的解法比较方便。 本文以普朗特应力函数解法为基础，借鉴电路分析中回路电压法的思路及有限元法的思想，提 出了求解复杂截面闭口薄壁杆件扭转问题的方法及在计算机实现的步骤，可称之为“回路单元法”。 2回路单元法简介 假设薄壁杆件截面是多联通区域，由若干个孔组成。对第i个孔应用剪力环量公中t,ds=2GA 或④9dk=-2Ga4,其中p为普朗特应力函数，4为L,的面积，a为单位长度的扭角，G为剪 切模量，n为L,的外法向，t,为沿L,切线方向的剪力，p在L,上为常数，即p=C,通常取外边 界上p=0。此处，积分沿曲线L逆时针方向进行。由于杆壁很薄，可以近似地认为？沿杆壁厚度 方向线性变化，例如对图1所示的第1个孔，可列出方程9L+C:CL,+G二CL,=2Ga4。 66 6 对每个孔应用剪力环量公式，列出方程，联立求解，即可解出C(i=1,2,3)。然后，由扭矩 M M=2∑C,A求出扭角，由D=求出扭转刚度D,由z,=- 吧求出各段杆壁上的剪应力。 下面结合图1所示的实例来说明回路单元法的实施步骤。 3 G 6 5 7 8 12V 9 30110Ⅱ 3 D4 图1四孔正方形截面示意图 图2四孔三角形截面示意图 (①)确定回路和支路并编号 如图1所示，每一个孔视为一个回路，给每一回路编号：1,2，…，m,杆壁间的交点为节点， 每两节点之间的部分视为一条支路，每个回路由若干个支路组成，给每一支路编号：①，②，“，n, 一个支路中若壁厚变化，也可划分为多条支路。在本例中，m=4,n=⑧ (2)截面的几何参数 各回路的面积，组成列向量A=(A,A,A,…Am)了，各条支路的长度，L=(亿，L2,L,…Ln)了， -2-- 2 - 的解法比较方便。 本文以普朗特应力函数解法为基础，借鉴电路分析中回路电压法的思路及有限元法的思想，提 出了求解复杂截面闭口薄壁杆件扭转问题的方法及在计算机实现的步骤，可称之为“回路单元法”。 2 回路单元法简介 假设薄壁杆件截面是多联通区域，由若干个孔组成。对第i 个孔应用剪力环量公 2 i s i L τ ds G A = α v∫ 或 2 i i L ds G A n ϕ α ∂ = − ∂ v∫ ，其中ϕ 为普朗特应力函数，Ai 为 Li 的面积，α 为单位长度的扭角，G 为剪 切模量，n 为 Li 的外法向， s τ 为沿 Li 切线方向的剪力，ϕ 在 Li 上为常数，即 i ϕ L = Ci ，通常取外边 界上ϕ = 0 。此处，积分沿曲线 Li 逆时针方向进行。由于杆壁很薄，可以近似地认为ϕ 沿杆壁厚度 方向线性变化，例如对图 1 所示的第 1 个孔，可列出方程 1 12 14 1 6 51 16 5 2 C CC CC L L L GA α δδ δ − − ++= 。 对每个孔应用剪力环量公式，列出方程，联立求解，即可解出 ( 1,2,3 ) C i i = ⋅ 。然后，由扭矩 1 2 n i i i M C A = = ∑ 求出扭角α ，由 M D Gα = 求出扭转刚度 D ，由 s ϕ τ ∂ = − ∂n 求出各段杆壁上的剪应力。 下面结合图 1 所示的实例来说明回路单元法的实施步骤。 图 1 四孔正方形截面示意图 图 2 四孔三角形截面示意图 (1) 确定回路和支路并编号 如图 1 所示，每一个孔视为一个回路，给每一回路编号：1，2，…，m ，杆壁间的交点为节点， 每两节点之间的部分视为一条支路，每个回路由若干个支路组成，给每一支路编号：①，②，…，n ， 一个支路中若壁厚变化，也可划分为多条支路。在本例中，m = 4， n = ⑧ (2) 截面的几何参数 各回路的面积，组成列向量 123 (, , , )T A = ⋅⋅⋅ AAA Am ，各条支路的长度， 123 (, , , )T L = ⋅⋅⋅ LLL Ln ， I II III IV A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30D 1 2 4 3 ④ ③ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ① ②