习题1.1解答 1.将一枚均匀的硬币抛两次,事件A、B.C分别表示“第一次出现正面”,“两次 出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本 点 解:g2={(正,正,(正,反),(反,正),(反,反)} A={(正,正,(正,反)};B={(正,正),(反,反)} C={(正,正,(正,反),(反,正)} 2在掷两颗骰子的试验中,事件A,BC,D分别表示“点数之和为偶数”,“点数 之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及 事件AB,A+B,AC,BC,A-B-C-D中的样本点 解:g={1)(12)…,(16)(21)(22)…、26,…,(61(62)…(66)}; AB={1)13)(2,2(3!)} A+B={11)(13(15)…(62)(64)(66)(12)(2n}; AC=④;BC={1.1(2,2)}; A-B-C-D=15(24)(26)(42)(46)(51)(62)(64)} 3.以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下 事件 (1)只订阅日报 (2)只订日报和晚报 (3)只订一种报 (4)正好订两种报 (5)至少订阅一种报 (6)不订阅任何报 (7)至多订阅一种报:(8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅 解:(1)ABC;(2)ABC; (3) ABC+ABC +ABC: (4) ABC +ABC +ABC (5)A+B+C; (6)ABC, (7)ABC +ABC +ABC+ ABC E AB+AC+Bc (8)ABC;(9)A+B+C 4.甲、乙、丙三人各射击一次,事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明 下列事件所表示的结果:A2,A2+A3,A1A2,A1+A2,A1A2A3 AA2+ A2A3 +AA 解:甲未击中:乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有 一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有 两人击中。 5设事件A,B,C满足ABC≠Φ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和 A+b+C, Ab+C, B-Ac 解:如图:
1 习题 1.1 解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A, B,C 分别表示“第一次出现正面”，“两次 出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 A, B,C 中的样本 点。 解： = (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反） A = (正，正)，（正，反） ； B = （正，正），（反，反） C = (正，正)，（正，反），（反，正） 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 A, B,C, D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及 事件 AB, A+ B, AC,BC, A− B −C − D 中的样本点。 解： = (1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6) ； AB = (1,1),(1,3),(2,2),(3,1) ； A+ B = (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1) ； AC = ； BC = (1,1),(2,2) ； A− B −C − D = (1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4) 3. 以 A, B,C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 A, B,C 表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1） ABC ； （2） ABC ； （3） ABC + ABC + ABC ； （4） ABC + ABC + ABC ; （5） A+ B +C ； （6） ABC ； （7） ABC + ABC + ABC + ABC 或 AB + AC + BC （8） ABC ； （9） A + B + C 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 1 2 3 A , A , A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明 下列事件所表示的结果： A2 , A2 + A3 , A1A2 , A1 + A2 , A1A2 A3 , A1A2 + A2A3 + A1A3 . 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有 一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有 两人击中。 5. 设事件 A, B,C 满足 ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： A+ B +C ， AB+C ， B − AC. 解：如图：
