(数学模型 第十章统讣方法建模 10.1牙膏的销售量 10.2软件开发人员的薪金 10.3酶促反应 10.4投资额与国民生产总值和 物价指数
第十章 统计方法建模 10.1 牙膏的销售量 10.2 软件开发人员的薪金 10.3 酶促反应 10.4 投资额与国民生产总值和 物价指数
(数学模型 数学建模的基本方法机理分析测试分析 由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制, 无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规 律的数学模型。 通过对数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型 回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型 不涉及回归分析的数学原理和方法 通过实例讨论如何选择不同类型的模型 对软件得到的结果进行分析,对模型进行改进 ④O
回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 • 不涉及回归分析的数学原理和方法 • 通过实例讨论如何选择不同类型的模型 • 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进 由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制, 无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的数学模型
(数学模型 10.1牙膏的销售量 问建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 题预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用,及同期其它厂家同类牙膏的平均售价 销售本公司价其它厂家广告费用价格差销售量 周期格(⑦元)价格(元)(百万元)(元)(百万支) 3.85 3.80 5.50 0.05 738 2 3.75 4.00 6.75 0.25 8.51 ●● ●● 29 3.80 3.85 5.80 0.05 793 30 3.70 4.25 680 0.55 926 ④O
10.1 牙膏的销售量 问 题 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价 30 3.70 4.25 6.80 0.55 9.26 29 3.80 3.85 5.80 0.05 7.93 2 3.75 4.00 6.75 0.25 8.51 1 3.85 3.80 5.50 -0.05 7.38 销售量 (百万支) 价格差 （元） 广告费用 (百万元) 其它厂家 价格(元) 本公司价 格(元) 销售 周期
(数学模型 基本模型 司牙膏销售量 其它厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用 7.5 -02 04 Bo+ Bix+B2x2+B3x2+e y=B+B,x,+8 y被解释变量(因变量) 95 x1,x2解释变量回归变量,自变量) An,B,B,B-回归系数4 75 ε~随机误差(均值为零的 5.5 正态分布随机变量) +B1x2+ B2 x+￡
基本模型 y ~公司牙膏销售量 x1 ~其它厂家与本公司价格差 x2 ~公司广告费用 = + + 0 1 1 y x = + + + 2 0 1 2 2 2 y x x 5 5.5 6 6.5 7 7.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 x2 y -0.2 0 0.2 0.4 0.6 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 x1 y = + + + + 2 0 1 1 2 2 3 2 y x x x x1 , x2 ~解释变量(回归变量, 自变量) y~被解释变量（因变量） 0 , 1 , 2 , 3 ~回归系数 ~随机误差（均值为零的 正态分布随机变量）
数学模型 模型求解 MATLAB统计工具箱 y=B+B1x1+B2x2+B3x2+E由数据yx1x2估计B [b,bint rint, stats]=regress(y, x, alpha) 输入y~n维数据向量输出b~的估计值 4数 bint的置信区间 据矩阵第列为全向量x~残差向量yx a1pha(置信水平,0.05)rint~r的置信区间 参数参数估计值置信区间 17.3244 5728228.9206 S七ats~ Bβ 1.3070 06829193111检验统计量 3.6956 -749890.1077 R2, F, p 0.3486 10.03790.65941 R2=0.9054F=829409p=0.000
模型求解 MATLAB 统计工具箱 [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha) 输入 x= ~n4数 据矩阵, 第1列为全1向量 [1 ] 2 1 2 2 x x x alpha(置信水平,0.05) = + + + + 2 0 1 1 2 2 3 2 y x x x b~的估计值 bint~b的置信区间 r ~残差向量y-xb rint~r的置信区间 Stats~ 检验统计量 R2 ,F, p y~n维数据向量 输出 由数据 y,x1 ,x2估计 参数 参数估计值 置信区间 17.3244 [5.7282 28.9206] 1.3070 [0.6829 1.9311 ] -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3
(数学模型 结果分析y=B+Bx1+B2x2+Bx2+6 参数参数估计值 置信区间 17.32445728228.92061 1 3070 10.68291.9311 B2 3.6956 -7.49890.1077 0.3486 0.03790.6594l R2=0.9054F=829409 0.0000 y的90.54%可由模型确定F远超过F检验的临界值 p远小于a=0.05 模型从整体上看成立 2的置信区间包含零点x2对因变量y的 (右端点距零点很近) 影响不太显著 x2项显著 可将x2保留在模型中
