2002年《数学建模》试题 解答要点及部分答案 阅卷原则:以假设的合理性、建模的创新性、结果 的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准 说明:该套题目分为基本题目和分析题,其中分析 题应在仔细分析和深入思考的基础上,发挥自己的创造 能力,留下独立思考的痕迹 这里给出的答题要点是教师个人的想法,鼓励同学 们的其它正确合理的解答. (基本题目) (1)在一个密度为的流质表面下深h处的压强 P=pgh(g是重力加速度),试检验此公式的量纲是否 正确? (2)在弹簧一质量一阻力系统中,质量为m的物 体在外力F(t)的作用下,在t时刻的位置x(t)满足以下 方程: dx n +r+kr= F(t) dt 其中r是阻尼系数,k是弹簧的弹性系数,试确定r,k 的量纲 解答(1)|p=LMT2,公式量纲正确; (2)[r|=MT,|k|=MT 二.(分析题) 一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快,目前器
2002 年《数学建模》试题 解答要点及部分答案 阅卷原则：以假设的合理性、建模的创新性、结果 的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准. 说明：该套题目分为基本题目和分析题，其中分析 题应在仔细分析和深入思考的基础上，发挥自己的创造 能力，留下独立思考的痕迹. 这里给出的答题要点是教师个人的想法，鼓励同学 们的其它正确合理的解答. 一.（基本题目） （1）在一个密度为 的流质表面下深 h 处的压强 P= gh（g 是重力加速度），试检验此公式的量纲是否 正确？ （2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为 m 的物 体在外力 F(t)的作用下，在 t 时刻的位置 x(t)满足以下 方程： ( ) 2 2 kx F t dt dx r dt d x m + + = ， 其中 r 是阻尼系数，k 是弹簧的弹性系数，试确定 r, k 的量纲. 解答（1）[p] =L—1MT—2 , 公式量纲正确； （2）[ r]= MT—1 , [k]= MT—2 . 二. （分析题） 一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器
皿中有100个细菌,每隔5分钟细菌个数就会加倍,请 仔细分析实际情况,建立一个函数表示出t时刻的细菌 数量 解答关键语句:“仔细分析实际情况” 1.讲义p54的模型y=100exp(0.139),t≥0 是理想化的结果,不合乎实际情况。 2.结合实际情况可考虑以下因素:细菌的繁殖、死 亡、营养、培养器皿的空间大小等 3.做合理的假设,如: 1器皿中的营养足够细菌的繁殖需要 2细菌个数是连续变化的,细菌的增加理解为自然 繁殖个数减去自然死亡个数; 3培养器皿的空间所限,器皿中存活细菌个数有上 限YM(类似于相对于人类生存的地球)。 4.对理想化模型进行改进: 100exp(0.139),0t 其中,有y(tM)=YM。256 注:针对对不同情况的考虑,可做出不同的假设, 建立不同的模型但应考虑马尔萨斯模型是否满足条件 “有100个细菌,每隔5分钟细菌个数加倍” 三.(基本题目)(见概率论教材p41) 许多人有过这样的经历,进行一次医疗检查,结果 呈阳性提示此人患病,但实际上却虚惊一场,究其原因 往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对1000 人进行调查得到以下数据结果矩阵: 有病 无病 正确诊断的人数 错误诊断的人数
皿中有 100 个细菌，每隔 5 分钟细菌个数就会加倍，请 仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t 时刻的细菌 数量. 解答 关键语句：“仔细分析实际情况” 1．讲义 p54 的 模型 y = 100exp(0.139)t, t 0 是理想化的结果，不合乎实际情况。 2. 结合实际情况可考虑以下因素：细菌的繁殖、死 亡、营养、培养器皿的空间大小等. 3．做合理的假设，如： *1 器皿中的营养足够细菌的繁殖需要； *2 细菌个数是连续变化的，细菌的增加理解为自然 繁殖个数减去自然死亡个数； *3 培养器皿的空间所限，器皿中存活细菌个数有上 限 YM（类似于相对于人类生存的地球）。 4. 对理想化模型进行改进： = , . 100exp(0.139) , 0 ; ( ) M M M Y t t t t t y t 其中，有 y(tM ) = YM 。256 注：针对对不同情况的考虑，可做出不同的假设， 建立不同的模型.但应考虑马尔萨斯模型是否满足条件 “有 100 个细菌，每隔 5 分钟细菌个数加倍”. 三．(基本题目) （见概率论教材 p41） 许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果 呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因 往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对 1000 人进行调查得到以下数据结果矩阵： 有病 无病 正确诊断的人数 错误诊断的人数
