中国古代数学的萌芽 与发展 数学,这个人类智慧的结晶,这个人类文明的 显明标志,它是一切自然科学的前提和先声,自然 科学的巨大成就,往往依赖数学的巨大成就。人类 开始懂得并应用数学,标志着人类掌握科学知识 的开始,标志着人类文明由自发阶段走向自觉阶 段的巨大飞跃,标志着人类对于自己智力的巨大 觉醒数学是人类思维创造力的巨大提高,谁最先 懂得数学,谁就更高一级地塑造了自身的文明,谁 就是天之骄子。 中国和印度、埃及、巴比伦,被称为世界四大 文明古国,它们像四驾巨大的马车载着自己的民 族最先悠悠自得地驶进了人类文明的领地。其文 1
明的程度标志在文化科学的多个方面,而重要的 标志则是数学的最先产生和发展,这四大文明古 国都以其最早的数学成就宜告着他们古代的先 进。而中国则是其中的佼佼者,中国古代,以其最 早发达的数学成就,带动了最早发达的科学文化, 而并列于最古老的文明古国之中。 中国古代数学的成就是很突出的,中国数学 家一项又一项的最早发现和发明,点燃了一盏又 一盏智慧的明灯,开启了一扇又一扇的文明大门, 为世界人类文明的历史写下了光辉灿烂的篇章。 早在公元前1世纪以前,地球上的许多地方还处 在蒙昧的初民时期,有的地方还在用结绳纪事,有 的还在用扳指头进行简单的计算,有的地方甚至 还没有数的概念,还不知道数学是什么东西,而我 聪明的中华民族,不仅最先懂得了数学,而且相 继解决了初等数学上一个个重要问题。他们用十 进位计算着自已的财物,用特有的筹算计算着各 种事物;用规和矩画出了标准的圆和方形等多种 几何图形,有了成系统的墨经几何,用幻方锻炼数 学思维,并且发现了勾股定理和不定方程,创造了 奇妙的“0”(零), 我国这些世界上最早、最丰富的数学成就,不 仅是我国数学的开端,也是世界数学的开端,对世 界数学的发展有着很深远的影响,它好像敲醒黎
明的一阵清越的钟,它的声响长久地回荡在人们 的耳际 我们中国古代的数学,从它第一阶段的萌芽 和发展开始,就带有很好的科学简明性,它的整个 体系都是严谨的、精练的、实用的,如同我国古典 诗词那样玲珑剔透,通体圆明。 在这一章里,让我们介绍公元前5000年到公 元3世纪初期中国数学的起源及早期发展情况, 以了解离我们几千年的祖先们巨大的聪明才智, 以及他们为探索科学、发现真理而矢志不渝的崇 高精神和伟大的创造力。从这些实实在在的历史 材料中我们可以看到,炎黄文化是人类文明极其 重要的历史源头之一。 ()十进位值制—中国的专利 随着社会的发展,需要计算财产的数目,这促 使人们创造数的名称和记数方法。由于计算大数 的需要,慢馒地各种进位制也就应运而生。其中, 十进制始终是主流 我国早在原始社会就形成了十进制系统。距 今6000年前的西安半坡村人和陕西姜寨人已掌 握了一到九的全部数目,而且会刻画符号。如×表 示5,表示6,表示7,)(表示8,节表示9,/表
示10,)表示20。据史料也可以认为,在5000年 以前原始社会的中国人至少已经掌握了30以内 的自然数,而且是一个十进制系统。我国数的概念 大约形成于新石器时代末期,距今约4600年以 前。我国上古时期知道算数的就有伏羲、锤、商高、 周公、荣方、陈子等人,说明距今4600年到2000 年这段时间里,我国不仅已经有了数的概念,而且 有了算数的专家,至迟到商代我国就有了完整的 十进位值制系统,有了固定的大数名称十、百、千 万,至少可以写出三万以内的任意自然数,《殷契 粹编》中记有:“癸卯卜……其囗三万”的数字。后 来到春秋战国时代又出现了亿、兆、京、垓等单位, 都是十进的。例如《书经》中言及:“兆民”;《逸周 书》世俘篇中有:“凡武王俘商旧玉亿有百万”;《初 学记》器物部佩下,写作:“亿有八万”,这证明古代 是十万为一亿,是十进数。不像我们现在这样规定 万万为亿”,现在我们采用的进制其实是我国古 代的三种进制的结合使用 历史传说纷纭,《目氏春秋》吕不韦主编,公 元前3世纪人)的《勿射篇》中说:“黔如为虑首,史 言作算之始也”《世本》中记载:“隶首作算数”。“隶 首”,“虑首”都指的是一些善算者。《数术记遗》中 写道:“隶首注术,乃有多种”及“黄帝为法,数有十 等,及其用也,乃有三焉”。“十等”指亿、兆、京、垓 4