C ABC/ABC ABC ABO AB A Bc ABC ABC B a+B+C=ABC +ABC +abc +abC +abC + abc +ABc AB+C=ABC +C B-AC=ABC +AbC+Abc =BA+ABC BC+ABC 6.若事件A,B,C满足A+C=B+C,试问A=B是否成立?举例说明 解:不一定成立。例如:A=345},B=3},C=4.5} 那么,A+C=B+C,但A≠B。 7.对于事件A,B,C,试问A-(B-C)=(A-B)+C是否成立?举例说明。 解:不一定成立。例如:A=345},B=456},C={6,7}, 那么A-(B-C)=3,但是(A-B)+C=367} 8.设P(4)=1,P(B)=1,试就以下三种情况分别求P(BA) (1)AB=④,(2)AcB,(3)P(AB)=1 (1)P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-; (2)P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)= l13 (3) P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) 8 9已知P(4)=P(B)=PC)=4,P(AC)=P(BC)=1,P(4B)=0求事件 A,B,C全不发生的概率
2 BC ABC BA ABC B AC ABC ABC ABC AB C ABC C A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC = + = + − = + + + = + + + = + + + + + + ; ; 6. 若事件 A, B,C 满足 A+C = B +C ，试问 A = B 是否成立？举例说明。 解：不一定成立。例如： A = 3,4,5， B = 3，C = 4,5， 那么， A+C = B +C，但 A B 。 7. 对于事件 A, B,C ，试问 A − (B −C) = (A − B) + C 是否成立？举例说明。 解：不一定成立。 例如： A = 3,4,5， B = 4,5,6， C = 6,7， 那么 A− (B −C) = 3，但是 (A− B) +C = 3,6,7。 8. 设 3 1 P(A) = ， 2 1 P(B) = ，试就以下三种情况分别求 P(BA) ： （1） AB = ， （2） A B ， （3） 8 1 P(AB) = . 解： （1） 2 1 P(BA) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = ； （2） 6 1 P(BA) = P(B − A) = P(B) − P(A) = ； （3） 8 3 8 1 2 1 P(BA) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = − = 。 9. 已知 4 1 P(A) = P(B) = P(C) = ， 16 1 P(AC) = P(BC) = ， P(AB) = 0 求事件 A, B,C 全不发生的概率。 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC A B C ABC
解:P(BC)=P(4+B+C)=1-P(4+B+C 1-[P(A)+(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) +0 10.每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑 车经过三个路口,试求下列事件的概率:A=“三个都是红灯”=“全红”:B= “全绿”;C=“全黄”;D=“无红”:E=“无绿”;F=“三次颜色相 同”;G=“颜色全不相同”:H=“颜色不全相同”。 解 P(B÷3×3,;PD)=P(E)=2×2×x28 4)=P(B)=P(C-1×1×1_1 3×3×327 2 3×3×39 18 P(H)=1-P(F)=1 99 11.设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三 种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿3次;每次拿1件,取后不放回拿3 次),试求: (1)取出的3件中恰有1件是次品的概率 (2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。 解 次拿3件 (1)P= Can=005881(2)P≈C+Cc 0.0594; 每次拿一件,取后放回,拿3次: (1)P= 32=00576;(2)P=1-98=00588 每次拿一件,取后不放回,拿3次: (1)p2×98×97 ×3=0.0588 100×99×98 (2)P=1-98×97×96 =0.0594 100×99×98 12.从0,1,2,…,9中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率 A1={三个数字中不含0与5},A2={三个数字中不含或5
3 解： P(ABC) = P(A + B + C) = 1− P(A + B + C) =1−P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC) 8 3 0 16 1 16 1 0 4 1 4 1 4 1 1 = = − + + − − − + 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑 车经过三个路口，试求下列事件的概率： A = “三个都是红灯”=“全红”； B = “全绿”； C = “全黄”； D = “无红”； E = “无绿”； F = “三次颜色相 同”； G = “颜色全不相同”； H = “颜色不全相同”。 解： 27 1 3 3 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) = P A = P B = P C = ； 27 8 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) = P D = P E = ； 9 1 27 1 27 1 27 1 P(F) = + + = ； 9 2 3 3 3 3! ( ) = P G = ； 9 8 9 1 P(H) = 1− P(F) = 1− = . 11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三 种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3 次），试求： （1）取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率； （2）取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。 