E.1.吉米多维奇 数学分析习题集题解 费定睴周学圣编演 郭大钧邵品琮主审 山东科学技术出版社
目录 第三章不定积分 1 §1.最简单的不定积分 §2.有理函数的积分法… ……2 §3.无理函数的积分法………137 §4.三角函数的积分法……………I97 §5.各种超越函数的积分法…245 §6.函数的积分法的各种例子 275 第四章定积分 …309 §1.定积分作为和的极限 ………309 §2.利用不定积分计算定积分的方法 §3.中值定理… …03 4.广义积分 …………17 §5.面积的计算法……474 §6.弧长的计算法 498 §7.体积的计算法 ……………512 §8.旋转曲面表面积的计算法 …………534 §9.矩的计算法重心的坐标546 §10.力学和物理学中的问题… ……557 §11.定积分的近似计算法……………570
第三章不定积分 §1.最简单的不定积分 1°不定积分的概念若f(x)为连续函数及F(x)=f(x)则 式中C为任意常数 2°不定积分的基本性质: )faf(x)dx=af(x)dx(A=常数) (r)(x) +g(x)dx f(x)dx g(x)dx. 3最简积分表: + 1.xdx=x+c(n≠-1) n+1 .ax =ln|x|+C(x≠0); x dx farctgx+C. 1+ -arcctgx+C; IV. d 1x+c dx farcsinx+C, -x2 -arccosx+C; Ⅵ. dx n|x+√x2±1+; x2±1 1
W. adr=ina+c(a>0,a1) fe'drse'+c Ⅵ. sin.xdx Ⅸ. cos rdr=sinx+C; d ctg+C cos- XE.shad chx+C, chxdx=shx+C shi hr+c dr char=thr+c 4°积分的基本方法 (a)引入新变数法若 f(r)dx=F(r)+c 则 f(a)da=F(u)+C,式中a=fx) (6)分项积分法若 f(x)=f(x)+f2(x) 则 j/a减k=j/(xdx+J/xx ()代入法假设 x=t),式中y(t)及其导函数φ'(t)为连续的, 则得 f(r)dx=co(2)3o'(r)de (r)分部积分法若v和v为x的可微分函数, 则 LE正
利用最简积分表,求出下列积分 1628.(3-x2)3dx. 解(3-x2)4dx=(27-27x2+9 27x-9x3+÷x5 +C. 1629 解1x2(5-x)dx (625x2-500x3+150x4-20x5+x6)dx x3-125x1+30 10 + c 1630.(1-x)(-2x)(1-3x)dx 解(1-x)(1-2x)(1-3x)dx =(1-6x+11x2-6x3)dx x-3x+1x3-3x+C 1631. 解 12 本章在叙述习题及其解答过程中,凡出现的函数,无论是被积函数还是原 函数,均默认是在有意义的定义域上进行的例如最简积分表中里当n≤-2 时,要求x≠0pⅣ中要求|x!≠l;V中要求x|1;等等,就未加声明.在题解中也有相当多的类似情况.因此,如无特别声 明在一般情形下,这些定义域是很容易被读者确定的此处就不再予以一一指 明 题解》编者注
2Inxl+r+c 1632 +2+23|d 解(2++别4g=h1-=-2+c 1633. 1 d 解 (r2+r-t)dx √x+2√x+ 1634 d 解 (x}-2x+x-÷)d xJx-姓4x%x+4yx+C. 5 1635 解 I)dr 3x-3+3 1十 52 8x/+C 1636 1l√x√
解|1 dr x 4 4(x2+7) +4x=￥+C C 7√ 1637. $3I)dx. √2x-3x)2 (2-2972x"+v9r-i) dx 12972x+3y9x2 5 1638.(√x+x+2 解 dr f(a+3 nr C 4.I 1639 d 1+ 解 dr 1 +1 dx arctic 1640 ac 1 d
+c 1641 解 P∞。 2In 1642. ∫士A一二a 解 x2+ √1一x√+x arcsinx In(x + v1+r2)+c 1643. 解 1 √x2-i√x2+1 dx n\rt +C 1 1644.(2x+3)adx. 解(2+3)dx=(4+2·62+9)dx 6 +。十C Ing 6
164 解∫1024-21-() n5(3+2(2 1646. 1 d 解 +1)dx 1647.(1+sinr cosr)dr. N(1+sint+cosx)dx =x-cos+sinr+C 1648.「√1-sm2adx 解 nardo cos. I Csgn(cosT- sinx))(cosr- sinr)dr (sinx cosr).sgn(cosr- sinr)+C. 1649 ct2 g tdl. t ctg2xdx= (csc2x- 1)dx=-ctgr-r+C 1650. tg'xd x m tg2xdx =(sec2x-1dx=tgr -r+C
1651.(ash.x +bch.x)dx f (ushr +bch)dx=achx +bshx+C 1652. th2xdr 解|th2xd th 2x hx+C 1653. cth2rdx 解cth2xd thx+c 1654.证明:若 f(x)d F(r)+c 则 Caa t b)dx =FCar+6)+c(a+ox 证由f(x)dx=F(x)+C得知F(x)=f(x).因 而有F(ax+b)-/(ax+6),且(axx+b) F(ax+b),于是 di(d F(ax+b))=f(ax+6) 所以 (ax 6)dx=F(ax+b)+ 求出下列积分: 1655