秭、壤、沟、涧、正、载十个大数名称。“三等”指大数 有三种进位制。下数十进位,中数万进位,上数则 数穷则变”,即上数是“万万为亿,亿亿为兆,兆兆 为京,……我们将这三等数列表比较就是下面的 关系: 万亿兆京垓秭壤沟|涧正 等10410101(1021001270+0321010“10204810409 中等10410101210a10210241021021036104104 1041051061071010°1o10110121011014 从表中我们可以看出,下等数完全是十进制 的我国最先能用九个数字表示任意大的数,并且 知道用空位来表示零,是完整的十进位值制。春秋 战国时期普遍使用筹算,十进位值制就更加明确 世界各国各地区所创造出来的记数方法,各 有优点,但远比不上我国的十进位值制记数法。看 了下文您就清楚 古巴比伦,用楔形符号记数。他们用一种断面 呈三角形的小木条当笔,在泥板上按不同方向刻 出楔形符号。而且只由两个基本符号p(表示1) 和《(表示10)构成。这样一来,就表示2表 示3,或表示4和表示11表示12心表示
20古巴比伦人的记数法六十进位值制,他们不仅 懂得满六十向高进一位,还懂得位值制,一个数码 表示的数要看它们所处的位量来决定,D在第 位表示1,在第二位就表示60,在第三位则表示 3600要表示364,就刻成,其中这一堆算 第一位,表示4表示第二位和第三位,右边的 身表示60,左边的·表示3600,加起来就是 3664。这是距今4000多年以前的东西,是很了不 起的不过有些时侯也令人分辨不清,因为它的某 位上可以有一堆符号,也可以只有一个符号,所以 到底是表示3664还是124呢?很难说,如果 把算作第二位,它就表示120,而不是3660。另 外他们规定少表示100,那么》就表示300, 即表示100×3,4表示1000,即100的10倍, 《表示1000,即100×10×10,这倒底算什么 进位制呢?又你是十进制了,也有些叫人分辨不 清。还有,它没有零的符号,也是个缺点。 古埃及有象形文字,用(一竖)表示1,用∩ (一根锰骨)表示10,用或P(一卷绳)表示100, 公(一朵莲花)表示100,(一个伸着的手指) 或(弯着的手指)表100(一只鸟)表示 10000(一个受惊的人)表示10000表示 10000000这种记数方法,是十进制,不过他们还 不懂得位值制,所以计数麻烦。例如把3420写成
EEe@PQ∩∩,就得画9个符号才行,要表 示数689就得画23个符号才行。因为他们虽然懂 得十进制,但不懂得位值制,无法简便。同时他们 也没有符号零。 古希腊人的数字也很笨重,他们用的符号是: ‖‖r△H区 234510100100010000 把13表示为△‖,18是△P‖,50写成,500写 成『H,3420表示为×××HHHH△△,表示689 也要用一长串符号。他们也是只懂得十进制而不 懂得位值制。到公元5世纪,希腊人采用了字母记 数法,他们把头9个字母表示1—9,接着的9个 字母表示100—900,并规定在任何数的前面划一 道,就表示原数的1000倍。这样一来,大数虽好 写,但计算困难,而且把字母全部用完了,这给代 数学的发展带来困难,不好再把字母代表任何数 了。对比我们中国,不仅采用了十进制,还懂得位 值制,5在个位上表示5个,在十位上表示50,在 百位上表示500,…,多么方便,便于计数,又便 于运算,我们的祖先真聪明! 古罗马的记数符号有 I v x L C 151050"100 5001000 于是20表示为XX,1987表示为 MDCCCCLXXXVⅡ也很笨拙,做加减法都很困