360 120 40 480 请你为一名诊断有病的人分析一下,他确实患病的 可能性有多大? 解答该题目考核灵活应用概率论知识的能力,特别 注意频率与概率概念的差别 设A={诊断有病},B={确实有病} 需 求 概 率 P=P(B A) P(B)P(A B) P(B)P(AB)+P(B)P(AB) 问题是公式中的各个概率均未知利用所给数据矩 阵,可计算以下频率值: 360+404 f(B) 100010 受检查者本无病检查呈阳性的频率值为: 480 8 120+48010 受检查者确有病检查呈阳性的频率值为: 360 9 360+4010 由贝努里大数定律知,可用频率估计概率,故可以 假设: 9 P(B)=n,P(AB)=0,P(4B)= 8 10 10 从 而 1010 P=49 =-=0.4286 4、87 1010 1010
= 40 480 360 120 T 请你为一名诊断有病的人分析一下，他确实患病的 可能性有多大？ 解答 该题目考核灵活应用概率论知识的能力，特别 注意频率与概率概念的差别. 设 A={诊断有病}，B=｛确实有病｝ 需 求 概 率 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B P AB P B P AB P B P AB p P B A + = = 问题是公式中的各个概率均未知.利用所给数据矩 阵，可计算以下频率值： , 10 4 1000 360 40 ( ) = + f B = 受 检 查 者 本 无 病 检 查 呈 阳 性 的 频 率 值 为 ： , 10 8 120 480 480 = + 受 检 查 者 确 有 病 检 查 呈 阳 性 的 频 率 值 为 ： , 10 9 360 40 360 = + 由贝努里大数定律知，可用频率估计概率，故可以 假设： 10 8 , ( ) 10 9 , ( ) 10 4 P(B) = P AB = P AB = ， 从 而 0.4286 7 3 10 8 ) 10 4 (1 10 9 10 4 10 9 10 4 = = + − p =
四.(基本题目) 某天晚上23:00时,在一个住宅内发现一具受害者 尸体,法医于23:35分赶到现场,立即测得死者体温是 3080°,一小时以后再次测量体温为2910,法医还注 意到当时室温是280,请建立一个数学模型来推断出受 害者的死亡时间 解答应有以下假设: *1房间足够大,室内温度保持不变; 2人体正常温度为37°C(或其它合理范围值) 23:35分受害者已死亡约75分钟,死亡时间约为 22:20 分 五.(基本题目) 位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系 统,需要对现有系统进行分析。现有系统中有5个服务 点,当顾客走进银行,他们可能选择5个服务点中任 个。在繁忙期间,两位顾客到达的平均间隔时间是3分 钟,为一位顾客服务的平均时间为25分钟。 请你为建立模拟模型做以下准备工作: 考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间; 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式; 你认为应怎样模拟顾客们的来到? 并且根据你的方法给出相应算法 解答该题的工作分为两部分,为模拟模型做理论 准备,重点是对你的模拟思想进行算法设计 1理论准备 (1)假定服务时间T服从平均值为2.5的指数分布 (即参数=0.4);
四．（基本题目） 某天晚上 23:00 时，在一个住宅内发现一具受害者 尸体，法医于 23:35 分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8oc，一小时以后再次测量体温为 29.1oc ，法医还注 意到当时室温是 28oc，请建立一个数学模型来推断出受 害者的死亡时间. 解答 应有以下假设： *1 房间足够大，室内温度保持不变； *2 人体正常温度为 370 C（或其它合理范围值）。 23：35 分受害者已死亡约 75 分钟，死亡时间约为 22：20 分. 五．（基本题目） 一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系 统，需要对现有系统进行分析。现有系统中有 5 个服务 点，当顾客走进银行，他们可能选择 5 个服务点中任一 个。在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是 3 分 钟，为一位顾客服务的平均时间为 2.5 分钟。 请你为建立模拟模型做以下准备工作： 考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间； 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式； 你认为应怎样模拟顾客们的来到？ 并且根据你的方法给出相应算法. 解答 该题的工作分为两部分，为模拟模型做理论 准备，重点是对你的模拟思想进行算法设计. 1.理论准备 （1）假定服务时间 T 服从平均值为 2.5 的指数分布 （即参数 =0.4）；
或假定服务时间T服从平均值为25的正态分布N (μ,G2),应设定适当的标准差值 (2)可假定顾客随机选择服务点,或选择排队长最 短的服务点 (3)将顾客的来到看成泊松流,即顾客到达的间隔 时间相互独立,都服从参数为1/3的指数分布。 2.在计算机上实现以上模拟,设计算法 六.(分析题目) (狐狸与野兔问题)在一个封闭的大草原里生长着 狐狸和野兔,设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t), 已知满足以下微分方程组 =0.001xy-0.9y, dx 4x-0.02xy dt 建立上微分方程的轨线方程; 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态? 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会 产生什么后果?对狐狸进行捕猎又会产生什么后果? 解答重点考察对数学表达式与数学结果的分析能 力,其中(1)和(2)问是为第(3)问题做铺垫 (1)从微分方程中消去时间变量t得到轨线方程: 0.90.001x,4-0.02 (re e )=S (2)令=0,=0,解得两个平衡点(0,0)和 (900,200),当草原上的野兔是900只,狐狸是200 只时,两种动物的数量保持平衡状态