解： 一次拿 3 件： （1） 0.0588 3 100 1 2 2 98 = = C C C P ； （2） 0.0594 3 100 1 98 2 2 2 98 1 2 = + = C C C C C P ； 每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （1） 3 0.0576 100 2 98 3 2 = P = ； （2） 0.0588 100 98 1 3 3 P = − = ； 每次拿一件，取后不放回，拿 3 次： （1） 3 0.0588 100 99 98 2 98 97 = P = ； （2） 0.0594 100 99 98 98 97 96 1 = P = − 12. 从 0,1,2, ,9 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率： A1 = 三个数字中不含0与5， A2 = 三个数字中不含0或5
解 P(A1)= 2C3-C314 P(A2) 或PA2)=1-3 13.从0.12…9中任意选出4个不同的数字,计算它们能组成一个4位偶数的 概率 解:P 5P3-4P241 P 一个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率 (1)6人中至少有1人生日在10月份: (2)6人中恰有4人生日在10月份; (3)6人中恰有4人生日在同一月份 解 (1)P=1=041(2)P=C×112 26=0000614 (3)PsCC6112 126÷00073 15.从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复),计算取出的3张牌中至少有2 张花色相同的概率。 P≈CC+CCC÷0602戚P=/CCCC ÷0.602
4 解： 15 7 ( ) 3 10 3 8 1 = = C C P A ； 15 2 14 ( ) 3 10 3 8 3 9 2 = − = C C C P A 或 15 14 ( ) 1 3 10 1 8 2 = − = C C P A 13. 从 0,1,2, ,9 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的 概率。 解： 90 5 4 41 4 10 2 8 3 9 = − = P P P P 14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率： （1）6 人中至少有 1 人生日在 10 月份； （2）6 人中恰有 4 人生日在 10 月份； （3）6 人中恰有 4 人生日在同一月份； 解： （1） 0.41 12 11 1 6 6 P = − = ； （2） 0.00061 12 11 6 4 2 6 = = C P ； （3） 0.0073 12 11 6 4 2 6 1 12 = = C C P 15. 从一副扑克牌（52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少有 2 张花色相同的概率。 解： 0.602 3 52 1 39 2 13 1 4 3 13 1 4 = + = C C C C C C P 或 1 0.602 3 52 1 13 1 13 1 13 3 4 = − = C C C C C P
习题1.2解答 1.假设一批产品中 、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件,结果不 是三等品,求取到的是一等品的概率。 解 令A1=“取到的是i等品”,i=1,2,3 P(41)=P(44) P(A1)062 P(43)P(A3)093° 2.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合 格品,求另一件也是不合格品的概率 解 j件中至少有一件不合格”,B=“两件都不合格” P(B|4)= P(AB) P(B) P(A)1 P(A)1-%C 3.为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统I和Il两种报警系统单独使用 时,系统I和Ⅱ有效的概率分别092和093,在系统I失灵的条件下,系统Ⅱ仍有效 的概率为085,求 (1)两种报警系统I和Ⅱ都有效的概率 2)系统Ⅱ失灵而系统I有效的概率 (3)在系统Ⅱ失灵的条件下,系统I仍有效的概率 解:令A=“系统(I)有效”,B=“系统(Ⅱ)有效” 则P(A)=0.92,P(B)=093,P(B|A)=0.85 (1) P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) P(B)-P(A)P(B|A)=0.93-(1-0.92)×085=0.862 (2)P(BA)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.92-0862=0058 (3)P(A|B) P(AB)0.058 ÷0.8286 P(B)1-0.9 4.设0<P(A)<1,证明事件A与B独立的充要条件是 P(BLA=P(BJA) →:∵A与B独立,∴A与B也独立 P(BA=P(B), P(B LA)=P(B) P(BJA=P(BJA) :∵:0<P(A)<1∴0<P(A)< P(BIA=P(AB) (B|=(AB) P(A) 而由题设P(B1A)=P(BA):.P(AB)_P(AB) P(A) P(A)
