东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第二章 随机变量（2.7）随机向量函数的分布（郑永冰）

随机向量函数的分布

随机向量函数的分布

离散型随机向量函数的分布 例设随机变量X1与X2相互独立,分别服从二项分布 B(n1p)和B(n1p),求Y=x计+X2的概率分布 解依题知Ⅹ+Y的可能取值为0,1,2,…,n1+n2,因此 对于k(k=0.,1,2,…n1+n2),由独立性有 P(Y=k)=>P(X=k1, X2=k2) K,+k,=k ∑CAp(1-P n-kI ck2 nk (1-p) k+k2=k ∑ChC,p(1-p) n+n2-k K1+k2=k 由∑C4Ch=C+得P(Y=k)= Cmim p(1-p) n, tna-k K1+k2=k 所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2p)

例 设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布 B(n1 ,p)和B(n1 ,p)，求Y=X1+X2的概率分布. 解 依题知X+Y的可能取值为0,1,2,...,n1+n2,因此 对于k (k= 0,1,2,...,n1+n2 )，由独立性有   + = − − + = = − − = = = = k k k k k n k n k k n k n k k k C p p C p p P Y k P X k X k 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 (1 ) (1 ) ( ) ( , ) 1 1 2 2  + = + − = − k k k k k n n k n k n C C p p 1 2 2 1 2 2 1 1 (1 ) k n n k k k k n k Cn C C 1 2 1 2 2 2 1 1 + + = 由  = 得 k k n n k Cn n p p + − = + − 1 2 1 2 P(Y = k) (1 ) 所以Y=X1+X2服从二项分布B(n1+n2 ,p) 离散型随机向量函数的分布

连续型随机变量和的概率密度函数 例设随机变量X1和X2相互独立,概率密度函数分别为f1(x) 和f2(x),求Y=X计+X2的概率密度函数 解对任何a<b,令y=x1+x2,则 P(a<Y<b)=Pa<X1+X2<b)=∫(x)(x)2 a<x,+x<b fi(-xf(xdx p 所以,Y的概率密度函数为f(y)=f(y-x)/2(x) +oo 作变换tyx,又可得f(y)=f(x)2(y-x)x

例 设随机变量X1和X2相互独立,概率密度函数分别为f1 (x) 和f2 (x),求Y= X1+X2的概率密度函数. 解 对任何a<b,令y=x1+x2 ,则   +    =  +  = a x x b P a Y b P a X X b f x f x dx dx 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 f (x ) f (x )dx dx b x  a x + − − −       = 2 2 1 2 2 f (x ) f (y x )dy dx b  a + −       = − f y x f x dx dy b a        = − + − ( ) ( ) 1 2 所以,Y的概率密度函数为  + − f y = f y − x f x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2 作变换t=y-x,又可得  + − f y = f x f y − x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2 连续型随机变量和的概率密度函数

结论1两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随 机变量 即若随机变量X1和X2相互独立,概率密度函数分别为 f1(x)和f2(x),则Y=X1+X2的概率密度函数为 + fr()= f(y-x)2(x)dx If(x)f2(y-x)dx

结论1 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随 机变量. 即 若随机变量X1和X2相互独立，概率密度函数分别为 f1 (x)和f2 (x)，则Y= X1+X2的概率密度函数为  + − f y = f y − x f x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2  + − = f (x) f (y − x)dx 1 2

例设随机变量X和Ⅹ2相互独立,且均服从标准正态分布 N(1)求Y=x1+X2的概率密度函数「y~N(0,2) x 解由题意得f(x)= e2,f2(x2) 丌 X1和X2相互独立,故 (y-X)- +oO fr()=.f(y-x)2(x)dx e 2 e 2 dx 2丌 (x +oO 4 e 2丌 2 4 2 dt e 2√2丌 2√

例 设随机变量X1和X2相互独立,且均服从标准正态分布 N~(0,1),求Y= X1+X2的概率密度函数. 解 由题意得  + − f y = f y − x f x dx Y ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 , ( ) 2 1 ( ) x x f x e f x e − − = =   X1和X2相互独立,故  + − − − − = e e dx x y x 2 ( ) 2 2 2 2 1   + − − − − = e e dx y x y 2 2 ) 2 ( 4 2 1  2 2 y x t 令 = −  + − − − = e e dt y t 4 2 2 2 2 2 1  ( ) 2 =   + − − e du u 4 2 2 1 y e − =  Y ~ N(0,2)