或 假定服务时间 T 服从平均值为 2.5 的正态分布 N （ 2 , ），应设定适当的标准差值. （2）可假定顾客随机选择服务点，或选择排队长最 短的服务点. （3）将顾客的来到看成泊松流，即顾客到达的间隔 时间相互独立，都服从参数为 1/3 的指数分布。 2. 在计算机上实现以上模拟，设计算法. 六．（分析题目） （狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着 狐狸和野兔，设 t 时刻它们的数量分别为 y(t)和 x(t)， 已知满足以下微分方程组 = − = − 4 0.02 . 0.001 0.9 , x xy dt dx xy y dt dy 建立上微分方程的轨线方程； 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？ 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会 产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？ 解答 重点考察对数学表达式与数学结果的分析能 力，其中（1）和（2）问是为第（3）问题做铺垫. （1）从微分方程中消去时间变量 t，得到轨线方程： x e y e S x y = − − ( )( ) 0.9 0.001 4 0.02 （2）令 = 0, = 0 dt dx dt dy ，解得两个平衡点（0，0）和 （900，200），当草原上的野兔是 900 只，狐狸是 200 只时，两种动物的数量保持平衡状态
(3)问题分析:无论对哪一种动物进行捕猎,都 可能产生以下影响: 必然打破原有的平衡状态; 2.两种物种的数量关系会发生变化; 3.两种物种的周期都会变化,且会相互影响。 (4)通过假设说明就以下哪一种情形进行讨论: 1.仅对野兔进行捕猎; 2.仅对狐狸进行捕猎; 3.对两种动物都进行捕猎。 (5)建立方程进行分析 考虑仅对野兔进行捕猎的情形 对野兔的捕猎系数为E1, 小山山 =-(0.9+E1)y+0.001xy, =(4-E1)x-0.02xy ①可得平衡点( 0.9+E14-8 0.020.001 ),说明野兔的平 衡量在增大,而狐狸的平衡量在减小( D'Ancona现象 的解释) ②微分方程中因x≥0,y≥0,若4-81≤0,E1≥4 dx 时,≤0,即野兔的数量会减少.而且,中有一项: dt (09+81)y,E1的值越大,y(t)的衰减速度越快 ③实际上,对野兔进行捕猎后,两种动物相遇的 机会还会变小,即方程中的系数“0.001”和“0.02”都 应变小 (6)结论:对野兔的适度捕猎,可以使野兔与狐狸 的比例增大;但过度捕猎会造成两种物种的同时(或先
（3）问题分析：无论对哪一种动物进行捕猎，都 可能产生以下影响： 1．必然打破原有的平衡状态； 2．两种物种的数量关系会发生变化； 3．两种物种的周期都会变化，且会相互影响。 （4）通过假设说明就以下哪一种情形进行讨论： 1． 仅对野兔进行捕猎； 2． 仅对狐狸进行捕猎； 3． 对两种动物都进行捕猎。 （5）建立方程进行分析 考虑仅对野兔进行捕猎的情形 对野兔的捕猎系数为 1 ， = − − = − + + (4 ) 0.02 . (0.9 ) 0.001 , 1 1 x xy dt d x y xy dt dy ① 可得平衡点（ 0.001 4 , 0.02 0.9 1 1 + − ），说明野兔的平 衡量在增大，而狐狸的平衡量在减小（D′A ncona 现象 的解释）. ② 微分方程中因 x 0, y 0 ，若 4 − 1 0 ， 1 4 时， 0 dt dx ，即野兔的数量会减少. 而且， dt dy 中有一项 ： —（0.9+ 1 ）y， 1 的值越大，y(t)的衰减速度越快. ③ 实际上，对野兔进行捕猎后，两种动物相遇的 机会还会变小，即方程中的系数“0.001”和“0.02”都 应变小. （6）结论：对野兔的适度捕猎，可以使野兔与狐狸 的比例增大；但过度捕猎会造成两种物种的同时（或先
后)灭绝 注:可以考虑另外两种情形,试一试 七.(基本题目) 以下是几个一元经验回归模型的标准残差图 2 (b) 0 (c) 请你考察分析以上各个残差图,说明经验回归方程对数 据的拟合优度,并阐述其理由 八.(分析题目) 下面是六十年代世界人口的增长数据(单位 亿) 年196019611962196319641965196619671968 份 人|29.7230.6131513213|3234328533.5634.203483
后）灭绝. 注：可以考虑另外两种情形，试一试. 七．（基本题目） 以下是几个一元经验回归模型的标准残差图： 请你考察分析以上各个残差图，说明经验回归方程对数 据的拟合优度，并阐述其理由。 八．（分析题目） 下面是六十年代世界人口的增长数据（单位： 亿）： 年 份 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人 口 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 (a) (b) (c) (d) 2 0 -2 2 0 -2 2 0 -2 2 0 -2