5 习题 1.2 解答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%，从中任取一件，结果不 是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 Ai = “取到的是 i 等品”， i = 1,2,3 3 2 0.9 0.6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 1 3 = = = = P A P A P A P A A P A A 。 2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不合 格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 A = “两件中至少有一件不合格”， B = “两件都不合格” 5 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 2 10 2 6 2 10 2 4 = − = − = = C C C C P A P B P A P AB P B A 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用 时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效 的概率为 0.85，求 （1）两种报警系统 I 和 II 都有效的概率； （2）系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （3）在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。 解：令 A = “系统（Ⅰ）有效” ， B = “系统（Ⅱ）有效” 则 P(A) = 0.92,P(B) = 0.93,P(B | A) = 0.85 （1） P(AB) = P(B − AB) = P(B) − P(AB) = P(B) − P(A)P(B | A) = 0.93− (1− 0.92)0.85 = 0.862 （2） P(BA) = P(A− AB) = P(A) − P(AB) = 0.92 − 0.862 = 0.058 （3） 0.8286 1 0.93 0.058 ( ) ( ) ( | ) = − = = P B P AB P A B 4. 设 0 P(A) 1 ，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是 P(B | A) = P(B | A) 证： ： A 与 B 独立， A 与 B 也独立。 P(B | A) = P(B), P(B | A) = P(B) P(B | A) = P(B | A) ： 0 P(A) 1 0 P(A) 1 又 ( ) ( ) , ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A P A P AB P B A = = 而由题设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) P A P AB P A P AB P B A = P B A =
ap[1-P(A)JP(AB)=P(AIP(B)-P(AB) P(AB)=P(A)P(B),故A与B独立。 5.设事件A与B相互独立,两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都 是,求P(A)和P(B) 解:∵P(AB)=P(AB)=,又∵:A与B独立 P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(AJP(B) P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)=A P(A)=P(B),P(A)-P2(A) 即P(A)=P(B)=-。 证明若P(A)>0,P(B)>0,则有 (1)当A与B独立时,A与B相容 (2)当A与B不相容时,A与B不独立 证明:P(A)>0,P(B)>0 (1)因为A与B独立,所以 P(AB)=P(A)P(B)>0,A与B相容 (2)因为P(AB)=0,而P(A)P(B)>0, P(AB)≠P(AP(B),A与B不独立 已知事件A,B,C相互独立,求证AUB与C也独立 证明:因为A、B、C相互独立, P[(∪B)∩C]=P(AC∪B P(AC)+ P(BC)-P(ABC) P(AP(C)+P(B)P(C)-P(AP(B)P(C) [P(A)+P(B)-P(AB)IP(C)= P(AUB)P(C) A∪B与C独立 8甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为07,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解: 令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾, 那么P(A1)=0.7,P(A2)=0.8.P(A3)=0.9 令B表示最多有一台机床需要工人照顾
6 即 [1− P(A)]P(AB) = P(A)[P(B) − P(AB)] P(AB) = P(A)P(B) ，故 A 与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都 是 4 1 ，求 P(A) 和 P(B). 解： 4 1 P(AB) = P(AB) = ，又 A 与 B 独立 4 1 P(AB) = P(A)P(B) = [1− P(A)]P(B) = 4 1 P(AB) = P(A)P(B) = P(A)[1− P(B)] = 4 1 ( ) ( ), ( ) ( ) 2 P A = P B P A − P A = 即 2 1 P(A) = P(B) = 。 6. 证明 若 P(A) >0， P(B) >0，则有 （1）当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容； （2）当 A 与 B 不相容时， A 与 B 不独立。 证明： P(A) 0,P(B) 0 （1）因为 A 与 B 独立，所以 P(AB) = P(A)P(B) 0 ， A 与 B 相容。 （2）因为 P(AB) = 0 ，而 P(A)P(B) 0 ， P(AB) P(A)P(B)， A 与 B 不独立。 7. 已知事件 A, B,C 相互独立，求证 A B 与 C 也独立。 证明：因为 A 、 B 、C 相互独立， P[(A B) C] = P(AC BC) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P AB P C P A B P C P A P C P B P C P A P B P C P AC P BC P ABC = + − = = + − = + − A B 与 C 独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别 为 0.7，0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令 1 2 3 A , A , A 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 P(A1 ) = 0.7,P(A2 ) = 0.8,P(A3 ) = 0.9 令 B 表示最多有一台机床需要工人照顾
