东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第二章 随机变量（2.3）几种常见的连续型分布（郑永冰）

23}儿神见的连型分布

2.3 几 种 常 见 的 连 续 型 分 布

均匀分布 若R.X在有限区间(a,b)内取值,且 ∫(x)=1b-a a<x<b 其他 则称X在区间a,b)上服从均匀分布。记为X~(a,b) 当(c,d)c(a,b)时, f(x) Pc<x<dy= f(x)dx 1 d cb-a d-c a c d b b

       = − 0, . , , 1 ( ) 其 他 a x b b a f x 1. 均匀分布 若R.V. X在有限区间(a,b)内取值，且 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为X～U(a,b). a b x f(x) c d 当(c,d)  (a,b)时， P{c  X  d}  = d c f (x)dx  − = d c x b a d 1 b a. d c − − =

只与区间长度有关,与区间的位置无关。即X落在两 个长度相等的x区间内的概率相等。具有上述特点的随 机变量便是均匀分布的随机变量。 如:测量物体长度时读数的舍入误差服从均匀分 布。在(a,b)上随机掷质点。X表示质点的坐标,则 般认为X~U(a,b) X的分布函数为 x<a F(x) x-a ,a≤x<b b x≥b

如：测量物体长度时读数的舍入误差服从均匀分 布。在(a,b)上随机掷质点。X表示质点的坐标，则一 般认为X～U(a,b).           − −  = 1, . , , 0, , ( ) x b a x b b a x a x a F x 只与z区间长度有关，与z区间的位置无关。即X落在两 个长度相等的z区间内的概率相等。具有上述特点的随 机变量便是均匀分布的随机变量。 X的分布函数为

2.指数分布 若随机变量X具有概率密度 e-,x>0 ∫(x)= 0 x 0是分布的参数。 例如,电子元件的使用寿命,各种随机服务系统 的服务时间,等等都可以认为是服从指数分布的。 X的分布函数为 F(x)= 1-ex,x>0 0,x≤0

若随机变量X具有概率密度       = − 0, 0 e , 0 ( ) x x f x x  2. 指数分布 则称随机变量X服从指数分布, 记作X～e()，其中＞ 0是分布的参数。 例如，电子元件的使用寿命，各种随机服务系统 的服务时间，等等都可以认为是服从指数分布的。 X的分布函数为      −  = − 0 , 0. 1 e , 0 ( ) x x F x x

例3某电子管的寿命(单位:h)服从指数分布 其概率密度为 1000 e 1000 f(x)= 1000 3r>0 x<0 (1)求这种电子管能使用1000h以上的概率; (2)三个这种管子中恰有一个能使用1000h以上的 概率

       =         − 0, 0. e , 0, 1000 1 ( ) 1000 1 e 3 ( h) 1000 x x f x X x ，其概率密度为 例 某电子管的寿命 单位： 服从指数分布 (1)求这种电子管能使用1000h以上的概率； (2)三个这种管子中恰有一个能使用1000h以上的 概率

解:(1)P(X≥100=f(x)dx= e 1000 dx 1000 01000 e 1000 1000 (2)y:三个电子管中使用1000k以上的管子数。 y~B(3,e-) Py=1=C3e (I-e) 指数分布具有无后效性

解：(1) P{X 1000}  + = 1000 f (x)dx  + − = 1000 1000 e d 1000 1 x x +  − = − 1000 1000 e x e . −1 = (2) y:三个电子管中使用1000h以上的管子数。 (3,e ) −1 y～B P{y =1} e (1 e ) . 1 1 1 2 3 − − = C − 指数分布具有无后效性

设寿命X(单位:年)~e().F(x)= ,x>0 x≥0 Vst>0 PX>S+tX>s PX>S+t,X>s PX>S PX>S+t 1-F(s+t) PX>S 1-F(s) e (s+t) eas= a=1-F(t) =PX>t}与s无关

     −  = − 0 , 0. 1 e , 0 ( ) x x F x x 设寿命X(单位：年)～e(). s,t  0 { } . e 1 ( ) e e 1 ( ) 1 ( ) { } { } { } { , } { | } ( ) P X t 与s无 关 F t F s F s t P X s P X s t P X s P X s t X s P X s t X s t s s t =  = = = − − − + =   + =   +   +  = − − − +   

3.~正态( Norma)分布 它是最重要的连续型随机变量的分布。 若随机变量X具有概率密度 f(r) e 2σ 000)为常数,则称X服从参数为2的正态 分布,记为X~N2) p:位置参数 σ越小,X的取值越集中, 2丌o σ2越大,X的取值越分散

3. 正态(Normal)分布 它是最重要的连续型随机变量的分布。 若随机变量X具有概率密度 其中, ( >0)为常数，则称X服从参数为,2的正态 分布， e , , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = −    +  − − f x x x     记为X～N(,2 ). x 2  1  f(x)  :位置参数  2 越小，X的取值越集中，  2 越大，X的取值越分散

N(0,1):标准正态分布 其概率密(x)=—e2,-∞<x<+ 2兀 其分布函数()=∫ e 2 dt 2元 d(x)=1-Φ(x) Φ()=0.5 X~N(0,1) P{X≤a}=(a) 1-(x) 查表计算

N(0,1)：标准正态分布 e , . 2 1 ( ) 2 2 = −   +  − x x x  其概率密度 e d . 2 1 ( ) 2 2 x t x t − −  =  其分布函数= 0.5. X～N(0,1) (−x) =1− (x) (0) x 1− (x) −x (−x) (x) O x 查表计算 P{X  a} = (a)

设X~N(p,a2),其分布函数 2 F(x) e 2o dt √2兀 x-1 e dt=od 2兀 X~N(2a-2) PIX≤a=F(a)=c - b-1 - P<X<b=F(b)-F(a)=①

y t = −   ( , ), 2 设X～N   F(x) = 其分布函数 dt =dy y x y e d 2 1 2 2  − − −    t x t e d 2 1 2 2 2 ( ) − − −             − =   x  ( , ) 2 X～N   P{X  a} = F(a) ,         − =   a  P{a  X  b} = F(b) − F(a) .         −   −        − =     b  a