(1)请你仔细分析数据,绘出数据散布图并选择合 适的函数形式对数据进行拟合; (2)用你的经验回归模型试计算:以1960年为基 准,人口增长一倍需要多少年?世界人口何时将达到 100亿? (3)用你的模型估计2002年的世界人口数,请分 析它与现在的实际人口数的差别的成因 解答该题目考核对已建立模型的分析与检验 1.根据数据散布图,可选择线性函数、指数函数 或其它合理的函数形式拟合数据,建立经验模型; 2分析你的经验模型预测的人口数与实际人口数 的差别的成因,一般有: (1)模型的函数形式选择不当; (2)根据较少的数据建立经验模型,外推预测会产 生较大误差; (3)是由于人口政策和生育观念的改变使人口数增 长规律发生较大的改变 九.(分析题目) (飞行管理问题)在约10,000米高空的某边长 160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞 行区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数 据,以便进行飞行管理当一架欲进入该区域的飞机到 达区域边缘,记录其数据后,要立即计算并判断是否会 与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞,则应计算如何 调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角,以避免碰 撞。现假定条件如下: 1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8 公里
（1）请你仔细分析数据，绘出数据散布图并选择合 适的函数形式对数据进行拟合； （2）用你的经验回归模型试计算：以 1960 年为基 准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达到 100 亿？ （3）用你的模型估计 2002 年的世界人口数，请分 析它与现在的实际人口数的差别的成因. 解答 该题目考核对已建立模型的分析与检验。 1．根据数据散布图，可选择线性函数、指数函数 或其它合理的函数形式拟合数据，建立经验模型； 2.分析你的经验模型预测的人口数与实际人口数 的差别的成因，一般有： （1）模型的函数形式选择不当； （2）根据较少的数据建立经验模型，外推预测会产 生较大误差； （3）是由于人口政策和生育观念的改变使人口数增 长规律发生较大的改变. 九．（分析题目） （飞行管理问题）在约 10，000 米高空的某边长 160 公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞 行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数 据，以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到 达区域边缘，记录其数据后，要立即计算并判断是否会 与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何 调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰 撞。现假定条件如下： 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8 公里；
2)对飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30 度 3)所有飞机飞行速度均为每小时800公里; 4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区 域内飞机的距离应在60公里以上; 5)最多需考虑6架飞机; 6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模 型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差 不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量 1请仔细阅读题目,并将题目中的关键词列出: 2用关键词联想法形成对问题及问题的解决初步理 解和把握; 3用问题分解法给出问题的初态、目标态及过程 解答该题目不能照抄老师的教案,因为3个问题各 有要求,并且要发挥自己的创新性。 (1)写出题目中原有的关键词,考察对问题进行前 期分析时抓住问题的关键及要点的能力 (2)给出自己对问题的初步理解及解决问题的初步 想法,关键词联想法是其中的方法之 (3)考核你对问题的整体把握能力
2）对飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时 800 公里； 4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区 域内飞机的距离应在 60 公里以上； 5）最多需考虑 6 架飞机； 6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模 型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差 不超过 0.01 度）.要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量 小。 1.请仔细阅读题目，并将题目中的关键词列出： 2.用关键词联想法形成对问题及问题的解决初步理 解和把握； 3.用问题分解法给出问题的初态、目标态及过程. 解答 该题目不能照抄老师的教案，因为 3 个问题各 有要求，并且要发挥自己的创新性。 （1）写出题目中原有的关键词，考察对问题进行前 期分析时抓住问题的关键及要点的能力. （2）给出自己对问题的初步理解及解决问题的初步 想法，关键词联想法是其中的方法之一. （3）考核你对问题的整体把握能力