那么P(B)=P(A1A2A3+A1A2A13+A1A2A3+A1A2413) P(AA2A,)+P(A,A2 A3)+P(A, A)+P(A, A243) =0.7×0.8×0.9+0.3×0.8×0.9+0.7×0.2×0.8+0.7×0.8×0.1 =0.902 9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0<p<1),(称为元件的可 靠性),假设各元件能否正常工作是相互独立的,计算下面各系统的可靠性 系统I n+1 n+2 系统Ⅱ 解:令A=“系统(Ⅰ)正常工作”B=“系统(Ⅱ)正常工作” A2=“第i个元件正常工作”,i=1,2,…,2n P(A1)=P,A1,A2,…A2n相互独立 那么 P(4)=P[A142…A1)+( A Pl(4141…A,)]+P[(A1A,n2…A2)」P(442…An) P(4)+∏P(4)-∏P(4) i=n+1 2Pn-P=P"(2-P") P(B)=P(A1+An1)42+An+2)×…×(An+A2n P(A, +Am-i) P(A)+P(A4i)-P(A)P(AA) 注:利用第7题的方法可以证 明(A1+A1+)与(41+A4+) i≠j时独立。 10.10张奖券中含有4张中奖的奖券,每人购买1张,求 (1)前三人中恰有一人中奖的概率 (2)第二人中奖的概率。 解:令A1=“第i个人中奖”,i=1,2,3 (1)P(A1A43+A1A43+A1A4243)
7 那么 ( ) ( ) P B = P A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 0.902 0.7 0.8 0.9 0.3 0.8 0.9 0.7 0.2 0.8 0.7 0.8 0.1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = = + + + = P A A A + P A A A + P A A A + P A A A 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 p(0 p 1) ，（称为元件的可 靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。 解：令 A = “系统（Ⅰ）正常工作” B = “系统（Ⅱ）正常工作” Ai = “第 i 个元件正常工作”， i = 1,2, ,2n P Ai P A1 A2 A2n ( ) = , , , , 相互独立。 那么 ( ) ( ) ( ) P A = P A1A2 An + An+1An+2 A2n 2 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 n n n n n i i n i n i n i i n n n n n P P P P P A P A P A P A A A P A A A P A A A = − = − = + − = + − = = + = + + ( ) [( )( ) ( )] P B = P A1 + An+1 A2 + An+2 An + A2n n n n i n i i n i i n i n i i n i P P P P P A P A P A P A P A A [2 ] (2 ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) 1 2 1 1 = − = − = + − = + = = + + = + 10. 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券，每人购买 1 张，求 （1）前三人中恰有一人中奖的概率； （2）第二人中奖的概率。 解：令 Ai = “第 i 个人中奖”， i = 1,2,3 (1) ( ) P A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 注：利用第 7 题的方法可以证 明 ( ) Ai + An+i 与 ( ) Aj + An+ j i j 时独立。 系统 I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 II 1 n+1 2 n+2 n 2n
P(AA2 A3)+P(A A2 A,)+P(AA2A P(A1)P(A2|A1)P(43|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A42) +P(A1)P(A2|A1)P(A3|41A2) 46 65464 10981098109 或P= (2)P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1) 4×3+6×4=2 1091095 11.在肝癌诊断中,有一种甲胎蛋白法,用这种方法能够检查出95%的真实患 者,但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录,每10000人中有4人患有肝癌, 试求 (1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率 (2)已知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率。 