EI青米多维奇 数学分析习题集题解 (四) 费定晖周学圣编廣 郭大钩邳品琮主审 山东科学技术出版社
园书在版编目(CP)数据 EⅡ吉米多维奇数学分析习题集题解(4)/费定 晖编.-2版,一济南:山东科学技术出版社,1999.9 (2001.3重印 isBN 7533101022 I.5…Ⅱ.费…Ⅲ数学分析-高等学校-解题 Ⅳ.017-44 中国版本图书馆CP数据核字(1999第43958号
出版说明 吉米多维奇(B,丑ⅡEMOB)蒼《数学分析习题集》 书的中译本,自50年代初在我国翻译出版以来,引起了全 国各大专院校广大师生的巨大反响。凡从事数学分析教学的 师生,常以试解该习题集中的习题,作为检验掌握数学分析基 本知识和基本技能的一重要手段。二十多年来,对我国數学 分析的教学工作是甚为有益的。 该书四千多道习题,敷量多,内容亭富,由浅入深,分题 目难庋大。涉及的内容有函数与极限,单变量函数的微分学 不定积分,定积分,级数,多变量南数的微分学,带参变量积分 以及重积分与曲线积分、幽面积分等等,概括了数学分析的全 部主题。当前,我国广大读者,特别是肯于刻苦自学的广大数 学爱好者,在为四个現代化而勤奋学习的热潮中,迫切需要对 些疑难习题有一个较明确的回答。有鉴于此,我们特约作 者,将全书4462题的所有解答汇輯成书,共分六册出版。本书 可以作为高等院校的学参考用书,同时也可作为广大读者 在自学微积分过裎中的参考用书 众所周知,原习题集,题多难度大,其中不少习题如果认 真习作的话,既可以深剡地巩固我们所学到的基水概念,又可 以有效地提高我们的运算能力,特别是有些难题还可以迫使 我们学会综合分析的恳维方法。正由于这样,我们殷切期望初 学数学分析的青读者,一定要刻苦钻研,十万不要轻易查抄
本书的解答,因为任何削弱独立思索的作法,鄰是违背我们出 版此书的本意。何况所作解答并非一定标准,仅作参考而已。 如有某些误解、差错也在所难免,一经发觉,恳请指正,不胜感 谢 本书蒙潘承洞教授对部分难题进行了审校。特请郭大钩 教授、邵品琮教授对全书作了重要仔细的审校。其中相当数量 的难度大的题,亦是郭大钧、邵品琮亲自作的解答。 加本册审校工作的还有周家云周志。 參加编演工作的还有黄春朝同志。 本书在编审过程中,还得到山东大学、山东工业大学、山 东师范大学和曲阜师蔸大学的领导和同志们的大力支持,特 在此一并致谢。 2
目录 第五章级数… §1.数项级数,同号级数收敛性的判别法 §2.变号级数收敛性的判别法…………………70 §3.级数的运算 §4.函数项级数…………131 §5.幂级数 …216 §6.福里叶级数 333 §7.级数求和法 388 s8.利用级数求定积分之值 439 §9.无穷乘积 451 §10.斯特林格公式…… 507 s11.用多项式逼近连续函数………………511
第五章级数 §1.数项级数同号级数收敛性 的判别法 12,般概念对于数项级效 +a2+…+a+…=∑ 若 imS=S(级数的和 存在,式中S=a1+a2+…十a则称级数(1)为收敏的,反之,则称级 数(1)为发傲的 2于西准则级数(1)收敛的充分且必要的条件为对于任何的e> 0,都存在有数N=N(e),使得当n>N和p>0时,不等式 s,--1|a 成立 特别是,若级数收敛,则 lima,=0. 3°比较判别法I,设除级数(1)外,还有级数 b1+b2+…+b+ (2) 若当n≥n不等式 ≤b 成立,则1)从级数(2)收敛可推得级数(1)收做;2)从级数(1)发散可推 得级数(2)发敬
待别是,当n→∞若an~bn则正项级数(1)和(2)同时收敛或同时 发散 4°比较判别法I.设 O 则(a)当P>1时级数(1)收敛,()当p≤1时级数(1)发散 5达朗伯耳判别法若an>0(n=12,…)及 inman 则(a)当q1时级数(1)发散。 6°哥西判别法若an≥0(n=1,2,…)及 则(a)当1时级数(1)发散。 7拉阿伯判别法若an>0(n=1,2,…)及 limn(-1)=p, 则〔a)当φ>1时级数(1)收敛,(6)当p0(n=12…)及 =k+2+ a + 式中||0则(a)当>1时级数(1)收敛,(6)当A1则级数(1)收敛;若K≤1则级数(1)发 散 9°哥西积分的判别法若f(x)(x>0)是非负的不增函数,则级数 (n) ①记号O·的意义参阅第一章§6,1°
与积分 f(x)dx 同时收敛或同时发散。 直接证明下列级数的收敛性并求它们的和 2546.1-1+ 2+48 …十 解由于 11_1 2 1 故得 nS= 即所给级数收敛,且其和为2(以下有关各题省略这两 句话) 2547 1 +3)+(2+32|+…+(2+3+ 解由于 S-(2+13)+(2+2+…+(录+副) +22+…+}+++… 1 2 故得 s=lims.=i 1
2548 × 解由于 2 。+… n 从而有 2++…+纽n-3+2n=1 S,=S S 十… 1+1+… 2n-1 1十 2n-1 故得 S=limS. =1+-1 1 2549.1+a1+1+…+ n(n+1) 解由于 S 十元·3 … 1 1-2)+(2-3)+…+(-n) 故得 S=limS,=l
250.0,4+47+…+(3n-2(3n+1y+… 解由于 =1·4+4·7 (3n-2)(3n+1) (3k-2)(3k+1 3-23k+I 故得 s=limS 2551.(a) sina+q2sin2a+…q"sina+…(lq|<1); (6)qcosd-+q'cos2a+ p● cosma+…(|q|<1) 解令x=q(cosa+ sina)=q",其中i=√一1. 于是得|z|=|q|<1,并且有 cosma 之 ginny (1) 及 2x= gcosa-tgsine (1--gcosa)tigrina l-2gcosa+q (2) 比较(1)、(2两式的实部及虚部,即得 asIna sinna sina .cosa +92 (6)∑ costa=∑osna-1 5