻X方存活的士兵数,y()为t时刻Y方存活 的士兵数,已建立微分方程组如下:
分析:此题考察学生分析问题并能整体把握问题的能力. 曾作为集体作业完成，题目中特别写明注意:不必给出解决问 题的思路与方法，仍有学生抄作业. 正确审题的学生基本上能用问题分解法给出正确把握. 5.一个收银台为顾客计算货款的时间与顾客所购商品件 数成正比（大约每件费 2 秒钟）.假设顾客购买的商品件数是 按以下频率表分布： 件 数 ≤8 9～ 19 20～29 30～ 39 40～ 49 ≥50 相 对 频 率 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12 请考虑如何模拟为顾客计算货款的时间. 分析: 此题考核学生从实际数据出发,提取分布的有关 信息,利用概率论知识给出随机变量的模拟原理及相应的算 法的能力. ① 反映部分学生仅能机械套用讲义中离散型随机变量 的模拟方法,却不能灵活应用概率论中的直方图概念, 确定出所模拟随机变量应服从正态分布. ② 部分学生仅给出模拟算法或仅给出算法原理. 6.记 x(t)为 t 时刻 X 方存活的士兵数，y(t)为 t 时刻 Y 方存活 的士兵数，已建立微分方程组如下：
0.15 dh 0.1x, x(0)=x0=8000y(0)=y0=6000 讨论:(1)哪一方将会获胜?(2)战斗至少持续多少时 间? 分析:利用微分方程的定性分析方得到方程的实际解答,部 分学生去求方程的精确解,未能求出结果 7.已建立了海浪潮高度随时间变化的经验模型 x(t)=24cos(0.51I)-2.7sin(0.511t),t≥0, 现实际测得如下数据 时间(小01234 5 6 时) 10 潮高(米)3.12.00.60.6-2.2-3.63.2-2.5 1.12.9 绘出数据残差图,并分析此经验模型对数据的拟合优度 分析:考核学生是否掌握经验模型的拟合优度检验,但 由于计算量过大,致使较多学生放弃此题或运算未完成 8.尽可能多地列举出现实中服从均匀分布的随机变量, 并对其中一种阐述理由,进行说明
= = = = = − = − (0) 8000, (0) 6000. 0.1 , 0.1 5 , 0 0 x x y y x d t d y y d t d x 讨论：(1) 哪一方将会获胜？ （2）战斗至少持续多少时 间？ 分析: 利用微分方程的定性分析方得到方程的实际解答，部 分学生去求方程的精确解，未能求出结果. 7.已建立了海浪潮高度随时间变化的经验模型: x(t) = 2.4cos(0.511t) − 2.7sin(0.511t), t 0 ， 现实际测得如下数据 时间（小 时） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 潮高（米） 3.1 2.0 0.6 0.6 -2.2 -3.6 -3.2 -2.5 -0.9 -1.1 2.9 绘出数据残差图，并分析此经验模型对数据的拟合优度. 分析: 考核学生是否掌握经验模型的拟合优度检验,但 由于计算量过大,致使较多学生放弃此题或运算未完成. 8.尽可能多地列举出现实中服从均匀分布的随机变量， 并对其中一种阐述理由，进行说明
分析:此题考察学生对实际问题中变量的随机类型判别 能力和发散思维能力,得分情况表明效果良好
分析:此题考察学生对实际问题中变量的随机类型判别 能力和发散思维能力,得分情况表明效果良好