令B=“被检验者患有肝癌”,A=“用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么,P(A|B)=0.95,P(A|B)=0.10,P(B)=0.0004 (1)P(A=P(B)P(A B)+P(B)P(AIB) =0.0004×0.95+09996×0.1=0.10034 (2)P(B P(B)P(A B) P(B)P(A B)+P(B)P(AIB) 0.0004×0.95 00004×0.95+09998×0.100038 12.一大批产品的优质品率为30%,每次任取1件,连续抽取5次,计算下列事 件的概率: (1)取到的5件产品中恰有2件是优质品 (2)在取到的5件产品中已发现有1件是优质品,这5件中恰有2件是优质品 解:令B,=“5件中有i件优质品”,i=0,1,2,3,45 (1)P(B2)=C3(0.3)2(0.7)3÷0.3087 (2)P(B, IUB, )=P(B, 1B)=P1B2 B0) P(B2)0.3087 0.371 1-P(B0)1-(07)3
8 ( ) ( ) ( ) = P A1A2 A3 + P A1A2 A3 + P A1A2 A3 ( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 P A P A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A + = + 2 1 8 5 9 4 10 6 8 4 9 5 10 6 8 5 9 6 10 4 = + + = 或 2 1 3 10 2 6 1 4 = = C C C P （2） ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) P A2 = P A1 P A2 A1 + P A1 P A2 A1 5 2 9 4 10 6 9 3 10 4 = + = 11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出 95%的真实患 者，但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录，每 10 000 人中有 4 人患有肝癌， 试求： （1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率； （2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解： 令 B = “被检验者患有肝癌”， A = “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么， P(A| B) = 0.95,P(A| B) = 0.10,P(B) = 0.0004 （1） P(A) = P(B)P(A| B) + P(B)P(A| B) = 0.00040.95+ 0.99960.1= 0.10034 （2） ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) P B P A B P B P A B P B P A B P B A + = 0.0038 0.0004 0.95 0.9996 0.1 0.0004 0.95 = + = 12. 一大批产品的优质品率为 30%，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列事 件的概率： （1）取到的 5 件产品中恰有 2 件是优质品； （2） 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品，这 5 件中恰有 2 件是优质品。 解：令 Bi = “5 件中有 i 件优质品”， i = 0,1,2,3,4,5 （1） ( ) (0.3) (0.7) 0.3087 2 2 3 P B2 = C5 = （2） ( ) ( ) ( | ) ( | ) 0 2 0 2 0 5 1 2 P B P B B P B B P B B i i = = = 0.371 1 (0.7) 0.3087 1 ( ) ( ) 5 0 2 = − = − = P B P B
13.每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时,从中任取 件,如果检验是次品,则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误,1件正品 被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算: (1)抽取的1件产品为正品的概率 (2)该箱产品通过验收的概率。 解:令A=“抽取一件产品为正品” A1=“箱中有i件次品”,i=012 B=“该箱产品通过验收” (1)P(A)=∑P(4)P(4A)=∑ 110-i 0.9 (2)P(B)=P(A)P(B A+P(AP(BLA 0.9×0.98+0.1×0.05=0.887 14.假设一厂家生产的仪器,以概率0.70可以直接出厂,以概率0.30需进一步调 试,经调试后以概率0.80可以出厂,并以概率020定为不合格品不能出厂。现该厂新 生产了m(n≥2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求: (1)全部能出厂的概率 (2)其中恰有2件不能出厂的概率 (3)其中至少有2件不能出厂的概率。 解:令A=“仪器需进一步调试”;B=“仪器能出厂” A=“仪器能直接出厂”:AB=“仪器经调试后能出厂” 显然B=A+AB, 那么P(A)=0.3,P(B|A)=0.8 P(AB)=PA)P(B|A)=0.3×0.8=0.24 所以P(B)=P(A)+P(AB)=0.7+024=094 令B1=“n件中恰有i件仪器能出厂”,i=0,…,n (1)P(Bn)=(0.94) (2)P(Bn2)=Cn2(094)2(0.06)2=C2(0.94)2(006)2 (3)P∑B)=1-P(Bn)-P(Bn)=1-C20609y--(0.94 15.进行系列独立试验,每次试验成功的概率均为P,试求以下事 的概率: (1)直到第r次才成功 (2)第r次成功之前恰失败k次 (3)在n次中取得r(1≤r≤m)次成功