结果分析 y的90.54%可由模型确定 参数 参数估计值 置信区间 17.3244 [5.7282 28.9206] 1.3070 [0.6829 1.9311 ] -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3 = + + + + 2 0 1 1 2 2 3 2 y x x x F远超过F检验的临界值 p远小于=0.05 2的置信区间包含零点 (右端点距零点很近) x2对因变量y 的 影响不太显著 x2 2项显著 可将x2保留在模型中 模型从整体上看成立
数学摸型 销售量预测户=+x+x2+,x2 价格差x其它厂家价格x3本公司价格x4 估计x3调整x控制x口通过xnx2预测y 控制价格差x1=0.2元,投入广告费x2=650万元 y=B+Bx1+B2x2+B3x2=82933(百万支) 销售量预测区间为78230,87636](置信度95%) 上限用作库存管理的目标值下限用来把握公司的现金流 若估计x2=3.9,设定x=37,则可以95%的把握 知道销售额在78320×3.7≈29(百万元)以上
2 0 1 1 2 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 销售量预测 y ˆ = + x + x + x 价格差x1 =其它厂家价格x3 -本公司价格x4 估计x3 调整x4 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=650万元 销售量预测区间为 [7.8230，8.7636]（置信度95%） 上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流 若估计x3=3.9，设定x4=3.7，则可以95%的把握 知道销售额在 7.83203.7 29（百万元）以上 控制x1 通过x1 , x2预测y 8.2933 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 y = 0 + 1 x1 + 2 x2 + 3 x2 = (百万支)
数学模型 模型改进y=B+月1x1+B2x2+B2x2+E 和x,对y参数参数估计值置信区间 的影响独立B 73244 15.728228.9206 1 1.30700.6829193111 B2 36956-749890.10771 x1和x2对y B3 0.3486 0.03790.65941 的影响有 R2=0.9054F=82.9409 0.0000 交互作用y=B6+B1x1+B2x2+B3x2+B4x1x2+E 参数参数估计值置信区间 29.1133 13.701344.5252 βBβ 1.1342 1.977820.2906] 7.6080 12.6932-2.5228 0.6712 10.25381.0887 1.4777 2.8518-0.1037 R2=0.9209F2=72771P=0.000+00
模型改进 x1和x2对y 的影响独立 = + + + + 2 0 1 1 2 2 3 2 y x x x = + + + + + 4 1 2 2 0 1 1 2 2 3 2 y x x x x x 参数 参数估计值 置信区间 17.3244 [5.7282 28.9206] 1.3070 [0.6829 1.9311 ] -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 0 1 2 3 参数 参数估计值 置信区间 29.1133 [13.7013 44.5252] 11.1342 [1.9778 20.2906 ] -7.6080 [-12.6932 -2.5228 ] 0.6712 [0.2538 1.0887 ] -1.4777 [-2.8518 -0.1037 ] R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000 3 0 1 2 4 x1和x2对y 的影响有 交互作用
数学模型) 两模型销售量预测比较 控制价格差x;=0.2元,投入广告费x2=65百万元 =B+x+压,=82933(百万支) 区间[7.8230,87636 y=83272(百万支) y=Bo+B,x,+B2x2+B3x2+B4xx2 区间[78953,87592 y略有增加 预测区间长度更短
两模型销售量预测比较 4 1 2 2 0 1 1 2 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ = + x + x + x + x x 2 0 1 1 2 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ = + x + x + x y ˆ = 8.2933 (百万支) 区间 [7.8230，8.7636] 区间 [7.8953，8.7592] y ˆ = 8.3272 (百万支) 控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元 y ˆ 略有增加 预测区间长度更短
(数学模型 两模型y与x1x2关系的比较 y=Bo+Bx+B2x2+B3x2 y=Bo+ Bx+B2x2+B3x2+B4xx 9 9 8.5 8.5 x2=65 8 7.5 -0.2 0.2 04 75 061 -0.2 0.2 0.4 0.6 10.5 9.5 x1=0.295 8.5 9 8.5 7.5 7 8 2 8 2 8
x2=6.5 x1=0.2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 7.5 8 8.5 9 x1 y ˆ -0.2 0 0.2 0.4 0.6 7.5 8 8.5 9 x1 y ˆ 5 6 7 8 7.5 8 8.5 9 9.5 10 x2 y ˆ 5 6 7 8 8 8.5 9 9.5 10 10.5 x2 y ˆ 2 0 1 1 2 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ = + x + x + x 4 1 2 2 0 1 1 2 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ = + x + x + x + x x 两模型 与x1 y ˆ ,x2关系的比较