B.Ⅱ吉米多维奇 数学分析习题集题解 (六) 费定晖周学圣编演 郭大钩邵品琮主审 山东科学技术出版社
出版说明 吉米多维奇(B.. EMIJ OBH4)著《数学分析习题集》 一书的中译本,自50年代初在我国翻译出版以来,引起了全 国各大专院校广大师生的巨大反响。凡从事数学分析教学的 师生,常以试解该习题集中的习题,作为检验掌握数学分析基 本知识和基本技能的一项重要手段。二十多年来,对我国数学 分析的教学工作是甚为有益的。 该书四千多道习题,数量多,内容丰富,由浅入深,部分題 目难度大。涉及的内容有函数与极限,单变量函数的微分学, 不定积分,定积分,级数,多变量函数的微分学,带参变量积分 以及重积分与曲线积分、曲面积分等等,概括了数学分析的全 部主题。当前,我国广大读者,特别是肯于刻苦自学的广大数 学爱好者,在为四个现代化而勤奋学习的热潮中,迫切需要对 一些疑难习题有一个较明确的回答。有鉴于此,我们特约作 者,将全书4462题的所有解答汇辑成书,共分六册出版。本书 可以作为高等院校的学参考用书,同时也可作为广大读者 在自学微积分过程中的参考用书。 众所周知,原习题集,题多难度大,其中不少习题如果认 真习作的话,既可以深刻地巩固我们所学到的基本概念,又可 以有效地提高我们的运算能力,别是有些难題还可以迫使 我们学会综合分析的思维方法。正由于这样,我们殷切期望初 学数学分析的青年读者,一定要刻苦钻研,千万不要轻易查抄 1
本书的解答,因为任何削弱独立思索的作法,都是违背我们出 版此书的本意。何况所作解答并非一定标准,仅作参考而已。 如有某些误解、差错也在所难免,一经发觉,恳请指正,不胜感 谢 木书蒙潘承泂教授对部分难題进行了审校。特请郛大钧 教授、邵品琮教授对全书作了重要仔细的审校。其中相当数量 的难废大的題,都是郭大钓钧、邵品琮亲自作的解答。 参加编演工作的还有黄春朝同志。 本书在煸审过程中,还得到山东大学、山东工业大学、山 东师范大学和曲阜师范大学的领导和同志们的大力支持,特 在此一并致谢。 2
目录 第八章重积分和曲线积分 §1.重积分……………………………………………………1 §2.面积的计算法……… 苓3,体积的计算法 84.曲而面积计算法 ………………105 氵5.重积分在力学上的应用………………………!9 §6.二重积分……… 144 §.利用三重积分计算体积法…………………168 8.重积分在力学上的应用…187 §9.重和重!义积分…………218 §0.多重积分 …………………………270 §1曲线积分……………………………………………299 s12.格林公式……… ………………………………319 S13.曲线积分的物理应用… 丶号甲甲4Ba· §14.出面积分……………………………400 §15.斯托克斯公式 …130 16.奥斯持洛格拉德斯基公式………………………440 §17.场论初步 475
第八章重积分和曲线积分 §1.二重积分 1二重积分的直接计算法所谓连续函数f(x,y)展布在有限封 闭可求积维域内的二重积分乃指的数 f(x,y)ldy=m∑》f(,y)△43 其中Δx,=x,+1-x,4y,=y+-y,而其和为对所有i,使(x,y)∈ 的那些值来求的。 若域由下面的不等式所给出 a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x), 其中y1(x)和y2(x)为在闭区间[a,b〕上的连续函数,则对感的-重积 分可按下面的公式来计算 x】 了·y nd y 2二重积分中的变量代换若可微分的连续函数 ytu 把平面Oxy上的有限闭域D单值唯一地映射为平面OU上的域Ω及 雅哥比式 D(z, y) I=D(a,)×0, 则下之公式正确: f(r,y)dxdy= l f(r(u, v),y(u,D))1I dudu
特别是,根据公式x=rcsy,y= rainy变换为极坐标r和φ情形 有 f(r, y)dxd. f(rcos, rsing)rdrd9. 3901把积分‖ rydxdy,当作积分和的极跟,用直线 n 把积分域分许多正方形,并选取被积函数在这些正方 形之右顶点的值计算所论积分的值 解由于 (n+1 An ro). 其中 n(n+1) n(n+1) 2 故 c dady 4 ≤ 3902.用直线 0,1, 把域1≤x≤2,1≤y≤3分为许多矩形.作出函数 f(x,y)x2+y2在此域内的积分下和S与积分上和 S.当n→∞时.上和与下和的极限等于什么? 解下和
1+ +(1+ 2 2n2 2 i+n十 +2 401 3n 其中 (n-1)n(2n-]) (n-1)n(2n-1) 上和 +1+ 2 2 40,11 ±+ 3n 当n+∞时,S与S的极艰均等于3=133 3903.用-系列内接正方形作为积分域的近似域,这些方形 的顶点A,在整数点,并取被积函数在每个正方形距原 点的最远的顶点之值近似地计算积分 dxdy 4+x2 并与精确的值加以比较。 解由题意知,应取的正方形顶点为(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(2.1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(32)
(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),故利用对称性知 dxdy 1⊥2 24+x2+ 26 29 + 32 37 44 42 49 0.196+0.371+0.343+0.312+0.177 0.329+0.302+0.154+0.285 2.470 Eev 即 9.880 √24+x2+ 下面计算积分的精确值: Tay 24x2+ 41n(y+√24+x+ 4ln(√25-x2+7)dx-2|ln(24+x2)d 0 由于 ln(24+x2)dx=dn(24+x2)-f 24 xln(24+x2)-2x+ 24 actg +C 从而 2|In(24+x2)dx =[2xln(24+x2)-4x+48 actg 24小}0
20ln7-20+8√6 arct 又 4In(25 7)d. D =4xln(√25-x2+7)。 dr 4 0(√25 +7)√25 dx 20ln7+ (√25-x2+7)25 再令x=5sint,有 x“x 2t+25 0(√25 7)√25-x 5cost+7 (5cost- 2dt 24 de o 5cost+-7 ?t一5nt) 24 arct tg 7丌 2 5-4√6 arct 24 从而 4|ln(25-x2+7)dx 2ln7+14x-20-16 6 actg 24 注意到 Zarctg g 24 √24 最后便得到
ray 24十 14x-424(2ctg-2+ arte/24 √/24 2r(7 24)÷13.19. 将精确值与近似值作比较,显见误差较大,其原因 在于有不少不是正方形的域都被忽略,因而产生较大的 绝对误差431及较大的相对误差3.19÷32.7 注意,求 d.icl y 的精确值若釆用 24+x2+ 极坐标则较为简单: drd 24 /24 2x(7 24) 但按原习题集的安排,似应在3937题以后才开始使用 极坐标故本题仍用直角坐标进行计算 3904.用直线x-常数,y=常数,x+y=常数把域S分为 四个相等的三角形,并取被积函数在每令三角形的中线 交点之值.近似地计算积分 t 3ds 其中S表由直线x=0,y=0及x+y=1所围成的三 角形 解我们只须 1及x+y=2 分域S 即得四个相等的三角形,它们的面积均为女,重心为