9 13. 每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取 1 件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1 件正品 被误检是次品的概率是 2%，1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算： （1）抽取的 1 件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。 解：令 A = “抽取一件产品为正品” Ai = “箱中有 i 件次品”， i = 0,1,2 B = “该箱产品通过验收” （1） 0.9 10 10 3 1 ( ) ( ) ( | ) 2 0 2 0 = − = = i= i= i i i P A P A P A A （2） P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) = 0.90.98+ 0.10.05 = 0.887 14. 假设一厂家生产的仪器，以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调 试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，并以概率 0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新 生产了 n(n 2) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有 2 件不能出厂的概率； （3）其中至少有 2 件不能出厂的概率。 解：令 A = “仪器需进一步调试” ； B = “仪器能出厂” A = “仪器能直接出厂” ； AB = “仪器经调试后能出厂” 显然 B = A + AB， 那么 P(A) = 0.3,P(B | A) = 0.8 P(AB) = PA)P(B | A) = 0.3 0.8 = 0.24 所以 P(B) = P(A) + P(AB) = 0.7 + 0.24 = 0.94 令 Bi = “ n 件中恰有 i 件仪器能出厂”， i = 0,1, , n （1） n P Bn ( ) = (0.94) （2） 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (0.94) (0.06) (0.94) (0.06) − − − − = = n n n n P Bn Cn C （3） n n n n n n k P( Bk ) 1 P(B ) P(B ) 1 C 0.06(0.94) (0.94) 1 1 1 2 0 = − − = − − − − − = 15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 p ，试求以下事件 的概率： （1）直到第 r 次才成功； （2）第 r 次成功之前恰失败 k 次； （3）在 n 次中取得 r(1 r n) 次成功；
(4)直到第n次才取得r(1≤r≤m)次成功。 解 (1)P=p(1-p) (2)P=C1p'(1-p) (3)P=Cnp(1-p) (4)P=Cn1p"(1-p) 16.对飞机进行3次独立射击,第一次射击命中率为04,第二次为0.5,第三次 为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为02,击中飞机二次而飞机被击落的概率 为0.6,若被击中三次,则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解:令A1=“恰有i次击中飞机”,i=01,23 B=“飞机被击落” 显然 P(A0)=(1-0.4)(1-0.5(1-0.7)=0.09 P(A1)=04x(1-0.5)×(1-0.7)+(1-0.4)×0.5×(1-0.7)+(1-0.4)×(1-0.5)×0.7 =0.36 P(A2)=04×0.5×(1-0.7)+04×(1-0.5)×0.7+(1-0.4)×0.5×0.7 =0.41 P(A3)=04×0.5×0.7=0.14 而P(B|4)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|42)=0.6,P(B|A3)=1 所以 P(B)=∑PA,)P(B|A)=0.458;P(B)=1-PB)=1-0.458=0542
10 （4）直到第 n 次才取得 r(1 r n) 次成功。 解： （1） 1 (1 ) − = − r P p p （2） r r k P Cr k p (1 p) 1 = 1 − − + − （3） r r n r P Cn p p − = (1− ) （4） r r n r P Cn p p − − = − (1− ) 1 1 16. 对飞机进行 3 次独立射击，第一次射击命中率为 0.4，第二次为 0.5，第三次 为 0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率 为 0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解：令 Ai = “恰有 i 次击中飞机”， i = 0,1,2,3 B = “飞机被击落” 显然： P(A0 ) = (1− 0.4)(1− 0.5)(1− 0.7) = 0.09 0.36 ( 1 ) 0.4 (1 0.5) (1 0.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7) (1 0.4) (1 0.5) 0.7 = P A = − − + − − + − − 0.41 ( 2 ) 0.4 0.5 (1 0.7) 0.4 (1 0.5) 0.7 (1 0.4) 0.5 0.7 = P A = − + − + − P(A3 ) = 0.4 0.5 0.7 = 0.14 而 P(B | A0 ) = 0， P(B | A1 ) = 0.2， P(B | A2 ) = 0.6， P(B | A3 ) =1 所以 ( ) ( ) ( | ) 0.458 3 0 = = i= P B P Ai P B Ai ； P(B) =1− P(B) =1− 0.458 = 0.542