难,会做乘除法简直是专家了。他们也是吃了不懂 位值制的亏。但12世纪以前的欧洲流行这种方 法,有的国家16世纪还用。 公元初年中美洲的马雅人的记数方法也很有 趣,他们只用三个符号(点,横和椭圆)就可以写出 任意自然数。“·”表示1“一”表示5,加一个椭圆 表示放大20倍,加第二个棉圆表示乘以18。这 样,9被写成…,三表示10,如表示20,密表示 360,但它表示大数也麻烦。马雅人懂得位值制的 道理,但可惜用的是20进制,基数很大,符号较 少,使用也不方便。况且第二个椭圆表示乘以18, 再高次的形式又为(18)(20),不好叫它做20进 位值制。不过它另外有一个优点,有零符号,画得 像一只贝壳或半闭的眼睛④。 从以上介绍我们知道,古代巴比伦和马雅的 记数法,不是十进制埃及、希腊、罗马笭地虽用十 进制,但又不是位值制。所以尽管他们有各自的优 点,也克服不了其致命的缺点,他们不能把十进制 和位值制统一于一体,计数不能做到简便,运算就 更麻烦了。相比之下显得我们的祖先聪明多了, 开始就知道采用十进制,而且还知道结合使用位 值制。使计数和计算变得容易。这是我国古人对 世界数学的一项杰出的贡。 公元6世纪以前,印度人还不懂得位值制,印
度关于位值制的最早刻板记录见于公元595年, 比我国约晚了2000年。但印度人在学习了我国的 记数方法以后,创造了一套数字,有可以一笔连书 的优点,便于书写,这是进步的地方。8世纪印度 数字传到了阿拉伯,阿拉伯数字是由希腊和印度 数字传入而发展形成的这就是数学史上著名的、 现在世界上通用的印度—阿拉伯数码的来历。 如上所说,阿拉伯数码与中国数学的关系就很明 显了,是血缘关系!有了阿拉伯数码1,2,3,4,5, ……,十进位值制得到了最后的完善表达形式 二)筹算——特有的计算之花 我国古代怎样算数呢?是用棍子算数,很有 趣。他们称这种特制的棍子为“筹”,“筹”是粗细相 同,用竹、木、骨、铁或象牙制成。它起源很早,到春 秋战国时普遍使用。秦汉时已制度化。《说文解 字》竹部中说:“算:从竹从具,长六寸,计历数者”, “算”是计数所用的竹制工具。我国古代的算字是 “算”,就是弄竹的意思。“算”有时叫做“筹”,后来 人又叫它“算子”,“策”、“策筹”等名称。《汉书 《律历志》说:“其算法用竹,径三分,长六寸”,《隋 书》律历志》说:“其算用竹,广二分,长三寸。”其 寸约为现在的2.65市寸,广即算筹的直径,广
二分约等于现在的1.77市分。从汉到隋,算筹渐 渐改得短小,便于运用。算筹不用时备有盛贮的 “算子筒”,外出时有便于携带的算袋 计算时放在特制的盘中或桌子上。布棍有两 种摆法: 纵式:‖·十什而而 横式: 三⊥上 5 6789 个位、百位、万位用纵式,十位、千位用横式,即所 谓“一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。满 立以上,五在上方,六不积算,五不单张”。次序是 从右到左,纵横相间。 例如,把356摆成川≡T。遇有零就空位,或 用口代表零。如把3056摆成≡≡T。这是公元前 3世纪就有了的事 加法例子:7539+304=7843,如图1.1 皿三1 |山叫≡叫干 图1.1 图1.2