随机变量函数的概率密度函数另一求法-分布函数法 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(xy),记Z=gX,Y) (1)求Z的分布函数 F(=)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z) f(x, y)dxdy g(x,y)≤z (2)对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z

设随机向量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),记Z=g(X,Y). (1) 求Z的分布函数 F(z) = P(Z  z) = P(g(X,Y)  z)   = g x y z f x y dxdy ( , ) ( , ) (2) 对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z). 随机变量函数的概率密度函数另一求法----分布函数法

例设随机变量X与Y独立,概率密度函数为 2 x>0 e 少>0 fx(x)=√z ,f(y)={√x 0 其他 其他 求Z=√X2+y2的概率密度函数(4 解(XY)的联合密度函数为f(xy)={z x>0,y>0 0 其他 (1)z<0时,F2(z)=P(Z≤z)=P(VX2+y2≤)=0(=)=0 2ze-z≥0 f2(z)= 0 z<0 4c =2 d0 rdr=1-e f,(2)=2ze

例 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为       =       = − − 其他 0 其他 0 2 , ( ) 0 0 2 ( ) 2 2 e y f y e x f x y Y x X   . 求Z = X 2 +Y 2 的概率密度函数 解 (X,Y)的联合密度函数为        = − + 0 其他 0, 0 4 ( , ) ( ) 2 2 e x y f x y x y  (1) 0 , ( ) ( ) ( ) 0 2 2 z  时 FZ z = P Z  z = P X +Y  z = z F z f x y dxdy X Y z Z  +   = 2 2 (2) 0时, ( ) ( , ) e dxdy X Y z x y  +  − + = 2 2 2 2 4 ( )    − = 2 0 0 4 2     d e rdr r 2 1 z e − = − f Z (z) = 0 2 ( ) 2 z Z f z ze − = 所以,       = − 0 0 2 0 ( ) 2 z ze z f z z Z

例设随机向量(X,Y服从区域 D={(xy)1×3,1sy≤3}上的均匀分布,求U=XY的概率密 度函数 y-x-u 解(X,Y)的联合概率密度为 y-x--u x=-2 f(x,y)={4 ≤x≤3,≤y≤3 0其它 (1)u≤0时F(u=0f(u)=0 由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点 (2)0<u<2时,F(l) axa G f(u)=1-u/2 x-y≤l D 4 (3)u2时,F(u)=1f(u)=0 1--l0<l<2 所以f() 2 0 其它

例 设随机向量(X,Y)服从区域 D={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,求U=|X-Y|的概率密 度函数. 解 (X,Y)的联合概率密度为          = 0 其它 1 3,1 3 4 1 ( , ) x y f x y 1 3 3 1 (1) u≤0时,F(u)=0 y-x=u y-x=-u y-x=-2 由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点. (2) 0<u<2时, F u dxdy x y u  −  = | | 4 1 ( ) G 4 2 u u S S D G = = − (3) u≥2时,F(u)=1 f (u )=0 f (u )=1-u/2 f (u )=0 所以      −   = 0 其它 0 2 2 1 1 ( ) u u f u

(2)商的分布 求z=X(Y≠0)的概率密度函数 对于任意的实数z,有 F2(=)=P{Z≤2} P Y ∫(x,yxc D.-0 y (小 x,y)ar ay

（2） 商的分布 F (z) P{Z z} Z =  ( )   =  = z y x Dz z f x y x y Y X P : { } , d d ( ) ( )       = + 0 : 0 : , d d , d d y x yz D y x yz z Dz f x y x y f x y x y f (x y) x y f (x y) x y y z y z , d d , d d 0 0  −  + + −        +      = Y X 求 Z = （Y≠0）的概率密度函数． 对于任意的实数z，有

对固定的y和z,先作变换x=y,y 则有 x= yz Z>0 F2(2)-10(1→.f(y)df0fr (2y,/a uy, y)au ay 小·f(y,y)ndy 图3.7 ∫[=(g,)y)yk 所以 (2)=J圆p(,y 若X与Y相互独立,则 + f2(z)=[l y|f(y). fr(]dy

y •图3.7 •o x = yz x Z  0 对固定的y和z，先作变换 x = uy ， F z y f (uy y) u y y f (uy y) u y z z Z ( ) , d d , d d 0 0   −  +  − −        +       =  ( )   + − −     = y  f uy, y du dy ｚ ( ) −  + −     =  z y f uy，y dy du f z y f (zy y) y Z ( ) , d  + − =  f z y f zy f y y Z ( ) = [| | X ( ) Y ( )]d  + − 则有 所以 若X与Y相互独立，则